2022-2023学年江苏省扬州中学高二上学期12月月考试题数学解析版.pdf

1 江苏省扬州中学 2022-2023 学年第一学期 12 月考 高二数学 2022.12 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）公众号高中僧试题下载 1已知点3,2A，1(0,)B，则直线 AB的倾斜角为（）A30 B60 C30或 150 D60或 120 2已知函数 22f xx，则该函数在区间 1,3上的平均变化率为（）A4 B3 C2 D1 3在等比数列 na中，已知3578a a a，则19a a（）A4 B6 C8 D10 4抛物线24yx的准线方程为（）A18x B18y C116x D116y 5已知圆 E：22250 xayarr与 x 轴相切，且截 y 轴所得的弦长为2 6，则圆 E 的面积为（）A254 B1256 C252 D25 6已知0,4A，双曲线22145xy的左右焦点分别为1F，2F，点 P 是双曲线右支上一点，则1PAPF的最小值为（）A5 B7 C9 D11 7已知数列 na满足211232nnnnnna aa aaa，0na 且1231aa，则7a（）A163 B165 C1127 D1129 8已知2 31,3A，2 31,3B，00,P xy为椭圆 C：22132xy上不同的三点，直线l：2x，直线 PA 交 l于点 M，直线 PB交 l于点 N，若PABPMNSS，则0 x（）A0 B54 C53 D3 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符 2 合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9下列说法中，正确的有（）A直线32yx在 y轴上的截距是 2 B直线250 xy经过第一、二、三象限 C过点5,0，且倾斜角为 90的直线方程为50 x D过点1,2P且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为30 xy 10过点1,4且与圆2214xy相切的直线的方程为（）A10 x B40y C34130 xy D4380 xy 11已知1F，2F是双曲线 E：222210,0 xyabab的左、右焦点，过1F作倾斜角为6的直线分别交 y轴、双曲线右支于点 M、点 P，且1MPMF，下列判断正确的是（）A123FPF BE的离心率等于2 3 C双曲线渐近线的方程为2yx D12PFF的内切圆半径是313 12 已 知 数 列 na满 足2212352222nnnnaaa，设 数 列 nc的 前 n 项 和 为nS，其 中21112nnnncaa，则下列四个结论中，正确的是（）A1a的值为 2 B数列 na的通项公式为312nnan C数列 na为递减数列 D1216nnSn 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13曲线lnyxx在点 1,1处的切线的斜率为 14已知数列 na首项为 2，且*132Nnnaan，则na 15已知直线1l：3mxnymn与直线2l：30nxmynm（m，nR）相交于点 M，点 N 是圆C：22334xy上的动点，则MN的取值范围为 16已知椭圆 C：222210 xyabab的右焦点,0F cbc和上顶点 B，若斜率为65的直线 l 交椭圆C于 P，Q 两点，且满足0FBFPFQ，则椭圆的离心率为 四、解答题（本大题共 6 小题，计 70分）3 17已知二次函数 22bfaxxax，其图象过点2,4，且 13f （1）求 a、b的值；（2）设函数 lng xxx，求曲线 yg x在1x 处的切线方程 18已知抛物线 C：220ypx p上的点01,Ay到抛物线 C 的焦点的距离为 2（1）求抛物线 C的方程；（2）直线 l：yxm与抛物线交于 P，Q 两个不同的点，若OPOQ，求实数 m 的值 19已知数列 na前 n项和2nSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT 20已知圆 C：222516xy（1）若直线 l过点1,2A 且被圆 C截得的弦长为2 11，求直线 l的方程；（2）若直线 l 过点3,4B且与圆 C 相交于 M，N 两点，求CMN 的面积的最大值，并求此时直线 l 的方程 21已知各项均为正数的数列 na的前 n 项和为nS，且24a，21691nnaSn各项均为正数的等比数列 nb满足11ba，32ba（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）若nnncab，求数列 nc的前 n项和nT 22已知椭圆 C：222210 xyabab的离心率为32，直线1l过椭圆 C 的两个顶点，且原点 O 到直线1l的距离为2 55（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设点0,1A，过点2,1的直线 l 不经过点 A，且与椭圆 C 交于 M，N 两点，证明：直线 AM 的斜率与直线 AN的斜率之和是定值 参考答案：1B【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率 k，即可知直线的倾斜角【详解】由题意可知 A，B两点间的斜率 21330k，4 设直线 AB的倾斜角为，0,则tan3k，所以60 故选：B 