2022-2023学年上海市徐汇区南洋模范学校高二上学期期末考试数学试题(含解析).pdf

南洋模范学校 2022-2023 学年高二上学期期末考试 数学试卷 2023.01.05 一、填空题（每题 3 分）1.小陈掷两次骰子都出现 6 的概率为_.2.从1,2,3,4,5中随机取两个元素（可相同），则这两个元素的积不是 6 的倍数的概率为_.3.若等比数列的前 n 项和14nnSa，则a _.4.若数列 na满足1210212112nnnnnaaaaa.若167a，则2023a_.5.为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取 17 名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：kg）：56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第 75 百分位数为_kg.6.已知 na为等差数列，135105aaa，24699aaa，以nS表示 na的前 n 项和，则使得nS达到最大值的 n 是_.7.已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为_万元.家庭年收入（单位：万元）4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 9,10 频率 f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07 8.第 14 届国际数学教育大会（ICME-14）于 2021 年 7 月 12 日至 18 日在上海举办，已知佑老师和 Lisa 老师都在 7 天中随机选择了连续的 3 天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为_.9.112Sn，222212Sn，333312Sn，使1S，2S，3S成等差数列的自然数 n 的所有可能的值为_.10.已知*234Nnnnnann为奇数为偶数，则数列 na前 2m 项之和为_.11.已知数列 na满足11a，2*118Nnnaam n，若对任意的正整数 n 均有4na，则实数 m 的最大值是_.12.设数列 na满足112a，2*12023Nnnnaaan，记 12111nnTaaa，则使得0nT 成立的最小正整数 n 是_.二、选择题（每题 4 分）13.某社区有 500 个家庭，其中高收入家庭 125 户，中等收入家庭 280 户，低收入家庭 95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取 1 个容量为 100 户的样本，记作；某学校高一年级有 12 名女排运动员，要从中选出 3 名调查学习负担情况，记作那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A.用简单随机抽样法；用系统抽样法；B.用分层抽样法；用简单随机抽样法；C.用系统抽样法；用分层抽样法；D.用分层抽样法；用系统抽样法.14.已知数据1x，2x，nx（3n，*Nn）是上海普通职工 n 个人的年收入，这 n个数据的中位数为 x，平均数为 y，方差为 z，如果加上世界首富的年收入1nx，则这1n个数据中，下列说法正确的是（）A.年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变；B.年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大；C.年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变；D.年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变.15.对任意等比数列 na，下列说法一定正确的是（）A.1a，3a，9a成等比数列 B.2a，3a，6a成等比数列 C.2a，4a，8a成等比数列 D.3a，6a，9a成等比数列 16.已知数列 na，nb满足12a，112b，1111nnnnnnababab，*Nn，则下列选项错误的是（）A.505014ab B.5050112a b C.5050505052aba b D.505015ab 三、解答题 17.（本题 6 分）某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是 125g，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取 20 罐，称得各罐质量（单位：g）如下：124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；求：20 罐茶叶的平均质量x和标准差 s.（精确到 0.01）18.（本题 6 分）俞女士每次投篮的命中率只有 0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率.19.（本题 10 分）设等差数列 na的前 n 项和为nS，且410a.（1）若20590S，求 na的公差；（2）若1aZ，且7S是数列 nS中最大的项，求1a所有可能的值.20.