2023届四川省泸县第五中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页 2023 届四川省泸县第五中学高三上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合1NPx xx，28xQx，则PQ（）Ax|14x Bx|1x3 C1，2 D1，2，3【答案】D【分析】先化简集合 Q，再去求PQ即可解决.【详解】28=3xQxx x 则 1N31,2,3PQx xxx x，故选：D 2欧拉公式ecosisini（e 为自然对数的底数，i为虚数单位）由瑞士数学家 Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则ie（）A-1 B1 C-i Di【答案】A【分析】根据题已知中欧拉公式ecosisini，直接计算可得答案.【详解】由题意得：ecosisin1i，故选：A 3如图为某市国庆节 7 天假期的商品房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图，则下面结论中正确的是 A日成交量的中位数是 16 B日成交量超过日平均成交量的有 1 天 C日认购量与日期是正相关关系 第 2 页 共 17 页 D日认购量的方差大于日成交量的方差【答案】D【解析】根据折线图中的数据进行逐项分析即可.【详解】7 天假期的商品房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；对于选项 A：7 天假期的日成交量为：8、13、16、26、32、38、119，所以日成交量的中位数是 26，故选项 A 错误；对于选项 B：日平均成交量为：13832162638 119367，有 2 天日成交量超过日平均成交量，故选项 B 错误；对于选项 C：根据图形可得，随着日期变大，日认购量是先下降后上升，所以日认购量与日期不是正相关，故选项 C 错误；对于选项 D：由图中的数据可得，日认购量的波动程度明显大于日成交量的波动程度，所以日认购量的方差大于日成交量的方差，故选项 D 正确.故选：D【点睛】本题考查利用折线图求样本的中位数、平均数及方差等数字特征；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握样本数字特征的有关概念和计算公式是求解本题的关键；属于中档题.4函数 1cos1xxef xxe的部分图象大致为（）A B C D【答案】B【分析】先根据奇偶性排除 A，再用特殊值排除 C,D.【详解】由题可知：函数定义域为0 x x 11coscos11xxxxeefxxxf xee 第 3 页 共 17 页 1cos1xxef xxe是奇函数，排除 A；1cos01efe,排除 C;因为 1122coscoscos1111xxxxxeefxxxxeee 当0 x 时，易得2101xe，所以 2cos11xf xxe在0 x 时的第一个零点是2，又06f，排除 D.故选：B【点睛】此题考查判断函数图像，一般从定义域，奇偶性，单调性，特殊值等方面进行排除求解，属于较易题目.5洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为 15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使这三个数之和等于 15 的概率是（）A310 B15 C23 D13【答案】B【分析】根据题意，列举三个数之和为 15 的所有情况，根据古典概型计算概率.【详解】从三个阳数1,3,5,7,9中随机抽取三个数共有 10 种取法，合题意的有 2 种：1,5,9和3,5,7，由此可得所求概率为15.故选：B【点睛】本题考查古典概型的计算，属于基础题.6如图正方体1111ABCDABC D中，点,E F分别是11AB,A D的中点，O为正方形1111DCBA的中心，则（）第 4 页 共 17 页 A直线,EF AO是异面直线 B直线1,EF BB是相交直线 C直线EF与1BC所成角为30 D直线1,EF BB所成角的余弦值为33【答案】C【分析】根据空间直线的位置关系判断直线EF与AO，1BB是否异面，用向量法求异面直线所成角.即可得到答案.【详解】在正方体1111ABCDABC D中，点,E F分别是11AB,A D的中点，O为正方形1111DCBA的中心，易知四边形AEOF为平行四边形，所以,EF AO相交，故 A 不正确.若直线1,EF BB是相交直线，则直线1,B F BE相交或平行，这与题意不符合，故 B 不正确.以1,DA DC DD分别为,x y z轴建立空间坐标系，设正方体的棱长为 2，如图 则1(2,1,0),(2,2,0),(1,0,2),(0,2,2)EBFC,1(2,2,2)B 则(1,1,2)EF ,1(0,0,2)BB,1(2,0,2)BC 则1112+43cos,=262 2|EF BCEF BCEF BC.