2023届上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含答案.pdf

2022 学年第一学期高三数学教学质量调研试卷 考生注意：1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码 2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分 3本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.设全集1,2,3,4U，1,3A，则A 2.不等式2320 xx的解集为 .3.复数z满足11iz（其中i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点Z到原点O的距离为 .4.设向量a、b满足1a，2a b，则aab .5.如图，在三棱台111ABCABC的 9 条棱所在直线中，与直线1A B是异面直线的共有 条 6.甲、乙两城市某月初连续 7 天的日均气温数据如图所示，则在这 7 天中，甲城市日均气温的中位数与平均数相等；甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定；乙城市日均气温的极差为 3；乙城市日均气温的众数为 5.以上判断正确的是 .（写出所有正确判断的序号）7.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担现从 6 人中任选 4人承担这三项任务，则共有 种不同的选法.8.研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足21lnln2kytxat，其中,k a为非零常数.已知释放 1 秒后，在距释放处 2 米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素 4 秒后，距释放处的 米的位置，信息素浓度为2m.9.若1,2,0OA，2,1,0OB，1,1,3OC，则三棱锥OABC的体积为 .10.已知函数2sin06yx的图像向右平移02个单位，可得到函数sin2cos2yxax的图像，则 (第6题）乙甲气温C日期12345671234567OC1B1A1C（第5题）BA11.已知1AA是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于AB、的点.若圆柱的侧面积为4，则三棱锥1AABC外接球体积的最小值为 .12.已知12FF、为椭圆222:11)xyaa的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点1F且与交于BC、两点.若l垂直平分线段2AF，则ABC的周长是_ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13.若为第四象限角，则（）.A.sin20；B.cos20；C.sin20；D.cos20.14.设 12,1,1,2,32af xxa，则“函数 yf x的图像经过点1,1”是“函数 yf x为奇函数”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件 15.掷两颗骰子，观察掷得的点数设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数，事件A的概率为 P A，事件B的概率为 P B则1P AB是下列哪个事件的概率（）.A.两个点数都是偶数；B.至多有一个点数是偶数；C.两个点数都是奇数；D.至多有一个点数是奇数.16.函数 2axf xeb的大致图像如图，则实数a、b的取值只可能是（）.A.0a、1b；B.0a、01b；C.0a、1b；D.0a、01b.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.已知数列 na为等差数列，数列 nb为等比数列，数列 na的公差为2.（1）若11ba，22ba，35ba，求数列 nb的通项公式；（2）设数列 na的前n项和为nS，若123kSa，116kaa，求1a.xy（第16题）O18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.已知ABC的三个内角ABC、的对边分别为a b c、.（1）若ABC的面积2224acbS，求B；（2）若3ac，sin3sinAB，6C，求c.19（本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分6 分）.如图，在三棱锥DABC中，平面ACD 平面ABC，ADAC，ABBC，EF、分别为棱BC、CD的中点.（1）求证：直线/EF平面ABD；（2）求证：直线BC 平面ABD；（3）若直线CD与平面ABC所成的角为45，直线CD与平面ABD所成角为30，求二面角BADC的大小.（第19题）FDECBA20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）.已知抛物线2:4yx的焦点为F，准线为l.（1）若F为双曲线222:210 xCyaa的一个焦点，求双曲线C的离心率e；（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若|2|2PFPE，求直线EP的方程；（3）经过点F且斜率为0k k 的直线l与相交于A B、两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N.