2022-2023学年北京市朝阳区高一上学期数学期末试题(解析版).pdf

第 1 页 共 13 页 2022-2023 学年北京市朝阳区高一上学期数学期末试题 一、单选题 1若ab，则下列各式一定成立的是（）A22ab B22acbc C33ab D2211ab【答案】C【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD 选项，1,1ab，则ab，但222211,abab，所以 AD 选项错误.B 选项，若0c，则22acbc，所以 B 选项错误.C 选项，若ab，由于3yx在R上递增，所以33ab，所以 C 选项正确.故选：C 2若角满足cos0,tan0，则角是（）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】B【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】cos0,为第二，三象限角或者x轴负半轴上的角；又tan0,为第二，四象限角 所以为第二象限角.故选：B 3下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为R的是（）A2xy B3(1)yx C1yxx D|ln|yx【答案】B【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于 A，2xy 在定义域上单调递增且值域为0,，故 A 不正确；对于 B，3(1)yx在定义域上单调递增值域为R，故 B 正确；对于 C，由双勾函数的图象知，1yxx在,1,1,上单调递增，在 1,0,0,1上单调递减，故 C 不正确；对于 D，|ln|yx的值域为0,，故 D 不正确.第 2 页 共 13 页 故选：B.4设集合,Z2Akk，集合2,Z2Bkk，则 A与 B 的关系为（）AAB BAB CBA DAB【答案】A【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合,Z2Akk，所以集合A表示终边落在y轴上的角的集合；由于集合2,Z2Bkk，所以集合B表示终边落在y轴上的角的集合；所以AB.故选：A 5声强级1L（单位：dB）出公式11210lg10IL给出，其中 I 为声强（单位：2W/m）若平时常人交谈时的声强约为6210W/m，则声强级为（）A6dB B12dB C60dB D600dB【答案】C【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意661121010lg10lg1060dB10L.故选：C 6已知0a，0b，则“2ab”是“1ab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当0a，0b 时，2abab，则当2ab时，有22abab，解得1ab，充分性成立；当2a，12b 时，满足1ab，但此时522ab，必要性不成立，综上所述，“2ab”是“1ab”的充分不必要条件.故选：A.7已知函数31()31xxf x，有如下四个结论：第 3 页 共 13 页 函数()f x在其定义域内单调递减；函数()f x的值域为0,1；函数()f x的图象是中心对称图形；方程()1f xx 有且只有一个实根 其中所有正确结论的序号是（）A B C D【答案】D【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】31()31xxf x的定义域为R，31 22()13131xxxf x ，所以 f x在R上递增，错误.由于1311,0131xx，22202,20,1 11313131xxx ，所以 f x的值域为1,1.由于 311 3311 3xxxxffxx，所以 f x是奇函数，图象关于原点对称，正确.由()1f xx 得2211,03131xxxx 构造函数 231xg xx，g x在R上单调递增，2210010,1101 142gg ，所以 g x在R上存在唯一零点，也即方程()1f xx 有且只有一个实根，正确.所以正确结论的序号是.故选：D 8已知角为第一象限角，且sincos22，则sin2的取值范围是（）A2,02 B21,2 C20,2 D2,12【答案】A【分析】先确定2的取值范围，由此求得sin2的取值范围.【详解】由于角为第一象限角，第 4 页 共 13 页 所以2 2,Z2kkk，所以,Z24kkk，由于sincos22，所以52 2,Z24llkl，所以2sin022.故选：A 9某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110 x），每小时可获得利润2100 31xx 元，要使生产 100 千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A2 千克/小时 B3 千克/小时 C4 千克/小时 D6 千克/小时【答案】C【分析】生产 100 千克该产品获得的利润为 1002100 31fxxxx，令1tx，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产 100 千克该产品获得的利润为 2210021211100 3110000 31000023f xxxxxxxx，110 x，令1tx，1110t，则 22251000023200010641ftttt ，故当14t 时，f t最大，此时4x.