2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 15 页 2021-2022 学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 1已知2 iz ，则zz（）A34i55 B34i55 C1 D41i3【答案】B【分析】利用复数的除法运算直接求解.【详解】因为2 iz ，所以2i2i2i34i2i2i2i55zz.故选：B 2已知命题p:1cos22，命题q:.3kkZ，则p是q的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若1cos22，则222,Z3kk或422,Z3kk，即,Z3kk或2,Z3kk，所以p是q的必要不充分条件 故选：B 3设抛物线 C:22ypx的焦点为F，准线为lP是抛物线 C上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（）A经过点P B经过点O C平行于直线OP D垂直于直线OP【答案】A【分析】依据题意作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即可求解.【详解】如图所示：第 2 页 共 15 页 因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：A.4若352nnan，则na与1na的大小关系是（）A1nnaa B1nnaa C1nnaa D不能确定【答案】B【分析】由题知132nan，进而研究1nnaa的符号即可得答案.【详解】解：3211322nnann，所以111111330322323nnaannnnnn，即1nnaa.故选：B 5有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A13 B12 C23 D34【答案】A【详解】每个同学参加的情形都有 3 种，故两个同学参加一组的情形有 9 种，而参加同一组的情形只有 3 种，所求的概率为 p=3193选 A 6设函数 1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A11f x B11f x C11f x D11f x【答案】A【分析】求出函数 f x图象的对称中心，结合函数图象平移变换可得结果.【详解】因为 1 111111xxfxxxx ，第 3 页 共 15 页 所以，112112121f xfxxx ，所以，函数 f x图象的对称中心为1,1，将函数 f x的图象向右平移1个单位，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，即函数11f x为奇函数.故选：A.7观察2()2xx，43()4xx，(cos)sinxx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数()f x满足()()fxf x，记()g x为()f x的导函数，则()gx=A()f x B()f x C()g x D()g x【答案】D【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x是偶函数，则()()g xfx是奇函数，所以()()gxg x，应选答案 D 8若关于 x 的方程13log32xax有解，则实数a的取值范围为()A2,)B4,)C6,)D8，【答案】C【分析】将对数方程化为指数方程，用 x 表示出 a，利用基本不等式即可求 a的范围【详解】3030 xxaa，21399log3233323633xxxxxxxaxaa，当且仅当9313xxx时取等号，故6a 故选：C 9某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 18 秒才出现绿灯的概率为（）A2029 B1120 C920 D929【答案】B【分析】由几何概型公式求解即可.【详解】红灯持续时间为40 秒，则至少需要等待 18秒才出现绿灯的概率为40 18114020，故选：B 第 4 页 共 15 页 10等差数列 na的通项公式21nan，数列11nnnba a，其前n项和为nS，则3nS等于（）A221nn B21nn C661nn D361nn【答案】D【分析】根据裂项求和法求得21nnSn，再计算3nS即可.【详解】解：由题意得12233411111nnnSa aaaaaaa=11111 33 55 7(21)(21)nn=11111111(1)()()()2335572121nn=11(1)221n=21nn 所以3361nnSn.故选：D 11圆224210 xyxy 与直线2210()ytxttR 的位置关系为（）A相切 B相离 C相交 D无法确定【答案】C【分析】先计算出直线恒过定点 11，而点在圆内，所以圆与直线相交.【详解】直线2210ytxt 可化为211yt x，所以恒过定点 11，.把 11，代入224210 xyxy，有：221142110 ，所以 11，在圆内，所以圆224210 xyxy 与直线2210()ytxttR 的位置关系为相交.故选：C 12若 a0，b0，且函数 f（x）=4x3ax22bx+2 在 x=1 处有极值，则 ab 的最大值等于 A2 B3 C6 D9【答案】D【详解】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a，b 满足的条件；利用基本不等式求出 ab 的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等 解：f（x）=12x22ax2b 第 5 页 共 15 页 又因为在 x=1 处有极值 a+b=6 a0，b0 当且仅当 a=b=3 时取等号 所以 ab 的最大值等于 9 故选 D 点评：本题考查函数在极值点处的导数值为 0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等 13已知 f x是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x、2x都有 2112120 x f xx f xxx，记0.20.24.14.1fa，2.12.10.40.4fb，0.20.2log4.1log4.1fc，则（）Aacb Babc Ccba Dbca【答案】A【分析】由题，可得()()f xg xx是定义在(,0)(0,)上的偶函数，且在(0,)上单调递减，在(,0)上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出,a b c的大小关系.