试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.21（本题满分 18 分，第 1 小题题满分 4 分，第 1 小题题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.已知函数 yf x的定义域为0,.（1）若 lnf xx.求曲线 yf x在点1,0处的切线方程；求函数 23g xf xxx的单调减区间和极小值；（2）若对任意,1,a bab，函数 yf x在区间,a b上均无最小值，且对于任意nN，当,1xn n时，都有 11f nf xf xf nf nf n.求证：当1,x时，2f xfx.2022 学年第一学期高三数学教学质量抽测试卷 参考答案与评分标准 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1.2,4 2.1,2 3.22.4.3.5.3.6.7.180.8.4.9.52.10.4.11.8 23 12.8 33 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分）13.A 14.C 15.D 16.C 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.解：（1）11ba，2212baa，3518baa 因为221 3bbb，所以211128aaa，得11a，11b，23b，所以数列 nb的公比为 3，数列 nb的通项公式为13nnb.（2）因为数列 na的公差为 2，所以11nSnan n，121naan 因为116kaa，所以13ka，所以123kSa，所以11112132366123aaka，得18a .18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.解：（1）因为我2222cosbacacB 所以2221cos42acbacB，又因为2221sin24acbSacB，所以tan1B，因为0,B，所以4B.（2）因为sin3sinAB，所以3ab，因为2222coscababC，所以22222332 32cbbbb，得bc，进而3ac，因为3ac，所以1c.19（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）.（1）证明：因为E、F分别为棱BC、CD的中点.所以/EF BD，因为BD 平面ABD，EF不在平面ABD上，所以/EF平面ABD.（2）因为平面ACD 平面ABC，ADAC，所以AD 平面ABC，所以ADBC，因为ABBC，ADABA，所以BC 平面ABD.（3）因为AD 平面ABC，所以DCA即为直线CD与平面ABC所成的角，得45DCA 所以2cos452ADCDCD，因为BC 平面ABD，所以CDB即为直线CD与平面ABD所成的角，得30CDB 所以1sin302BCCDCD，因为AD 平面ABC，所以ADAB，又ADCD，所以BAC即为二面角BADC的平面角，由ABBC，得2sin2BCBACAC，得45BAC 所以二面角BADC的大小为45.20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）.解：（1）1,0F，双曲线C的半焦距1c 双曲线22221xya的的标准方程为222112xya,所以2112a，得22a，所以2cea （2）解法一：的准线方程为1x ，1,0E 设点,P x y，因为22PFPE，所以2222121xyxy，得22610 xxy 因为24yx，所以2210 xx，所以1x，因为P在第一象限，所以点P的坐标为1,2，所以直线EP的斜率为11yx 直线EP的方程为1yx.解法二：的准线方程为1x ，1,0E 过点P作的准线的垂线，垂足为H，则PHPF，因为2=2PFPE，所以22PHPE，因为P在第一象限，所以直线EP的倾斜角为4，所以直线EP的方程为1yx （3）设点11,A x y，22,B xy，由已知直线l的方程为1yk x，将11xyk代入抛物线方程得2440yyk，所以12=4y y，因为直线OA的方程为14yxy，直线OB的方程为24yxy，所以MN、的纵坐标分别为14Myy，24Nyy，得圆C方程为2124410 xyyyy，因为124y y ，所以整理得221244140 xyyyy,令0y，得3x 或1x，所以圆C过定点3,0和1,0.21（本题满分 16 分，第 1 小题题满分 4 分，第 1 小题题满分 6 分，第 2 小题满分 8分）.解：（1）1fxx，所以 11f，所以曲线 yf x在点1,0处切线的斜率为 1，进而曲线 yf x在1,0处的切线方程为1yx.（2）2ln3g xxxx，123gxxx，令 0gx，得112x，21x，列表如下：x 10,2 12 1,12 1 1,gx 0 _ 0 g x 极大值 极小值2 所以函数 yg x的单调减区间为1,12，函数 yg x在1x 处取得极小值上 12g.（3）解：11f nf xf xf nf nf n 等价于 10f xf nf xf n，若存在0nN，使得 001f nf n，则当00,1xn n时，001f nf xf n，此时 yf x在00,1n n 上有最小值，与已知矛盾，所以对任意nN，都有 1f nf n；即对任意,1nxn nN，都有 1f nf xf n 若存在0,1xn n，使得 0f nf x，则当0,xn x时，0f xf x，与已知矛盾，所以即对任意,1nxn nN，都有 1f nf xf n，当*,1xn nnN 时，22,22xnn，由 12222f nf xf nfnfxfn 得 2f xfx.