故选：C 10定义在R上的偶函数()yf x满足(1)()f xf x，且在0,1上单调递增，2023,(ln2),(2022)2afbfcf，则 a，b，c的大小关系是（）Aabc Bacb Cbca Dcba【答案】A【分析】由(1)()f xf x 得(2)()f xf x，则 f x的周期为 2，结合函数的奇偶性，即可化简 a，b，c，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f xf x 得(2)(1)()f xf xf x，f x的周期为 2，第 5 页 共 13 页 又 f x为偶函数，则202311110122222affff，(2022)(0)cff，10ln2lne2，f x在0,1上单调递增，cba.故选：A 二、填空题 11已知集合20Axx，集合01Bxx，则AB_【答案】21xx 【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为20Axx，01Bxx，所以21ABxx，故答案为：21xx 12设1a 且1b，22loglog1ab，则2log()ab的最小值为_.【答案】2【分析】对2log()ab利用对数运算公式，得到22loglogab，再由基本不等式以及条件中的22loglog1ab，得到答案.【详解】因为1a 且1b，所以2log0a 且2log0b 而 222logloglogabab，且22loglog1ab 所以由基本不等式可得 22222logloglogloglog22ababab，当且仅当22loglogab，即2ab时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.13设函数()f x的定义域为 I，如果xI，都有xI，且()()fxf x，已知函数()f x的最大值为 2，则()f x可以是_【答案】2cosf xx（答案不唯一）【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的 f x.第 6 页 共 13 页【详解】依题意可知 f x是偶函数，且最大值为2，所以 2cosf xx符合题意.故答案为：2cosf xx（答案不唯一）14 已知下列五个函数：21,ln,exyx yyxyx yx，从中选出两个函数分别记为()f x和()g x，若()()()F xf xg x的图象如图所示，则()F x _ 【答案】1exx【分析】观察图象确定函数()F x的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x的解析式.【详解】由已知()()()F xf xg x，21,ln,exfxg xyx yyxyx yx，观察图象可得()F x的定义域为,00,，所以()f x或()g x中必有一个函数为1yx，且另一个函数不可能为lnyx，又()F x的图象不关于原点对称，所以1()F xxx，所以21()F xxx或1()exF xx，若21()F xxx，则1(1)101F 与函数()F x图象矛盾，所以1()exF xx，故答案为：1exx.15已知函数 3,xxaf xx xa，给出以下四个结论：存在实数 a，函数()f x无最小值；对任意实数 a，函数()f x都有零点；当0a 时，函数()f x在(0,)上单调递增；对任意(0,1)a，都存在实数 m，使方程()f xm有 3 个不同的实根 其中所有正确结论的序号是_【答案】第 7 页 共 13 页【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】，当1a 时，3,1,1xxf xx x ，f x的图象如下图所示，由图可知，f x没有最小值，正确.，由于 3,xxaf xx xa，当a0时，3000f；当0a 时，000f，所以对任意实数 a，函数()f x都有零点，正确.当12a 时，31,21,2xxf xx x，311112822，即函数()f x在(0,)上不是单调递增函数，错误.，当01a时，3,xxaf xx xa，当01x时，32310,xxx xxx，画出 f x的图象如下图所示，由图可知存在实数 m，使方程()f xm有 3 个不同的实根，正确.第 8 页 共 13 页 综上所述，正确结论的序号是.故答案为：三、双空题 16已知角3,2，若1sin()2，则_；sin2_【答案】76#76 32【分析】由条件结合诱导公式求sin，根据特殊角三角函数值求出，sin2即可.【详解】因为1sin()2，所以1sin2，故1sin2，又3,2，所以76，所以753sinsinsinsin 2sin2263332 ，故答案为：76，32.四、解答题 17已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点3 4,5 5P(1)求sincos+和sin2的值；(2)求tan 24的值【答案】(1)124sincos,sin2525 (2)1731 【分析】（1）根据三角函数的定义求出sin,cos，再根据二倍角的正弦公式即可求得sin2；（2）先根据二倍角的余弦公式求出cos2，再根据商数关系求出tan2，再根据两角和的正切公式即可得解.【详解】（1）解：由题意得43sin,cos55，所以14324sincos,sin2255525 ；（2）解：227cos2cossin25，所以sin224tan2cos27，第 9 页 共 13 页 所以241177tan 22443117.18已知函数2()21,Rf xaxaxa(1)当1a 时，解不等式()0f x；(2)若命题“Rx，不等式()0f x 恒成立”是假命题，求实数a的取值范围【答案】(1)1,12(2)8a 或0a 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式 0f x 的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得a的取值范围.【详解】（1）当=1a时，221f xxx，0f x 即2210 xx，2110 xx，解得112x 所以不等式 0f x 的解集为1,12.