（本题 12 分）已知等差数列 na的公差为 d，且关于 x 的不等式2130a xdx的解集为1,3.（1）求数列 na的通项公式；（2）若122nannba，求数列 nb前 n 项和nS.21.（本题 14 分）已知数列 na满足11a，11nnnaaa.（1）写出数列 na的前四项；（2）判断数列 2na的单调性；（3）求证：22121(21)nnan.南洋模范学校 2022-2023 学年高二上学期期末考试 参考答案 一、填空题 1.【答案】136 2.【解析】这两个元素的积是 6 的倍数的有2,3，3,2，3,4，4,3，则这两个元素的积不是 6 的倍数的概率为42115 525P .3.【解析】11444nnnSaa，由等比数列的性质，14a .4.【解析】167a，257a，337a，467a，周期为 3，则2023167aa.5.【解析】17 0.7512.75，故第 75 百分位数为第 13 个数据，为 69kg.6.【解析】设公差为 d，则 24613536daaaaaa，所以2d ，13533105aaaa，所以335a，所以3(3)241naandn，所以200a，210a，则使得nS达到最大值的 n 是 20.7.【答案】6.5 8.【解析】设 7 天的编号依次为 1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为 123，234，345，456，567，共 5 种情况，所以张老师与李老师随机选择的总数为115525C C 种情况，两人选择的日期恰好都不相同的分别为123,456，123,567，234,567，456,123，567,123，567,234共 6 种情况，所以所求事件的概率为625.9.【解析】1(1)2n nS，2(1)(21)6n nnS，223(1)4nnS，由2132SSS，得22(1)(21)(1)(1)324n nnn nnn，即23520nn，解得1n.10.【解析】21321242mmmSaaaaaa 241 16(541)21 16mmm 11216161616(23)23151515mnmmmm.11.【解析】法一：221114288nnnnnaaaamam，若2m，则12nnaam，所以112111(2)()nnnaaaaaan mn，所以2m，当2m时，21128nnaa，得114448nnnaaa，又11a，得1440nnaa，因为1430a ，故40na，符合题意，所以实数 m 的最大值是 2.法二：一方面，当2m时，21128nnaa，得114448nnnaaa，又11a，得1440nnaa，因为1430a ，故40na；另一方面，若2m，则44320m，得递推数列无不动点，由蛛网图得，当n，na ，综上，实数 m 的最大值为 2.12.【解析】因为212023nnnaaa，又112a，所以2102023nnnaaa，故数列 na为严格递增数列，则12na，由212023nnnaaa得2120232023nnnaaa，进而有120232023nnnaaa，进而有1120231120232023nnnnnaaaaa，有11112023nnnaaa，所以1111112023ninnaaa，所以20231202411122202311202320232iiaa，20241a，所以202412025111222024120232023 1iiaa，所以20251a，综上，1220240TTT，20250T，要使0nT 的正整数 n 的最小值为 2025.二、选择题 13.B 14.B 15.【解析】记 na的首项为1a，公比为0q q，则22431aaq，28191aaaq，26261aaaq，故当1q 时，A、B 选项均不正确；22641aaq，28281aaaq，当1q 时，C 也不正确；221061aaq，210391aaaq，故 D 选项正确.故选 D.20.【解析】（1）由题意得10a，方程2130a xdx的两个根分别为1 和 3，则11233daa，解得121da，故数列 na的通项公式为1(1)21naandn，*Nn.（2）由（1）得(21)2nnbn，故121 23 2(21)2nnSn ，23121 23 2(21)2nnSn ，两式相减得123122222(21)2nnnSn，整理得1(23)26nnSn，*Nn.21.【解析】（1）11a，22a，352a，42910a.（2）因为1na，110nnnaaa，所以11nnaa，所以有2211nnaa，故 2na为严格增数列.（3）用数学归纳法：当1n 时，有23212a 明显成立；当nk时，假设命题成立，12121kkak，所以当1nk时，只需要证明223221kkak成立即可.先证明左边223kka：由于111kkaa随 k 的增大而增大，所以有11112121kkakak，只需证1212321kkk，两边平方12122321kkk，化简得1021k，明显成立.再证右边111221kkaka：由于111kkaa随 k 的增大而增大，所以有11112121kkakak，只需证12122121kkk，两边平方12122121kkk，化简得2(21)1(221)(21)kkk，进一步化简21222222kkkkk，再平方，左边241422(21)2kkkkk，右边244222(22)2kkkkk，明显右边大于左边.综上所述，原命题成立，即22121(21)nnan.