所以直线EF与1BC所成角为30，故 C 正确.第 5 页 共 17 页 11146cos,=362|EF BBEF BBEF BB,故 D 不正确.故选：C【点睛】本题考查空间直线的位置关系，异面直线所成角，属于中档题.7已知向量a，b满足2b 且abb，则a在b方向上的投影为 A2 B-2 C4 33 D4 33【答案】B【解析】由向量abb得到0abb，求出a b的值，利用平面向量投影的定义即可求解.【详解】2b，abb，240abba bba b ，4a b，a在b上的投影为4cos,22a baa bb.故选：B【点睛】本题考查平面向量垂直数量积为零和投影的定义；考查运算求解能力；熟练掌握平面向量垂直其数量积为零和投影的定义是求解本题的关键；属于中档题.8在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若2,3 2ac，tan2tanBA，则ABC的面积为 A2 B3 C3 2 D4 2【答案】B【分析】利用三角函数恒等变换和正弦定理，化简已知等式得 c3acosB，由 a2，c32，得 cosB，再利用三角形的面积公式计算即可【详解】tanB2tanA，可得：sin2sincoscosBABA，即：2sinAcosBcosAsinB，sinCsinAcosB+cosAsinB3sinAcosB，由正弦定理得：c3acosB，a2，c32，cosB22，因为 B（0，），得：2sin2B.112acsin2 3 23222ABCSB 故选 B【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题 9若不等式1101 4mxx对10,4x恒成立，则实数 m 的最大值为（）A7 B8 C9 D10 第 6 页 共 17 页【答案】C【解析】分离参数使不等式化为1114mxx，使1114xx乘以41 4xx 利用基本不等式求出1114xx的最小值即可求解.【详解】将不等式化为1114mxx，只需当10,4x时，min1114mxx即可，由11114141414xxxxxx 14414441525491414xxxxxxxx，当且仅当15x 时取等号，故9m,故 m 的最大值为 9.故选：C 【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于中档题.10已知函数 f x是定义在实数集 R 上的奇函数，当0 x 时，21xf x，则使不等式3log30fx 成立的 x 的取值范围是（）A,9 B0,9 C9,D10,9【答案】B【分析】根据题意，分析函数 f x的单调性及连续性，根据0 x 时函数解析式，求得 23f，化简不等式，利用函数单调性解抽象函数不等式，得到3log2x，再解对数不等式即可求解.【详解】当0 x 时，21xf x 是增函数且 0f x，又函数 f x是定义在 R 上的奇函数，则 00f满足 21xf x，又函数 f x在 R 上是连续函数，所以函数 f x在 R 上是增函数，且 23f，进而原不等式化为 3log2fxf，结合 f x的单调性可得3log2x，所以09x，即原不等式的解集为0,9，故选：B.【点睛】本题考查函数的性质综合应用，考查利用函数单调性解不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.第 7 页 共 17 页 11在三棱锥PABC中，已知PA 底面ABC，2PAAC，90ABC若三棱锥PABC的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为（）A1 B2 C3 D2【答案】B【分析】首先求得ABC外接圆半径，则所求半径2212RrPA.【详解】90ABC，2AC，ABC外接圆半径112rAC，PA 底面ABC，球O的半径2211 122RrPA.故选：B.12已知函数()sin()f xx，其中0，0，()4f xf恒成立，且()f x在区间0,4上恰有两个零点，则的取值范围是 A(6,10)B(6,8)C(8,10)D(6,12)【答案】A【分析】根据题干得到函数在4处取得最大值，当x0,4时，,4x，sin,?f tt tx有两个零点,故这两个零点应该是,2，得到50,24进而求解.【详解】函数 sinf xx，其中0，0，4fxf恒成立,说明函数在4处取得最大值，又因为 f x在区间0,4上恰有两个零点，当x0,4时，,4x 在这个范围内 sin,?f tt tx有两个零点,故这两个零点应该是,2 结合条件：当4t时取得最大值，故根据三角函数的图像的性质得到542，第 8 页 共 17 页 50,24，解得6,10.故答案为 A.【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将 x+看做一个整体，地位等同于 sinx 中的 x 二、填空题 13已知xy，满足242233xyxyxy，则2zxy的最大值为_.