2A【分析】根据平均变化率的定义直接求解【详解】因为函数 22f xx，所以该函数在区间 1,3上的平均变化率为 2232123143 12ff，故选：A 3A【分析】用基本量1a，q表示出来可以求；或者考虑下标和公式【详解】在等比数列 na中，335758a a aa，解得52a，则21954a aa 故选：A 4D【分析】由抛物线定义，求出 p，则可求准线方程【详解】抛物线的方程可变为214xy，由11248pp，则其准线方程为1216py 故选：D 5A【分析】根据圆 E 与 x 轴相切，可得5ra，再结合圆心到 y轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解【详解】圆 E：22250 xayarr与 x轴相切，截 y 轴所得的弦长为2 6，圆心为,5aa，半径为5ra，半弦长为6，圆心到 y 轴的距离为a，2265aa，解得12a ，552ra，即圆 E的面积为：2252524r 故选：A 6C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理1PAPF，利用三角形三边关系，可得答案 5【详解】由双曲线22145xy，则24a，25b，即2229cab，且13,0F，23,0F，由题意，作图如下：22122223449PAPFPAaPFAFa，当且仅当 A，P，2F共线时，等号成立 故选：C 7C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11na，进而得到数列 na的通项公式，即可得到答案【详解】因为211232nnnnnna aa aaa，所以12132nnnnna aaaa，则121132132nnnnnnnaaaa aaa，有21111112nnnnaaaa，所以数列111nnaa是以21112aa为首项，2为公比的等比数列，则11112 22nnnnaa，所以11111121111111111222121nnnnnnnnaaaaaaaa 则11121nna，所以771121127a 故选：C 6【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见 一、倒数变换法，适用于1nnnAaaBaC（A，B，C 为常数）二、取对数运算 三、待定系数法 1、构造等差数列法 2、构造等比数列法 定义构造法。利用等比数列的定义1nnaqa通过变换，构造等比数列的方法 1nnaAaB（A，B 为常数）型递推式可构造为形如1nnaA a的等比数列 1nnnaAaBc（A，B，C 为常数，下同）型递推式，可构造为形如11nnnnacA ac的等比数列 四、函数构造法 对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法 8B【分析】根据三角形面积公式及APBMPN 或APBMPN得PA PBPN PM，再应用相交弦长公式列方程，即可求0 x【详解】由PABPMNSS，则11sinsin22APB PA PBMPN PN PM 由图知：当 P 位置变化时，APBMPN 或APBMPN，故sinsinAPBMPN，所以PA PBPN PM，而直线 AP、BP斜率存在且不为 0（01x ），7 故22001111APBPPA PBkxkx，22001212APBPPN PMkxkx，所以220012xx，即22000144xxx 或22000144xxx，当22000144xxx，化简得054x 当22000144xxx时，2002430 xx，显然16200，无解 所以054x 故选：B 9BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于 A：令0 x 时，2y ，故在 y轴上的截距是 2，A 错 对于 B：直线的斜率为 2，在 x、y 轴上的截距分别为52、5，故直线经过第一、二、三象限，B对 对于 C：过点5,0，倾斜角为 90的直线方程为50 x，故 C 对 对于 D：当直线的截距不为 0时，设直线的方程为：1xyaa，把点1,2P代入直线得3a，所以直线方程为：30 xy，当截距为 0 时，设直线方程为：ykx，把点1,2P代入直线得2k，直线方程为：2yx，故 D错 故选：BC 10AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解【详解】设切线为 l，圆心到切线的距离为 d，圆的半径为2r 若 l 的斜率不存在，则直线方程为1x，圆心到直线的距离 112dr，满足题意；若 l 的斜率存在，设直线方程为41yk x，即40kxyk，因为直线与圆相切，所以24221kdrk，解得34k，所以切线方程为34130 xy 故选：AC 11ACD【分析】根据已知条件可得出2PFx轴，可判断 A 项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐 8 次方程可求解离心率，故可判断 B 项；结合222cab，得到2ba，即可求得渐近线方程，可判断 C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径 r 的表达式与 c 有关，可判断 D项正确【详解】如图所示，因为 M，O 分别是1PF，12FF的中点，所以12PFF中，2PFMO，所以2PFx轴，A选项中，因为直线1PF的倾斜角为6，所以123FPF，故 A正确；B选项中，12Rt PFF中，122FFc，22 33PFc，14 