2022-2023学年天津市宝坻区第四中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

1 2022-2023 学年度第一学期期末测试 高二数学 考试时间：100 分钟；注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题）一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分 1.在空间直角坐标系中，已知点 A(1，1，2)，B(3，1，2)，则线段 AB 的中点坐标是（）A(2，1，2)B.(1，1，0)C.(2，0，1)D.(1，1，2)【答案】B【解析】【分析】利用中点坐标公式直接求解【详解】在空间直角坐标系中，点(1A，1，2)，(3B，1，2)，则线段AB的中点坐标是13(2，1 12，22)(12，1，0)故选：B.2.已知圆1C：222xy，圆2C：22222xy，则圆1C与圆2C的位置关系为（）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切【答案】C【解析】【分析】计算圆心距，和12rr比较大小，即可判断两圆位置关系.【详解】圆1C的圆心坐标是0,0，半径12r，圆2C的圆心坐标是2,2，半径22r，2212222 2CC,所以圆心距1212CCrr，所以两圆相外切.故选：C 3.已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab的离心率为 2，则 C的渐近线方程为（）2 A.33yx B.3yx C.2yx D.yx 【答案】A【解析】【分析】根据离心率及 a，b，c 的关系，可求得33ab，代入即可得答案.【详解】因为离心率2cea，所以222222214cabbaaa，所以223ba，3ba，则33ab，所以 C的渐近线方程为33ayxxb .故选：A 4.如 图 所 示,在 正 方 体1111ABCDABC D中,点 F 是 侧 面11CDD C的 中 心,设1,ADa ABb AAc,则AF（）A.1122abc B.1122abc C.1122abc D.1122abc【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理将AF转化为,a b c即可选出答案.【详解】解:由题知,点 F是侧面11CDD C的中心,F为1DC中点,则AFADDF 3 112ADDC 11112ADDDDC 112ADAAAB 1122abc,故选:A 5.两条平行直线34120 xy与8110axy之间的距离（）A.235 B.2310 C.72 D.7【答案】C【解析】【分析】首先根据两条直线平行求出参数a的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.详解】由已知两条直线平行，得348a，所以6a，所以直线34120 xy可化为68240 xy，则两平行线间的距离2224117268d.故选：C 6.5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年8月底，A地区已经累计开通5G基站 300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设已知 2021年 9月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（）A.2022 年 11 月底 B.2022 年 10 月底 C.2022 年 9 月底 D.2022 年 8 月底【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合等差数列的求和公式即可求得结果.【详解】假设要经过n个月，A地区累计开通 4640个5G基站，则由题意得(1)300504046402n nn，4 化简得2234340nn，(14)(231)0nn，解得14n 或312n （舍去）所以预计A地区累计开通 4640 个5G基站要到 2022 年 10 月底，故选：B 7.如图，在长方体1111ABCBABC D中，2ABBC，11CC，则直线1AD和1B D夹角的余弦值为（）A.33 B.33 C.55 D.55【答案】D【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，分别求出1AD1B D的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以D为原点，分别以DA，DC，1DD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0,0,0D，2,0,0A，10,0,1D，12,2,1B，所以12,0,1AD ，12,2,1B D ，所以1111114 15cos,5544 1AB DB DB DDADAD，所以直线1AD和1B D夹角的余弦值为55，故选：D.5 8.设Ra，则“3a ”是“直线1:210laxy 与直线2:(1)20laxay垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.重要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据直线垂直求出a的值，再根据充分性和必要性的概念得答案.【详解】直线1:210laxy 与直线2:(1)20laxay垂直 则120a aa，解得0a 或3a ，则“3a ”是“直线1:210laxy 与直线2:(1)20laxay垂直”的充分不必要条件.故选：A.9.设nS为数列 na的前n项和，若22nSnn，则na（）A.21n B.21n C.1n D.1n【答案】A【解析】【分析】根据公式11,1,2nnnS naSSn，即可求解.