上海市复旦大学附属中学青浦分校2021-2022学年高二上学期10月月考数学试卷含详解.pdf

试卷第 1 页，共 4 页 复旦大学附属中学青浦分校 2021 学年第一学期 高二年级数学 10 月月考试卷参考答案 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1过点 A（-1，5）且以n=（2，1）为法向量的直线方程为_ 2求直线2x 与直线310 xy 的夹角为_.3已知3,4A、3,2B，若经过1,0P的直线与线段AB有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是_ 4已知圆2260 xyx，过点1,2的直线被圆所截得的弦的长度最小值为_.5已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为_.6已知点0,0O，2,0A，2,0B.设点P满足|2PAPB，且P为函数23 4yx图象上的点，则OP _.7在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0的距离的最小值是_.8设 B是椭圆22:15xCy的上项点，点 P 在 C上，则|PB|的最大值为_.9已知椭圆22221(0)xyabab，焦点12(,0),(,0)(0)FcF cc.若过1F的直线和圆22212xcyc相切，与椭圆的第一象限交于点 P，且2PFx轴，则椭圆的离心率是_.10从椭圆2214xy上的点A向椭圆 C2212xy引切线，两切点,B C间的线段称为切点弦，则椭圆 C内不与任何切点弦相交的区域面积为_.11已知椭圆2222:1xyCab的左、右焦点分别为1F、2F，上顶点为D，且12120FDF，若第一象限的点A、B在C上，22AF，24BF，3AB，则直线AB的斜率为_.12已知实数1x、2x、1y、2y满足：22111xy，22221xy，121212x xy y，则试卷第 2 页，共 4 页 11221212xyxy的最大值为_.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13“1a”是“直线2110axay 和直线330 xay垂直”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 14已知圆221:(2)(3)1Cxy和圆222:(3)(4)9Cxy，,M N分别是圆12,C C上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为（）A5 24 B171 C62 2 D17 15已知,R,0a bab，函数 2R()f xaxb x.若(),(),()f stf sf st成等比数列，则平面上点,s t的轨迹是（）A直线和圆 B直线和椭圆 C直线和双曲线 D直线和抛物线 16已知 F1、F2分别是双曲线22221(,0)xya bab的左、右焦点，点00(,)A xy是双曲线所在平面内的一个定点，点 P是该双曲线上的动点，关于1|PFPA的最小值，有下列命题 使得1|PFPA取最小值的点 P 有且仅有一个 当 x0 0 时，1|PFPA 的最小值为1|AF.当 x00 时，1|PFPA的最小值为2|2AFa 当22002201xyab且00 x 时，1|PFPA的最小值为2|2AFa；当2200221xyab且 x 0b 0）的左、右焦点分别为 F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和3(,)2e都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率.A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1与直线 BF2平行，AF2 与 BF1交于点 P.（1）求椭圆的方程（2）若1262AFBF，求直线 AF1的斜率；（3）求证12PFPF是定值.试卷第 4 页，共 4 页 21点00(,)P xy为椭圆 C2215xy上位于 x轴上方的动点，12,F F分别为 C的左、右焦点.（1）若线段 PF1的垂直平分线经过椭圆 C的上顶点 B，求点 P的纵坐标 yp；（2）设点 A（t，0）为椭圆 C 的长轴上的定点，当点 P 在椭圆上运动时，求|PA|关于 x 的两数 f（x0）的解析式，并求出使 f（x0）为增函数的常数 t的取值范围；（3）延长 PF1、PF2分别交 C 于点 M、N，求点 P的坐标使得直线 MN 的斜率等于19.答案第 1 页，共 16 页 1230 xy.【分析】设(,)B x y是所求直线上任意一点，则直线的方向向量为1,5axy，由0a n可得结果.【详解】设(,)B x y是所求直线上任意一点，则直线的方向向量为1,5aABxy，又直线的法向量为(2,1)n，由0a n得2(1)(5)0 xy，即230 xy.故答案为：230 xy.26【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角【详解】解：直线2x 的斜率不存在，倾斜角为2，直线310 xy 的斜率为3，倾斜角为3，故直线2x 与直线310 xy 的夹角为236，故答案为：6 33,44【分析】根据点的坐标求出直线PA、PB的斜率，结合图像和tank公式即可.