33PFc，所以122 323PFPFac，得：3cea，故 B 不正确；C选项中，由222cab，即223ca，即2223aba，即2ba，所以双曲线的渐近线方程为：2byxxa ，故 C正确；D 选 项 中，12PFF的 周 长 为22 3 c，设 内 切 圆 为r，根 据 三 角 形 的 等 面 积 法，有2 322 323crcc，得：313rc，所以 D 正确 故选：ACD 12ACD【分析】对于 A只需令1n 即可得出1a的值；对于 B已知数列2nna的前 n 项和，根据前 n 项和与数列的关系即可求出2nna的通项公式，继而得到 na的通项公式；对于 C已知 na的通项公式，利用递减数列定义列式1nnaa判断即可；对于 D化简得出数列 nc，裂项相消即可得出nS【详解】9 对于 A213 15 1242a，即12a，故 A 正确；对于B2212352222nnnnaaa，221121315122222nnnnaaan，得231nnan，312nnna，当1n 时113 1 122a，故数列 na的通项公式为312nnna，B错误 对于 C令111134623431322222nnnnnnnnnnnaa 因为1n，所以113202nnnnaa，数列 na为递减数列，故 C正确 对于 D2111111131 3431 343 3134222nnnncnnnnnn 1 1111111 113 4771031343 4341216nnSnnnn 故 D 正确 故选：ACD【点睛】思路点睛：给出nS与na的递推关系，求na，常用思路是：一是利用1nnnaSS转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与 n之间的关系，再求na 132【分析】由导数几何意义即可求【详解】11yx，12xy，所求切线斜率为 2 故答案为：2 1431n【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可【详解】由*132Nnnaan可得1131nnaa，所以数列1na 是以 3 为首项，3为公比的等比数列，10 所以113 33nnna ，即31nna，故答案为：31n 154 2226 2MN【分析】根据题设易知1l过定点3,1A，2l过定点1,3B且12ll，则 M 在以 AB 为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆 C 的圆心距，根据动点分别在两圆上知MN的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案【详 解】由 题 设，1l：310m xn y（m，nR）恒 过 定 点3,1A，2l：130n xmy（m，nR）恒过定点1,3B，因为0mnnm，所以12ll，即垂足为 M，所以 M 在以 AB为直径的圆上，圆心为2,2D，半径为22AB，故 M轨迹方程为 D：22222xy，而 C：22334xy的圆心为3,3C，半径为 2，所以两圆圆心的距离为25255 2，而 M、N分别在两圆上，故MN的最大值为225 226 2，最小值为5 2224 22，所以4 2226 2MN 故答案为：4 2226 2MN 1655【分析】先由0FBFPFQ得到 F 为APQ 的重心，再利用点差法求得 a、b、c 之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设,0F c，0,Bb，11,P x y，22,Q xy，线段 PQ 的中点为00,M xy，11 由0FBFPFQ，知 F 为BPQ 的重心，故2BFFM，即00,2,cbxc y，解得032cx，02by ，又 M为线段 PQ的中点，则123xxc，12yyb，又 P、Q 为椭圆 C上两点，则2211221xyab，2222221xyab，两式相减得 12121212220 xxxxyyyyab，所以221212221212365PQyyxxbbckxxayyab ，化简得225abc，则222250bcbc 解得2bc或2cb（bc故舍去）则22225abcc，则离心率55ca 故答案为：55 17（1）1ab（2）10 xy 【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数 a、b 的方程组，可求得实数 a、b的值；（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程（1）解：因为 22f xaxaxb，则 2fxaxa，所以，2624 133fabfa ，解得11ab （2）解：因为 lng xxx的定义域为0,，且 ln1gxx，所以，11g，10g，故切点坐标为1,0，所以，函数 g x在1x 处的切线方程为1yx 18（1）24yx（2）4【分析】（1）运用抛物线定义即可；（2）联立方程解到韦达定理，再将 OPOQ 转化为向量垂直，根据数量积为 0 列方程，化简，求值即可【详解】（1）已知抛物线220ypx p过点01,Ay，且2AF，12 则122p，2p，故抛物线的方程为24yx（2）设11,P x y，22,Q xy 联立24yxmyx，消去 y 整理得22240 xmxm 222440mm，则1m，则1242xxm，212x xm 由 OPOQ得 1212OP OQx xy y 1212x xxmxm 212122x xm xxm 222420mmmm，4m 或0m 当0m 时，直线 l与抛物线的交点中有一点与原点 