2022-2023学年安徽省部分学校高三上学期仿真模拟(二)数学试题.pdf

2023 届高考仿真模拟卷（二）数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1已知集合A、B满足1Ax x，1Bx xa，若AB，则实数a的取值范围为（）A,1 B,2 C1,D2,2 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点36,33P，则cos2（）A13 B2 23 C13 D2 23 3已知函数()f x为R上的奇函数，当0 x 时，()exf xxm，则(1)f（）Ae Be Ce1 De 1 452212xxyxyx的展开式中26x y的系数为（）A30 B40 C70 D80 5抛物线2:4C yx的准线被圆225xy所截得的弦长为（）A1 B3 C2 3 D4 6“迪拜世博会”于 2021 年 10 月 1 日至 2022 年 3 月 31 日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为6cm，外层底面直径为8cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为10cm的球面上.此模型的体积为()A338 cm B392 cm C3114 cm D3123 cm 7 第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 2022 年 2 月 20 日在北京市和河北省张家口市联合举行某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排 1 人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A512 B112 C775 D475 8如图所示，点 F 是椭圆2222:1(0)xyMabab的右焦点，A，C 是椭圆上关于原点 O对称的两点，直线AF与椭圆的另一个交点为 B，若,2AFFC AFBF，则椭圆 M的离心率为（）A53 B12 C32 D3 1 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了n名学生的成绩进行统计（满分 100 分），并绘制成如图所示的频率分布直方图（分为40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100六组），若成绩在70,100内的有 360 人，则下列说法正确的是（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（）Aa0.025 B800n C估计成绩在 60 分以下的有 150 人 D估计这n名学生的平均成绩为 70 分 10已知向量(2,1)a，(1,)()bt tR，则下列说法正确的是（）A|5a B若ab，则t的值为2 C若ab，则t的值为12 D若03t，则a与b的夹角为锐角 11函数()sin(2)|,02f xAxA的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A()f x在5,012上单调递增 B()f x关于直线12x对称 C()f x关于点,04对称 D()f x在5,36上的最小值为2 12已知e2.71828是自然对数的底数，函数ln2,0,()e3,0,xxxxf xxx则（）（参考数据：ln82.079，ln92.197，ln102.303）A函数()f x的图象在1x处的切线方程为30 xy B()f x的最小值为e C函数()f x在(0,)上单调递减 D若整数x满足1()2f x，则所有满足条件的x的和为 21 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若复数112iz，其中i为虚数单位，则|z _ 14已知直线yxa与曲线2e1xy相切，则实数a的值为_ 15双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段 AB 长度为 2a，动点M满足2MA MBa，那么M的轨迹称为双纽线已知曲线2222:(2)(2)4Cxyxy为双纽线，若P为曲线C上的动点，A，B 的坐标为(0,2)和(0,2)，则PAB面积的最大值为_ 16已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，PBPC，90PAB，ABC是边长为2 3的等边三角形，PBC的面积为5 3，则球O的体积为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17举办亲子活动，不仅能促进家庭与幼儿园之间的合作，还能增进亲子之间的感情，对促进幼儿园教育也具有重要作用某幼儿园为了提高家长对该幼儿园举办亲子活动的满意度，随机调查了 80 名家长，每名家长对该幼儿园举办的亲子活动给出满意和不满意的评价，得到的数据如下表：满意 不满意 合计 男家长 40 女家长 26 合计 42 80 (1)补充完整上面的列联表，并分别估计男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率；(2)能否有 99.5%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异？