【答案】2【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，目标函数2zxy，化为2yxz，结合图象可知，直线2yxz过点 A 时，目标函数取得最大值，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数2zxy，化为2yxz，结合图象可知，直线2yxz过点 A 时，目标函数取得最大值，由2233xyxy，解得(1,0)A，所以目标函数的最大值为2 1 02z .【点睛】本题主要考查了利用简单的线性规划求最小值问题，其中对于线性规划问题可分为三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及数形结合思想的应用.14若函数 2ln12xfxxx在点 1,1f处的切线与直线10 xay 垂直，则实数a_.【答案】-2 第 9 页 共 17 页【解析】先求得 21 ln xfxxx，再求 1f，然后利用切线与直线10 xay 垂直，斜率互为负倒数求解.【详解】因为 2ln12xfxxx 所以 21 ln xfxxx，12f，fx在点 1,1f处的切线斜率为 2.又切线与直线10 xay 垂直，121a，2a.故答案为：-2【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题 15设函数()lnln(2)(0)f xxxax a，若()f x在(0,1上的最大值为12，则a_.【答案】12a 【分析】求出函数的导数，由22()2xfxax x在(0,1上()0fx，可得()f x在(0,1上单调递增，则函数最大值为 112f，即可求出参数的值.【详解】解：()lnln(2)f xxxax定义域为0,2 1122()22xfxaaxxx x(0,1x，0a 22()02xfxax x()f x在(0,1上单调递增，故()f x在(0,1上的最大值为1(1)2fa 故答案为：12【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.16点,A B是抛物线2:2(0)C ypx p上的两点，F是抛物线C的焦点，若120AFB，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则|dAB的最大值为_.第 10 页 共 17 页【答案】33【分析】过,A B D作准线的垂线，垂足分别为,N P M，则11()()22dMDANBPAFBF，在ABF中寻找它们的关系，求出比值的最大值。【详解】如图，过,A B D作准线的垂线，垂足分别为,N P M，则11()()22dMDANBPAFBF，ABF中，2222cos120ABAFBFAF BF22AFBFAF BF22223()()()()24AFBFAFBFAF BFAFBFAFBF，当且仅当AFBF时取等号。42 333AFBFAB，|dAB1323AFBFAB，即dAB的最大值为33。故答案为：33。【点睛】本题考查抛物线的定义，在抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离或弦中点到准线的距离，可作出抛物线上点到准线的距离，让它们进行转化，象本题，弦中点到准线距离最终转化为弦的两顶点到焦点的距离之和，然后在三角形中由余弦定理建立联系。三、解答题 17设数列 na的前n项和为nS，且4120S，13nnaa.（）求数列 na的通项公式；（）设321lognnba，求数列11nnb b的前n项和nT.第 11 页 共 17 页【答案】（1）3nna（2）nT21nn【分析】（1）利用13nnaa，得到数列 na是等比数列，且公比等于 3，利用求和公式求得数列的首项1a，再利用等比数列的通项公式求得结果；（2）根据题意，可得21nbn，之后应用裂项相消法对数列11nnb b求和.【详解】（）13nnaa，na是公比为3q 的等比数列，又4141 31201 3aS，解得13a.na是以13a 为首项，以3q 为公比的等比数列，通项公式为113nnnaa q.（）213log 321nnbn 1111 33 52121nTnn 111111123352121nn 11(122121nnn）【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.18四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以 12 元碗的价格售出，每碗获利 5 元，当天卖不出的米粉则每碗亏损 2 元，该店记录了 30 天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量 80 90 100 110 频数 5 10 7 8 第 12 页 共 17 页 (1)以样本估计总体，求该店采粉日需求量的平均数；(2)以 30 天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备 100 碗米粉，记该店每天获得的利润为 Y（单位：元），写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 低于 450 元的概率【答案】(1)96；(2)可能取值为 360，430，500，12.