【详解】由题意知，如图 直线PA的斜率4013 1PAk ，直线PB的斜率2013 1PBk 因为过点 P的直线与线段 AB 有交点 所以直线的斜率为：1k 或1k，又tank 答案第 2 页，共 16 页 所以直线的倾斜角的取值范围为：344，故答案为：344，42【解析】由相交弦长|AB和圆的半径r及圆心C到过(1,2)D的直线的距离d之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与CD垂直时d最大，求出d的最大值，进而求出弦长的最小值【详解】由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C，半径3r；设圆心到直线的距离为d，则过(1,2)D的直线与圆的相交弦长22|2ABrd，当d最大时弦长|AB最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时22|(3 1)(20)2 2dCD，所以最小的弦长22|2 3(2 2)2AB，故答案为：2【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过分析得到当直线与CD所在的直线垂直时d最大，弦长|AB最小.与圆有关的弦长问题的最值一般利用数形结合分析解答.54【分析】依题意可得该动圆圆心在以(3,4)点为圆心，以1为半径的圆上，再根据圆外一点到圆上一点的最近距离为该点到圆心的距离减去半径，即可得解.【详解】根据题意圆心到定点(3,4)的距离为1，答案第 3 页，共 16 页 所以圆心在以(3,4)点为圆心，以1为半径的圆C上，易知原点在圆的圆C外，由圆外一点到圆上一点的最近距离为该点到圆心的距离减去半径，所以圆心到原点的距离的最小值为223415 14 ，故答案为：4 610【分析】根据双曲线的定义求出点P的轨迹方程与23 4yx联立求出点P的坐标，再由两点间距离公式即可求解.【详解】因为2,0A，2,0B，所以AB4，因为|2PAPBAB，所以点P在以2,0A，2,0B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2c，1a 可得222413bca，所以点P的轨迹方程为：22103yxx，而点P为函数23 4yx图象上的点，由2221033 4yxxyx解得：1323 32xy，即13 3 3,22P，所以22133 31022OP，故答案为：10.74.【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】答案第 4 页，共 16 页 当直线0 xy平移到与曲线4yxx相切位置时，切点 Q即为点 P到直线0 xy的距离最小.由2411yx ，得2(2)x 舍，3 2y，即切点(2,3 2)Q，则切点 Q 到直线0 xy的距离为2223 2411，故答案为4【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.852【分析】求得点(0,1)B，设(5cos,sin)P，利用两点间距离公式，结合三角函数的有界性，转化为求解距离的最大值.【详解】由题意，椭圆22:15xCy，可得(0,1)B，因为点P在C上，设(5cos,sin),0,2)P，所以222(5cos0)(sin1)4cos2sin2PB 221254sin2sin64(sin)44，当1sin4 时，PB取得最大值，最大值为52.故答案为：52.955【分析】当直线的斜率不存在时，不符合题意，当直线的斜率存在时，设()yk xc，由圆心到直线的距离等于圆的半径，求得2 55k，再由21212tanPFPFFkFF，得到212 525ee，即可答案第 5 页，共 16 页 求解.【详解】由题意，椭圆22221(0)xyabab，焦点12(,0),(,0)(0)FcF cc，当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；当直线的斜率存在时，由直线过点1(,0)Fc，可设()yk xc，因为直线和圆22212xcyc相切，所以圆心1(,0)2c到直线的距离等于圆的半径，可得2021ckkcck，解得2 55k，将xc代入椭圆22221xyab，可得点P的坐标为2(,)bP ca，因为2212122 5tan25bPFaPFFFFc，即222 525acac，即212 525ee，解得55e 或5e ，因为01e，所以55e.故答案为：55.10.【分析】由点A在椭圆2214xy，设(2cos,sin)A，得到切点弦co:ssin1xyBC，根据222xyr在点(cos,sin)A出的切线方程为2cossinxyr，求得1r，结合圆的面积公式，即可求解.【详解】从椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy作椭圆的两条切线，切点分别为,A B，设切点,A B的坐标分别为1122(,),(,)x yxy，则椭圆以,A B为切点的切线方程分别为11221x xy yab和22221x xy yab，由两切线均过点00(,)P xy，可得1010221x xy yab和2020221x xy yab，答案第 6 页，共 16 页 所以点1122(,),(,)A x yB xy均值直线11221x xy yab上，所以切点弦,A B方程为11221x xy yab，因为点A在椭圆2214xy，可得设(2cos,sin)A，则过点A作椭圆22:12xCy切线，则切点弦BC的直线方程为cossin1xy，由于222xyr在点(cos,sin)A出的切线方程为2cossinxyr，所以21r，即1r，可得cossin1xy为圆221xy的切线系方程，所以椭圆 C 内不与任何切点弦相交的区域面积为该圆的面积2Sr.