参考公式：22()()()()()n adbcab cdac bd，其中nabcd 参考数据：2Pk 0.10 0.05 0.010 0.005 k 2.706 3.841 6.635 7.879 18已知数列 na的前n项nS满足324S，24nnSnna，*nN(1)求数列 na的通项公式；(2)若2114mmmSa a，求正整数m的值 19在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2coscoscosBACacabbc(1)求B；(2)若6b，BD是AC边上的高，求BD的最大值 20 如图所示多面体中，底面ABCD是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD，/AF DE，33 6DEAF，M是BD上一点，3BDBM (1)求证：/AM平面BEF；(2)求二面角FBEC的正弦值 21已知双曲线2222:1xyCab（0a，0b）的渐近线方程为3yx，焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线C的方程；(2)设A，B是双曲线C右支上不同的两点，线段 AB的垂直平分线l交 AB 于M，点M的横坐标为 2，则是否存在半径为 1 的定圆P，使得l被圆P截得的弦长为定值，若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由 22已知函数2()2ln()f xxax axR.(1)当1a 时，求函数()f x的单调区间；(2)若函数()f x有两个极值点1x，2x且1(1,ex（e为自然对数底数，且e2.71828），求 12f xf x的取值范围 1页 1B 2C 3B 4A 5D 6C 7C 8A 9AC 10AC 11ABD 12AD 1355#155 142 152 1664 23 17(1)列联表见解析；710；720(2)有 99.5%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异.【分析】（1）根据题意完善 22 列联表即可，根据古典概率分别求解概率即可.（2）由公式先求出2，对照参考数据作出判断即可.【详解】（1）22 列联表如下：满意 不满意 合计 男家长 28 12 40 女家长 14 26 40 合计 42 38 80 2页 男家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率：2874010 女家长对该幼儿园举办的亲子活动满意的概率：1474020（2）由2228028 26 14 12()5609.8253.841()()()()42 38 40 4057n adbcab cd ac bd 所以有 99.5%的把握认为男、女家长对该幼儿园举办的亲子活动的评价有差异.18(1)4nan=(2)正整数m的值为7.【分析】（1）由na与nS的关系，依据24nnSnna，由等差中项法得出数列 na为等差数列，再根据11aS和324S 求出首项和公差，即可求出数列 na的通项公式；（2）由等差数列前n项和公式和通项公式计算即可.【详解】（1）由已知，当1n 时，1124Sa，即1124aa，14a，当2n时，24nnSnna，112411nnSnna，以上两式相减，得112241nnnnSSnana，即1241nnnanana（2n），10214nnnana（2n），当3n时，124032nnnana，以上两式相减，得1222420nnnnanana（3n），即212222nnnnanana（3n），3n，20n，212nnnaaa（3n），当3n时，1na是2na与na的等差中项，数列 na是等差数列.设 na的公差为d，则313 23123242Sadd，4d，数列 na的通项公式为114414naandnn.（2）由第（1）问，数列 na是首项14a，公差4d 的等差数列，4nan=，3页 2111442222nn nn nSnadnnn，2222214 441mSmmmm，即221561mmm m，0m且1m，156m m，解得8m（舍）或7m，正整数m的值为7.19(1)3(2)3 22 【分析】（1）将2coscoscosBACacabbc两边同乘abc，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出ac的最大值，即可求出面积的最大值，再根据12ABCAC BDS求出BD的最大值.【详解】（1）解：因为2coscoscosBACacabbc，所以2 coscoscosbBcAaC，由正弦定理可得2sincossincossincosBBCAAC，即2sincossinsinBBCAB，因为0,B，所以sin0B，所以1cos2B，则3B.