【详解】当1n 时，21112 13aS，当2n时，221212121nnnaSSnnnnn，验证，当1n 时，12 1 13a ，所以21nan.故选：A 10.已知等比数列 na的各项均为正数，且379a a，则313539logloglogaaa（）6 A.7 B.9 C.81 D.3【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.【详解】依题意可得2537199aa aa a，又0na，所以53a，所以313539logloglogaaa31953log()log(9 3)a a a33log 33.故选：D 11.设1F，2F是椭圆E：222210 xyabab的左、右焦点，过点2,0Fc且倾斜角为60的直线l与直线2axc相交于点P，若12PFF为等腰三角形，则椭圆E的离心率e的值是（）A.22 B.13 C.33 D.32【答案】A【解析】【分析】先求得P点的坐标，然后根据60列方程，化简求得离心率.【详解】由于12PFF为等腰三角形，所以21cos6022accc，2222122,22ccacaa.故选：A 12.图 1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB，深度2MO，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图 2 所示的平面直角坐标系xOy，若P是该拋物线上一点，点15,28Q，则PFPQ的最小值为（）7 A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由已知点2,3在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求PFPQ的最小值.【详解】设抛物线的方程为220ypx p，因为6AB，2MO，所以点2,3A在抛物线上，所以94p，故94p，所以抛物线的方程为292yx，所以抛物线的焦点F的坐标为9,08，准线方程为98x ，在方程292yx中取158x 可得2135416y，所以点Q在抛物线内，过点P作PP与准线垂直，P为垂足，点Q作QQ与准线垂直，Q为垂足，则PFPP，所以159388PFPQPPPQQQ，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以PFPQ的最小值为 3，故选：B.第 II 卷（非选择题）8 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知数列 na为公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，且1a，2a，4a成等比数列，515S，则4a _【答案】4【解析】【分析】由题意结合等比数列的性质、等差数列通项公式、前 n 项和公式可得11ad，再由等差数列的通项公式即可得解.【详解】设等差数列的公差为0d d，由题得2142515a aaS,所以 2111135 45152aadadad，所以11ad，所以413 14a .故答案为：4.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知抛物线220ypx p的焦点为F，点2,2 2M为抛物线上一点，则MF _.【答案】3【解析】【分析】先求出抛物线标准方程，求出焦点坐标，即可求出MF.【详解】因为点2,2 2M为抛物线22(0)ypx p上一点，所以22 222p，解得：2p.所以焦点1,0F.所以222 12 203MF.故答案为：3 15.已知1,1,1n 是平面a的一个法向量，点1,1,0A在平面a内，则点2,2,2P到平面a的距离为_.【答案】233#2 33【解析】9【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】由题可得1,1,2AP，又1,1,1n 是平面a的一个法向量，则点 P 到平面的距离为1 122 3cos,31 1 1AP nAPAP nn .故答案为：233.16.圆22:4240C xyxy关于直线=+1y x对称的圆C的标准方程为_【答案】2231xy【解析】【分析】由题意，整理圆的一般方程为标准方程，明确圆心与半径，根据点关于直线对称，可得答案.【详解】由224240 xyxy，则22211xy，即2,1C，半径为1，设C关于直线=+1y x的对称点,C x y，可得11=12+1+2=+122yxyx，解得=0=3xy，即0,3C，故圆C的标准方程为2231xy.故答案为：2231xy 三、解答题：本大题共 4 小题，共 52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为0,0A，2,0B，3,3C （1）求 BC边上的中线 AD的所在直线方程；（2）求ABC的外接圆 O被直线 l：10 xy 截得的弦长【答案】（1）350 xy（2）2 3【解析】【分析】（1）先求 BC 边的中点 D 的坐标，再得 AD 的斜率即可求解；（2）先求ABC 的外接圆 O，再求圆心到直线.直线 l的距离，再由勾股定理可求解.【小问 1 详解】2,0B，3,3C 10 BC边的中点 D的坐标为53,22，中线 AD的斜率为30325502，中线 AD的直线方程为：3005yx，即350 xy【小问 2 详解】设ABC的外接圆 O的方程为220 xyDxEyF，A、B、C 三点在圆上，042099330FDFDEF 解得：240DEF 外接圆 O的方程为22240 xyxy，即22(1)(2)5xy，其中圆心 O为1,2，半径5r,又圆心 O 到直线 l的距离为 22121211d ,被截得的弦长的一半为223rd,被截得的弦长为2 3.18.