【分析】（1）利用求平均数的公式即得；（2）分别求得日需求量80碗，90碗和 100 碗以上时的日利润和对应概率，即得.【详解】（1）该米粉店日需求量的平均数为：80 590 10 100 7 110 89630 ；（2）当日需求量为 80 碗时，该店每天获利80 5100802360Y 当日需求量为 90 碗时，该店每天获利90 5100902430Y （元）；当日需求量为 100 碗以上时，该店每天获利1005500Y（元）所以，Y 的可能取值为 360，430，500 所以，Y 低于 450 元的概率为5 101302P 19已知三棱锥ABCD中，ABC与BCD均为等腰直角三角形，且90BAC，6BCCD，E为AD上一点，且CE 平面ABD.（1）求证：ABCD；（2）过E作一平面分别交AC，BC，BD于F，G，H，若四边形EFGH为平行四边形，求多面体ABEFGH的表面积.【答案】（1）证明见解析.（2）75 35 2【分析】（1）由线面垂直的判定定理，证得AB平面ACD，再利用性质定理，即可证得ABCD，（2）由线面垂直的判定定理和性质定理，得到CDAC，在Rt ACD中，求得3 6AD，进而得第 13 页 共 17 页 到6AE，即13AEAD，再利用线面平行的性质定理得到/EFCD，进而得到四边形EFGH为矩形，同理求得2 2FG，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）由90BAC，所以ABAC，由CE 平面ABD，AB平面ABD，可得CEAB，又由ACCEC，且AC平面ACD，CE 平面ACD，所以AB平面ACD，又因为CD 平面ACD,所以ABCD.（2）在等腰直角BCD中，6BCCD，所以BCCD，又因为ABCD，可得CD 平面ABC，所以CDAC.等腰Rt ABC中，由6BC，可得3 2AC，又Rt ACD中，6CD，CEAD，所以223 6ADACCD，而2ACAE AD，可得6AE，故13AEAD，因为四边形EFGH为平行四边形，所以/EFGH，可得/EF平面BCD，又EF 平面ACD，且平面ACD平面BCDCD，所以/EFCD，由13AEAD，可得123EFCD，且有13AFAC，由CD 平面ABC，可得CDFG，进而得到EFFG，所以四边形EFGH为矩形，同理可得/FGAB，且22 23FGAB，可得1122222AEFESFAF，112 2222BGHGFBSG，22242EFGHEFFSG，5ABGFS5 3AEHBS.所以所求表面积为75 35 2S.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质，严密的逻辑推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20已知椭圆2222:10 xyEabab过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为1,0.第 14 页 共 17 页（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E右焦点F的直线l与椭圆交于两点,A B，在x轴上是否存在点M，使得MA MB为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）22143xy；（2）见解析【分析】（1）由椭圆定义直接求得,ab c，即可.（2）假设存在点0,0M x,使得MA MB为定值，当直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为1xmy，联立直线方程与椭圆方程通过设而不求得MA MB的表达式，再讨论其是否过定点.最后将直线l的斜率为0的情况代入检验即可.【详解】（1）由已知得2,1ac，3b，则E的方程为22143xy；（2）假设存在点0,0M x,使得MA MB为定值，当直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为1xmy，联立221431xyxmy,得2234690mymy 设1122,A x yB x y，则12122269,3434myyyymm ，101202,MAxxyMBxxy 22102012120120111MA MBxxxxyymyyxm yyx 220022961113434mmxmxmm 220026159134xmxm 要使上式为定值,即与m无关，应有0615934x 解得0118x，此时13564MA MB 当直线l的斜率为0时，不妨设2,0,2,0AB，当M的坐标为11,08时13564MA MB 综上，存在点11,08M使得13564MA MB 为定值【点睛】本题考查椭圆方程及直线与椭圆中的定值问题，设而不求是此类问题中的常规解法，解题中直线方程设为1xmy，则要注意检验直线方程斜率为 0 的情况.21已知函数22()ln(0)xef xaxxxx.