（2）解：因为6b，3B，由余弦定理2222cosbacacB，即226acac，所以2262acacac当且仅当ac时取等号，所以6ac，则133 3sin242ABCSacBac，当且仅当6ac时取等号，所以max3 32ABCS，又12ABCAC BDS，所以3 32223 22266ABCABCSSBDAC，4页 故BD的最大值为3 22.20(1)证明见解析(2)8 9191 【分析】（1）过点M作/MNDE，交BE于点N，先证明四边形AMNF为平行四边形，即可得到/AM NF，进而得证；（2）以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用法向量即可求得二面角的余弦值，进而求解.【详解】（1）证明：过点M作/MNDE，交BE于点N，则13MNBMDEBD，即6MN，因为/AF DE，所以/AF MN，且=6AFMN，所以四边形AMNF为平行四边形，所以/AM NF.又NF 平面BEF，AM 平面BEF，所以/AM平面BEF.（2）由题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则3,3,0B，3,0,6F，0,0,3 6E，0,3,0C，所以0,3,6BF，3,3,3 6BE ，3,0,0BC ，设平面BEF的法向量为1111,nx y z，平面BEC的法向量为2222,nxy z，则1100nBFnBE，2200nBCnBE，即11111360333 60yzxyz，222230333 60 xxyz，令16z，26z，则14,2,6n，20,6,6n，设二面角FBEC为，所以1212183 273cos912642n nnn，即8 91sin91，5页 所以二面角FBEC的正弦值为8 9191.21(1)2213yx (2)存在，定圆P：22(8)1xy 【分析】（1）设双曲线的右焦点2,0F c，利用焦点到渐近线的距离求出c，再根据渐近线方程及222cab，求出b，a，即可得解；（2）先利用“点差法”写出直线AB的方程，再写出AB的中垂线l的方程，求出l所过的定点即为圆P的圆心，然后写出圆的方程即可.【详解】（1）解：设双曲线的右焦点2,0F c，则点2,0F c到渐近线30 xy的距离为3，即 223331cd，解得2c，又渐近线方程为3yx，即3ba，且222cab，解得3b，1a，所以双曲线方程为2213yx.（2）解：设1122(,),(,)A x yB xy，AB 的中点为00(,)M x y 因为A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为 2 所以221122221201201,31,32,2,2yxyxxxxyyy，6页-得1212121203yyyyxxxx，当ABk存在时，12121212003()3 462AByyxxkxxyyyy，因为 AB 的中垂线为直线 l，所以00(2)6yyyx，即0:(8)6yl yx，所以l过定点(8,0)T，当ABk不存在时，A，B关于x轴对称，AB的中线l为x轴，此时l也过(8,0)T，所以存在定圆P：22(8)1xy，使得l被圆P截得的弦长为定值2 22(1)单调递增区间为0,，无单调递减区间.(2)8,0e 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；（2）求导，分析 f x单调性，得当4a 时，f x有两个极值点，且122axx，121x x，可得出 12111111144lnf xf xxxxxx，设1xt，构造函数 1144lnh tttttt，其中1,et，利用导数求出函数 h t在1,e上的值域，即可得解.【详解】（1）解：当1a 时2()2lnf xxxx定义域为0,，又222221152212248()20 xxxfxxxxx，所以 f x在0,上单调递增，即 f x的单调递增区间为0,，无单调递减区间.（2）解：由题知，2ln2axfxxx，函数 f x的定义域为0,，2222222axaxfxxxx，当0a 时，对任意的0 x，0fx恒成立，故 fx在0,上单调递增，没有极值点；当04a时，2160a，0fx且 fx不恒为零，故 f x在0,上单调递增，没有极值点；当4a 时，令 0fx，解得21164aax，22164aax，则120 xx，7页 当20,xx时，0fx；当21,xxx时，0fx；当1,xx时，0fx，此时函数 f x的单调递增区间为2160,4aa、216,4aa，单调递减区间为22161644aaaa,.综上，当4a 时，f x有两极值点1x、2x，且122axx，121x x，所以 12112212222ln2lnf xf xxaxxaxxx 1111112111114ln44lnxxaxxxxxxx，设1xt，1144lnh tttttt，其中1,et，所以 22224 1ln11114 141lntth tttttttt，又因为1,et，可知 0h t，所以 h t在1,e上单调递减 1ehh th，即 80eh t，所以 12f xf x的取值范围为8,0e.【点睛】关键点点睛：本题（2）考查 12f xf x的取值范围，要注意12xx、所满足的关系式（即韦达定理），在化简时，要注意将两个变量统一为同一变量，通过构造函数，利用求解函数值域的方法来求解.