如图，在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，E是棱1DD的中点，F为11C D的中点 （1）求证：1BF平面1ABE 11（2）求直线BE和平面11AC E所成的角的正弦值（3）求平面1ABE与平面11AC E夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）63（3）66【解析】【分析】以A为原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系用向量法判定线面平行以及求空间角【小问 1 详解】以A为原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 依题意，得11,0,0,0,1,0,0,0,0,1,02BEAD，1111,0,1,0,1,2ABAE，设面1ABE的法向量1111,xny z，111100AB nAE n，所以11110102xzyz，取12z，得12,1,2.n 因为11,1,02B F，所以111 1 00B F n 所以11B Fn 又1B F 面1ABE 所以1BF面1ABE【小问 2 详解】12 11111,1,0,0,1,2ACAE，设面11AC E的法向量2222,nxy z，1121200ACnAE n，所以22220102xyyz，取22z，得21,1,2n 因为11,1,2BE，所以2226cos,3BE nBE nBE n 所以直线BE和平面11AC E所成的角的正弦值为63【小问 3 详解】由（1）（2）可得12121236cos,636n nn nn n，所以平面1ABE与平面11AC E夹角的余弦值为66 19.等差数列 na的前n项和为nS，数列 nb是等比数列，满足13a，11b，2210bS，5232aba.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）令nnncab，设数列 nc的前n项和为nT，求nT；（3）令121nnnnnbdaa，设数列 nd的前n项和为nK，求证：13nK.【答案】（1）21nan，12nnb（2）21 21nnTn（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得2,2,dq再根据等差数列与等比数列通项公式得结果；13（2）根据错误相减法求数列 nc的前n项和为nT，注意作差时项符号的变化以及求和时项数的确定；（3）将nd裂项得 1222123nnndnn，然后求和即可.【小问 1 详解】设数列 na的公差为d，数列 nb的公比为q，则 由2252310,2,bSaba 得61034232qddqd，解得22dq，所以3 2121nann，12nnb.小问 2 详解】由（1）可知121 2nncn，012213 25 27 221 221 2nnnTnn 123123 25 27 221 221 2nnnTnn 得：12132 22 22 221 2nnnTn 21 22221 2nnn 12121 21 221nnnnn，21 21nnTn.【小问 3 详解】1112121 22221232123nnnnnnndnbnaannnn 1122422121355721233233nnnnnKnn 20.已知椭圆：E：22221(0)xyabab的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.1F，2F是椭圆E的两个焦点.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与椭圆E相交于不同的两点,A B，已知点A的坐标为(,0)a，若4 25AB，14 求直线l的方程；（3）设P是椭圆E上一点，直线1PF与椭圆E交于另一点M，点Q满足：PQx轴且12122QF FPF FSS，求证：1221|PMFF QF是定值.【答案】（1）2214xy（2）(2)yx （3）14【解析】【分析】（1）由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出B点坐标，最后由距离公式得出直线l的方程（3）设00,P x y，11,M x y，02(,)Q xy，计算220|72 3F Qx，求出直线1PF0033xxyy，将其与椭圆联立求得01072 3yyx，则100172 3,22PFxxFM，最后计算两者之和即可得到定值.【小问 1 详解】由题意可得222322caabcab，得2a，1b，椭圆22:14xCy；【小问 2 详解】设(2,0)A，22(,)B xy，直线AB为(2)ykx 由222141yk xxy，得2222(14)161640kxk xk 显然0，由韦达定理有：22216241kxk，则2228241kxk；所以222824,1 41 4kkBkk，且4 25AB，若22224 2205xy，即222224 28242051 41 4kkkk 15 解得1k ，所以(2)yx 【小问 3 详解】由题意可得13,0F，23,0F，设00,P x y，11,M x y，02(,)Q xy，则220044xy，由12122QF FPF FSS，可得202yy，222222020000|(3)3 2 3472 3FQxyxxyx；直线1PF的方程为0033yyxx，得0033xxyy，与椭圆方程2244xy联立，可得220000334)2 310 xxyyyy，所以22000122200000013432 372 34()yyy yxxyxxy ，即有01072 3yyx，所以100001172 372 3,22PFyxxxFyM 所以122001|72 372 314PMFF QxxF，是定值【点睛】关键点睛：本题第二问主要是由弦长求直线方程，通常采用弦长公式，本题已知其中一交点坐标则可以利用韦达定理求出另一交点坐标，再利用两点距离公式得到关于k的弦长方程，则可得到k值，第三问的关键在于首先利用面积关系及P在椭圆上得到220|72 3F Qx，再写出直线1PF的方程，将其与椭圆联立，利用两根之和式得到01072 3yyx，从计算出10172 3FMPFx，最后即可证明定值.