【详解】设120 xx，由题，得 21120 x f xx f x，即 1212f xf xxx，所以函数()()f xg xx在(0,)上单调递减，因为()f x是定义在 R上的奇函数，所以()g x是定义在(,0)(0,)上的偶函数，因此0.20.20.24.14.1(1)4.1fagg，2.12.122.10.40.40.4(0.5)0.4fbggg，0.20.250.2log4.1log4.1log 4.1(1),(0.5)log4.1fcgggg，即acb.故选：A 第 6 页 共 15 页【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.14已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F且斜率为247的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若1212()0FFF AF A，则双曲线C的离心率是（）A43 B53 C32 D2【答案】B【分析】根据1212()0FFF AF A得到三角形12AF F为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到2AF，设12AF F，进而作12FMAF，得出4sin225acc，由此求出结果【详解】因为 1212()0FFF AF A，所以221211121120FFF AF AFFF AFF，即112F AFF 所以1122AFFFc，由双曲线的定义，知222AFac，设12AF F，则24tan7，易得71 cos4cos,sin25225，如图，作12FMAF，M为垂足，则sin22acc，所以425acc，即53ca，即双曲线C的离心率为53.故选：B 第 7 页 共 15 页 二、填空题 15我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，0.5），0.5，1），4，4.5）分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 a=_ 【答案】0.3310【分析】由频率之和等于 1，即矩形面积之和为 1 可得.【详解】由题知，0.50.080.160.40.520.120.080.041aa 解得0.3a.故答案为：0.3 16若23abm，且112ab，则m _【答案】6【分析】由23abm，可得2logam，3logbm，0m，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：因为23abm，所以2logam，3logbm，0m，又112ab，所以2311log 2log 3log232loglo1g1mmmabmm，所以26m，所以6m，故答案为：6.17一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .【答案】12【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积 第 8 页 共 15 页 一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为 h，则213622 3134hh，棱锥的斜高为223(2)1 322h ，该六棱锥的侧面积为1622122 【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积 18数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1|C xyx y 就是其中之一（如图），给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3；其中，所有正确结论的序号是_【答案】【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过2；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于 3，从而判断出“心形”区域的面积大于 3.【详解】:由于曲线22:1|C xyx y，当0 x 时，1y ；当0y 时，1x ；当1y 时，01x，；由于图形的对称性可知，没有其他的整点在曲线上，故曲线C恰好经过 6 个整点：第 9 页 共 15 页(0,1)A,(0,1)B,(1,0)C,(1,1)D,(1,0)E,(1,1)F,所以正确；:由图知，到原点距离的最大值是在0y 时，由基本不等式，当0y 时，22221|1+2xyxyxy，所以222xy即222xy，所以正确；:由知长方形 CDFE 的面积为 2，三角形 BCE 的面积为 1，所以曲线 C所围成的“心形”区域的面积大于 3，故错误；故答案为：.【点睛】找准图形的关键信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键.19已知函数3()23f xxx，若过点1,1Mm存在三条直线与曲线()yf x相切，则m的取值范围为_【答案】2,0【分析】设过 M的切线切点为,)x f x，求出切线方程，参变分离得32462xxm，令 3246g xxx，则原问题等价于 y=g(x)与 y=-m-2 的图像有三个交点，根据导数研究 g(x)的图像即可求出 m的范围【详解】263fxx，设过点1,1Mm的直线与曲线 yf x相切于点3,23xxx，则32231631xxmxx，化简得，32462xxm，令 3246g xxx，则过点1,1Mm存在三条直线与曲线()yf x相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点 121gxx x，故当 x1 时，0g x，g(x)单调递增；当 0 x1 时，0gx，g(x)单调递减，又 00g，12g，g(x)如图，第 10 页 共 15 页 -2-m-20，即2,0m 故答案为：2,0 三、双空题 20如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x=_，y=_ 【答案】3 5【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出 x、y.【详解】由题意，甲组数据为 56，62，65，70+x，74；乙组数据为 59，61，67，60+y，78.要使两组数据中位数相等，有 65=60+y，所以 y=5.