2021-2022学年浙江省金华市高一下学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 20 页 2021-2022 学年浙江省金华市高一下学期期中数学试题 一、单选题 1已知复平面内，2i z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【分析】设i,zab a bR，然后对2i z化简，结合2i z对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,a b的范围，从而可求出复数z对应的点所在的象限【详解】设i,zab a bR，所以2ii22iababba，则2020abba，即22baab，所以a0，z0），3,3,12PAADPAPC，22221331yzyz，解得2 362 36,0,3333yzP，360,1,3,033PCAC，设平面PAC的法向量,mx y z，则3603330m PCyzm ACxy ，取1y，得23,1,2m，由（1）知，平面PCE的一个法向量1,0,0EA，设二面角APCE的平面角为，则二面角APCE的余弦值为：36cos.3912m EAmEA 第 17 页 共 20 页 21如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 A1ACC1平面 ABC，ABC和 A1AC 都是正三角形，D是 AB的中点 （1）求证：BC1平面 A1DC；（2）求直线 AB与平面 DCC1所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）2 3.【分析】（1）连接 AC1，交 A1C于 E，连接 DE，由中位线的性质知 DEBC1，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面 DCC1的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接 AC1，交 A1C 于 E，连接 DE，四边形 A1ACC1是平行四边形，E是 AC1的中点，D 是 AB 的中点，DEBC1，DE平面 A1DC，BC1平面 A1DC，BC1平面 A1DC.（2）取 AC的中点 O，连接 A1O，BO，第 18 页 共 20 页 ABC和 A1AC都是正三角形，A1OAC，BOAC，平面 A1ACC1平面 ABC，平面 A1ACC1平面 ABCAC，A1O平面 ABC，A1OBO，以 O 为原点，OB、OC、OA1所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AC2，则 A（0，1，0），B（3，0，0），C（0，1，0），D（32，12，0），C1（0，2，3），AB（3，1，0），CD（32，32，0），1DC（32，52，3），设平面 DCC1的法向量为n（x，y，z），则100n CDn DC，即33022353022xyxyz，令 x3，则 y3，z1，n（3，3，1），设直线 AB与平面 DCC1所成的角为，则 sin|cosAB，n|AB nABn|3 33293 1|2 313，21cos1sin13 tan2 3，故直线 AB与平面 DCC1所成角的正切值为2 3.22 如图，在四棱柱CABEF中，平面ABEF 平面ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，/AB EF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点 第 19 页 共 20 页（）求证：/EM平面ACF；（）求二面角EBCF的余弦值（）在线段EF上是否存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121，若存在求出EN的长，若不存在说明理由【答案】（）证明见解析；（）2 77；（）线段EF上是存在一点N，2|12EN ，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121.【分析】（）取AC中点P，连结MP、FP，推导出四边形EFPM是平行四边形，从而/FPEM，由此能证明/EM平面ACF;（）取AB中点O，连结CO，FO，推导出FO 平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EBCF的余弦值；（）假设在线段EF上是存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121，设ENt利用向量法能求出结果【详解】（）证明：取AC中点P，连结MP、FP，ABC是边长为 2 的等边三角形，/ABEF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点，/EFMP，四边形EFPM是平行四边形，/FPEM，EM 平面ACF，FP 平面ACF，/EM平面ACF（）解：取AB中点O，连结CO，FO，在四棱柱CABEF中，平面ABEF 平面ABC，ABC是边长为 2 的等边三角形，/ABEF，90ABE，1BEEF，点M为BC的中点，FO平面ABC，OCAB，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，(0B，1，0)，(3C，0，0)，(0E，1，1)，(0F，0，1)，(3BC，1，0)，(0BE，0，1)，(0BF，1，1)，设平面BCE的法向量(nx，y，)z，则300n BCxyn BEz，取1x，得(1n，3，0)，设平面BCF的法向量(ma，b，)c，则300m BCabm BFbc ，取1a，得(1,3,3)m，第 20 页 共 20 页 设二面角EBCF的平面角为，则|42 7cos|747m nmn 二面角EBCF的余弦值为2 77（）解：假设在线段EF上是存在一点N，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121，设|ENt 则(0N，1 t，1)，(3CN ，1 t，1)，平面BCF的法向量(1,3,3)m，2|33|21|cos,|21|4(1)7CN mtCN mCNmt，解得212t ，线段EF上是存在一点N，2|12EN ，使直线CN与平面BCF所成的角正弦值为2121 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题