（1）若函数 f x在区间0,2内有两个极值点1x，212xxx，求实数a的取值范围；（2）在（1）的基础上，求证：122lnxxa.第 15 页 共 17 页【答案】(1)22eea(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可（2）利用（1）可判120ln2xax，要证122lnxxa只需证122lnxax，利用极值点偏移证出 222lnh xhax，构造函数()()(2ln)F xh xhax研究单调性即可.【详解】（1）2321202xexfxaxxxx 32xxeaxx 作题1x，2x是xyeax在0,2上的两个零点 令 02xh xeaxx xh xea 02x，21xee 若1a，0h x，h x在0,2上递增，至多有1个零点，不合题意 若2ae，0h x，h x在0,2上递减，至多有1个零点，不合题意 若21ae，h x在0 lna，递减，ln,2a递增，而 010h，222hea，minln1 lnh xhaaa 2211 ln020aeaaea 22eea（2）由（1）知120ln2xax 22eea，1ln2ln2a 要证122lnxxa 只需证122lnxax 2-2-xlna 22ln(2ln2,ln)(0,ln)axaaa又因为1(0,ln)xa 第 16 页 共 17 页 而 h x在0,lna递减从而只需证 122lnh xhax，又 12()h xh x 只需证 222lnh xhax，2(ln,2)xa 令()()(2ln)F xh xhax，(ln,2)xa 2ln()(1)xa xF xeaea 222220 xxea eaaa()F x为(ln,2)a递增()(ln)0F xFa，即有()(2ln)h xhax 122lnxxa【点睛】本题考查了函数的单调性，极值点偏移问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题 22在直角坐标系xOy中，曲线22cos:2sinxCy（为参数），直线1cos:sinxtlyt （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交，交点为,A B，直线与 x 轴交于 Q 点，求|QAQB的取值范围【答案】（1）曲线 C 的极坐标方程为4cos，直线 l 的极坐标方程为sin()sin；（2）(2 5,6【分析】（1）先将曲线C与直线 l 化为普通方程，然后再由cossinxy，代入即可求解.（2）将 l 的参数方程代入到 C 直角坐标普通方程，整理可得26 cos50tt，然后利用参数t的几何意义即可求解.【详解】（1）曲线22:(2)4Cxy，即224xyx，即24 cos，即0或4cos 由于曲线4cos过极点，曲线 C 的极坐标方程为4cos 直线:(1)sincoslxy，即sincossin0 xy，即cossinsincossin0，即sin()sin，直线 l 的极坐标方程为sin()sin 第 17 页 共 17 页（2）由题意得(1,0)Q，将 l 的参数方程代入到 C 直角坐标普通方程，可得26 cos50tt，由0，得25cos9，6cosABtt，50ABtt 其中|,|ABQAtQBt，所以|6cos|ABABQAQBtttt 得|QAQB的取值范围为(2 5,6.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、普通方程与极坐标方程的互化、参数的几何意义，考查了考生的计算能力，属于基础题.23选修 4-5：不等式选讲 已知函数()|3|f xxt，tR.（1）当3t 时，解不等式|()|3f x；（2）若不等式(2)0f x的解集为 1,3，正数a，b满足2822ababt，求2ab的最小值【答案】(1)|9x x 或3x或3x.(2)24【分析】(1)原式子等价于333x，即333x 或333x ，由绝对值不等式的几何意义求解即可；（2）由原式得10 xt ，即11txt ，故1113tt ，再由均值不等式得解即可.【详解】（1）当3t 时，由 3f x 得333x，即333x 或333x ，363036363xxxxx 或或或 解之得：|9x x 或3x或3x.（2）由20f x得10 xt ，即11txt ，故1113tt ，所以2t，由2822ababt得282abab，则8218ab，282212abab 2 282122 6 1224ab，当且仅当822ab 即14a，5b时取等号.【点睛】这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，以及均值不等式的应用，属于基础题.