又平均数相同，则5662657074596167657855x，解得 x=3.故答案为：3；5.四、解答题 21已知函数7()sin(2)cos(2)6g xxx(1)求函数 g x的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2a，32g A ，求ABC面积的最大值 第 11 页 共 15 页【答案】(1)5,1212kkkZ(2)223【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（2）由余弦定理与面积公式，结合基本不等式求解【详解】(1)由己知可得 31sin2(cos2sin2)sin 2223g xxxxx ，由2 22,232kxkkZ，解得：5,1212kxkkZ，故()g x的单调递减区间是5,1212kkkZ(2)3sin(2)32g Ax ，(0,)A，故2233A，得6A，由余弦定理得：222222cos3(23)abcbcAbcbcbc，得242 323bc，当且仅当31bc时等号成立，故123sin22ABCSbcA，面积最大值为223 22如图所示，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，90ADCDCB，1AD，3BC，2PCCDAD，PC 底面ABCD，E为AB的中点 (1)求证：平面PDE 平面PAC；(2)求点B到平面PDE的距离【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】（1）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，进而根据DAEFBE证明ACDE，再结合PC 底面ABCD得PCDE，进而证明DE 平面PAC即可证明结论；（2）由14BFCF得点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的14，进而过第 12 页 共 15 页 C作CHPG，垂足为H，结合（1）得点B到平面PDE的距离等于14CH，再在Rt PCG中根据等面积法求解即可.【详解】(1)证明：设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，因为四棱锥PABCD的底面为直角梯形，90ADCDCB，所以/ADBC，所以BFEADE，因为E为AB的中点，所以AEBE，因为,BEFAED 所以DAEFBE，所以1BFAD，所以4CF，所以1tan2DCFCF，又因为1tan2ADACDDC，所以FACD，又因为90ACDACF，所以90FACF，所以90CGF，所以ACDE 又因为PC 底面ABCD，所以PCDE，因为ACPCC，所以DE 平面PAC，因为DE 平面PDE，所以平面PDE 平面PAC(2)解：由于14BFCF，所以，点B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的14，第 13 页 共 15 页 因为平面PDE 平面PAC，平面PDE平面PACPG 故过C作CHPG，垂足为H，所以，CH 平面PDE，所以点B到平面PDE的距离等于14CH 在Rt PCG中，22224 524534 52()5PC CGCHPCCG，所以，点B到平面PDE的距离等于13.23已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右焦点为1F，2F，122FF，离心率e为12（1）求椭圆C的标准方程（2）C的左顶点为A，过右焦点2F的直线l交椭圆C于D，E两点，记直线l，AD，AE的斜率分别为k，1k，2k，求证：21221bk kka a 【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析【分析】(1)由122FF 可求出1c，结合离心率可知2a，进而可求出3b，即可求出标准方程.(2)由题意知2,0A，21,0F，则由直线的点斜式方程可得直线DE的解析式为1yk x，与椭圆进行联立，设11,D x y，22,E x y，结合韦达定理可得第 14 页 共 15 页 2122212283441234kxxkkx xk，从而由斜率的计算公式对12k kk进行整理化简从而可证明21221bk kka a.【详解】（1）解：因为122FF，所以1c 又因为离心率12cea，所以2a，则3b，所以椭圆C的标准方程是22143xy（2）证明：由题意知，2,0A，21,0F，则直线DE的解析式为1yk x，代入椭圆方程22143xy，得22223484120kxk xk 设11,D x y，22,E x y，则2122212283441234kxxkkx xk又因为226112 3ba a ，1212120022yyk kkkxx12121122k xk xkxx21212121224224x xxxkx xxx 2236136kk，所以21221bk kka a 【点睛】关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用k表示交点横坐标的和与积，从而代入12k kk进行整理化简.24已知函数()sinexxaf xx在0 x 处的切线与x轴平行(1)求a的值；(2)判断()f x在0,上零点的个数，并说明理由【答案】(1)0(2)f（x）在（0，）上有且只有一个零点，理由见解析 第 15 页 共 15 页【分析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）由()sin0exxf xx，可得esin0 xxx，令()esinxg xxx，(0,)x，0,2x，,2x，利用导数法求解.【详解】(1)解：1()cosexaxfxx，所以 k=f（0）=-a=0，所以 a=0；(2)由()sin0exxf xx，可得esin0 xxx，令()esinxg xxx，(0,)x，所以()(sincos)e1xg xxx，当0,2x时，sinxcosx1，ex1，所以 g（x）0，所以 g（x）在0,2x上单调递增，又因为 g（0）=0，所以 g（x）在0,2x上无零点；当,2x时，令()(sincos)e1xh xxx，所以 h（x）=2cosx ex0，即 h（x）在,2x上单调递减，又因为2e102 h，h（）=-e-10，所以存在0,2x，00h x，所以 g（x）在0,2xx上单调递增，在0,xx上单调递减，因为2e022g，g（）=-0，所以 g（x）在,2x上且只有一个零点；综上所述：f（x）在（0，）上有且只有一个零点