（2）当 2210f xaxax 恒成立，当a不为 0 时，a0且280aa，即80a，当0a 时,10f x 成立，所以 80a 命题“Rx，不等式()0f x 恒成立”是假命题 所以 a 的取值范围为：8a 或0a 19已知函数2()2cos3sin2,0,2f xxxa x从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知(1)求 a的值；(2)求()f x的最小值，以及取得最小值时 x 的值 条件：()f x的最大值为 6；条件：()f x的零点为2 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 第 10 页 共 13 页【答案】(1)若选条件，则3a；若选条件，则0a (2)若选条件，则当,Z3xkk时，f x取得最小值2；若选条件，则当,Z3xkk时，f x取得最小值1 【分析】（1）化简 f x的解析式，根据条件或求得a的值.（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1）2()2cos3sin2f xxxa 1cos23sin22sin 216xxaxa.若选条件，则216,3aa.若选条件，则12sin 1210262faaa .（2）若选条件，由（1）得 2sin 246fxx，则当22,Z623xkxkk时，f x取得最小值为242.若选条件，由（1）得 2sin 216fxx，则当22,Z623xkxkk时，f x取得最小值为2 11 .20已知函数12()log21,xf xmx mR(1)当0m 时，解不等式()1f x ；(2)若函数()f x是偶函数，求 m的值；(3)当1m 时，若函数()yf x的图象与直线yb有公共点，求实数 b的取值范围【答案】(1),0(2)12(3),0 【分析】（1）()1f x 即11222log21logx，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）()f x是偶函数，则()()f xfx，结合对数运算法则化简求值即可 第 11 页 共 13 页（3）由对数运算得121()log21xf x在R上单调递增，且值域为,0，即可由数形结合判断 b的取值范围.【详解】（1）当0m 时，()1f x 即11222log211logx ，即212x，解得,0 x；（2）函数()f x是偶函数，则()()f xfx，即1122log21log21xxmxmx，即1221log221xxmx，即12log 22xxmx ，xR，故12m ；（3）当1m 时，1111122222211()log21log21logloglo2g221xxxxxxf xx，xR.112xy 为减函数，故121()log21xf x在R上单调递增，且值域为,0 函数()yf x的图象与直线yb有公共点，故实数 b 的取值范围为,0.21设全集1,2,UnnN，集合 A是 U的真子集设正整数tn，若集合 A满足如下三个性质，则称 A 为 U的()R t子集：tA；,UaAbA ，若abU，则abA；,UaAbA ，若abU，则abA (1)当6n 时，判断1,3,6A是否为 U的(3)R子集，说明理由；(2)当7n 时，若 A为 U 的(7)R子集，求证：2A；(3)当23n 时，若 A为 U 的(7)R子集，求集合 A【答案】(1)1,3,6A不是 U的(3)R子集；(2)证明见解析；(3)集合7,14,21A.【分析】（1）取1,2ab，由2abA不满足性质可得A不是 U的(3)R子集；（2）通过反证法，分别假设1A，2A的情况，由不满足(7)R子集的性质，可证明出2A；（3）由（2）得，1UA，2UA，7A，再分别假设3A，4A，5A，6A四种情况，由不满足(7)R子集的性质，可得出3,4,5,6A，再根据性质和性质，依次凑出 823 每个数值是否第 12 页 共 13 页 满足条件即可.【详解】（1）当6n 时，1,2,3,4,5,6U，1,3,6A，2,4,5UA，取1,2ab，则2abU，但2abA，不满足性质，所以1,3,6A不是 U的(3)R子集.（2）当7n 时，A 为 U的(7)R子集，则7A；假设1A，设UxA，即xA 取1,abx，则abxU，但abxA，不满足性质，所以1A，1UA；假设2A，取2,1ab，3abU，且3abA，则3UA，再取2,3ab，6abU，则6abA，再取6,1ab，7abU，且7abA，但与性质7A矛盾，所以2A.（3）由（2）得，当7n 时，若 A 为 U的(7)R子集，1UA，2UA，7A，所以当23n 时，1,2,23U，若 A 为 U的(7)R子集，1UA，2UA，7A；若3A，取3,1ab，4abU，则4A，4UA，再取3,4ab，7abU，则7A，与7A矛盾，则3A，3UA；若4A，取4,3ab，7abU，则7A，与7A矛盾，则4A，4UA；若5A，取5,2ab，7abU，则7A，与7A矛盾，则5A，5UA；若6A，取6,1ab，7abU，则7A，与7A矛盾，则6A，6UA；取7,1,2,3,4,5,6ab，8,9,10,11,12,13abU，则8,9,10,11,12,13A，,8,9,10,11 12,13UA；取7,2ab，14abU，则14A；取14,1,2,3,4,5,6ab，15,16,17,18,19,20abU，则15,16,17,18,19,20A，第 13 页 共 13 页 81,16,17,1,0519,2UA；取7,3ab，21abU，则21A；取21,1,2ab，22,23abU，则22,23A，22,23UA；综上所述，集合7,14,21A.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.