O 重合，不符合题意，综上，实数 m 的值为4 19（1）2nan，*nN（2）41nnTn【分析】（1）根据已知条件并结合公式11,1,2nnnS naSSn即可计算出数列 na的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列 nb的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前 n 项和nT【详解】（1）由题意，当1n 时，211112aS，当2n时，221112nnaSlSnnnnn，当1n 时，12a 也满足上式，2nan，*nN 13（2）由（1），可得 11nnnba a 1221nn 141n n 11141nn 则12nnTbbb 1111111114242341nn 111111142231nn 11141n 41nn 20（1）240 xy或230 xy；（2）最大值为 8，70 xy或717470 xy【分析】（1）求出圆 C 的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心 C 到直线 l 的距离，然后分直线 l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；（2）设直线 l 的方程为143ykx，求出圆心 C 到直线 l 的距离1d，而CMN 的面积1122Sd21111616ddd，从而可求出CMN 的面积的最大值，再由1d的值可求出1k，进而可求出直线方程【详解】（1）圆 C 的圆心坐标为2,5C，半径4r，因 为 直 线 l 被 圆 C 截 得 的 弦 长 为2 11，所 以 由 勾 股 定 理 得 到 圆 心 C 到 直 线 l 的 距 离 224115d 当直线 l的斜率不存在时，l：1x ，显然不满足5d；当直线 l的斜率存在时，设 l：21yk x，即20kxyk，由圆心 C 到直线 l的距离5d，得2351kk，14 即22320kk，解得2k 或12k ，故直线 l的方程为240 xy或230 xy （2）因为直线 l 过点3,4B且与圆 C 相交，所以直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程为143ykx，即11430k xyk，则圆心 C 到直线 l的距离为1121511kdk，又CMN 的面积222222111111112 1616168642Sddddddd，所以当12 2d 时，S取最大值 8 由1121512 21kdk，得211171070kk，解得11k 或1717k，所以直线 l的方程为70 xy或717470 xy 21（1）32nan，12nnb（2）5352nnTn【分析】（1）由21691nnaSn，可得216911nnaSn，两式相减化简可得13nnaa，再求出1a，可得 na是首项为 1，公差为 3 的等差数列，从而可求出na，再由11ba，32ba可求出数列 nb的公比q，从而可求出nb；（2）由（1）可得1322nnnncabn，然后利用错位相减法可求得nT【详解】（1）因为21691nnaSn，当1n 时，22169 1aS，解得11a；当2n时，216911nnaSn，两式相减，得22169nnnaaa，即2213nnaa，又各项均为正数，所以13nnaa，即132nnaan 因为213aa满足上式，所以 na是首项为 1，公差为 3 的等差数列 所以32nan 设等比数列 nb的公比为 q，因为111ba，34b，15 所以22314bbqq，解得2q（或2q 舍去），所以12nnb（2）1322nnnncabn，所以12114 272322nnTn ，12321 24 272322nnTn ，两式相减得：12311 3 2222322nnnTn 121 3213225(53)22 1nnnnn 所以5352nnTn 22（1）2214xy（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得 a，b，从而求得椭圆 C的标准方程（2）设出直线 l 的方程并与椭圆 C 的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线 AM 的斜率与直线AN 的斜率之和是定值【详解】（1）由题意得22312cbeaa，所以2ab，不妨设直线1l的方程为1xyab，12xybb，即220 xyb，所以原点 O到直线1l的距离为22 555bd，解得1b，所以2a，故椭圆 C 的标准方程为2214xy（2）由题意得直线 l的斜率存在且不为 0，设直线 l的方程为12yk x，即21ykxk，设11,M x y，22,N xy，联立222114ykxkxy，16 整理得：222148214 2140kxkkxk，则222264214 144 214640kkkkk ，解得0k，12282114kkxxk，21224 21414kx xk，设直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率分别为1k，2k，则12211221121212121211222211yxyxkxkxkxkxyykkxxx xx x 222121221224 214821221221141414 21414kkkkkkx xkxxkkx xkk，故直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率之和是定值1