故答案为：.11114【分析】设点11,A x y、22,B xy，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得12xx的值，再利用弦长公式可求得直线AB的斜率.【详解】椭圆22221xyab的左、右焦点分别为1F、2F，上顶点为D，且12120FDF，所以，160F DO，由椭圆的几何性质可知1DFa，1OFc，椭圆的离心率为3sin602cea，设点11,A x y、22,B xy，则10 xa，20 xa，则222222222221111112222bcAFxcyxcxcbxxcxaaa 112exaaex，同理可得224BFaex，所以，221212322BFAFe xxxx，解得124 33xx，设直线AB的斜率为k，由弦长公式可得22124 31133ABkxxk，解得114k ，答案第 7 页，共 16 页 因为点A、B都在第一象限，则0k，故114k .故答案为：114.123722【解析】根据已知四个实数满足的式子，将数转化为形求解，再利用点到直线的距离公式，结合图形可得答案.【详解】记11,A x y、22,B xy，由题意，知A、B位于单位圆上，121211cos223OA OBx xy yAOBAOBOA OB，则1112xy、2212xy分别表示A、B到直线:10l xy 的距离1AA、1BB，于是，11221112122xyxyAABB，分别取AB、11AB靠近B、1B的三等分点为C、1C，联结1CC，过点B作1AA的垂线，交1AA、1CC于M、N，则11113CCCNNCAMNC11111112333AABBBBAABB，在BOC中，应用余弦定理，可得22272cos39OCOBBCOBBC，73OC，11 07232OkxyCCOCd ，从而，11221132137222xyxyCC.答案第 8 页，共 16 页 故答案为：3722【点睛】此题考查的是已知几个实数的关系式，然后求含这些实数的代数式的最值，采用了转化法，利用数形结合的方法求解，属于难题.13A【分析】根据直线垂直求出a值即可得答案.【详解】解：若直线2110axay 和直线330 xay垂直，则3210aaa，解得0a 或1a，则“1a”是“直线2110axay 和直线330 xay垂直”的充分非必要条件.故选：A.14A【分析】求出圆1C关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆2C的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PMPN的最小值.【详解】圆1C关于x轴的对称圆的圆心坐标2,3A，半径为 1，圆2C的圆心坐标为(3,4)，半径为 3，答案第 9 页，共 16 页 若M与M关于 x 轴对称，则PMPM，即|PMPNPMPN，由图易知，当,P N M三点共线时|PMPN 取得最小值，|PMPN的最小值为圆A与圆2C的圆心距减去两个圆的半径和，222|3 1323445 24AC .故选：A.15C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()()f st f stf s，即2222()()a stba stbasb，对其进行整理变形：22222222asatastbasatastbasb，222222(2)0asatbastasb，22222 22240asatb ata s t，22 22 42220a s ta tabt，所以22220asatb或0t，答案第 10 页，共 16 页 其中2212stbbaa为双曲线，0t为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.16B【分析】作出图像，结合双曲线的定义及三角形三边的性质，通过图像逐项判断即可.【详解】如图所示：显然11|PFPAAF，此时最小值为1AF，而满足条件的 P 有两个，故错误；当P、A、1F不共线时，则一定会构成1PAF，则11PFPAAF，当P、A、1F共线时，存在P，使得11PFPAAF，故此时最小值为1AF，故正确；答案第 11 页，共 16 页 如图所示：此时1PFPA的最小值为21|2AFAFa，故错误；由可知，此时最小值为122AFAFa，故错误；如图所示：此时1222-2PFPAPFaPAAFa，故正确；故选：B 17(1)240 xy(2)3,4或3,0 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可；（2）首先根据AD直线方程，可得2360mn，然后利用点到直线距离，得到点A到直线答案第 12 页，共 16 页 BC的距离为：245mn，再根据7ABCS，得到247mn，最后解方程组即可得到参数的值.【详解】（1）因为2,1B、2,3C，所以 BC边所在直线的方程为：122403 122yxxy；（2）BC 边上中线 AD 的方程为2360 xy，所以有2360mn，点 A 到直线 BC 的距离为：222424512mnmn，22223 12 5BC ，因为7ABCS，所以有2412 5724725mnmn，因此有+24=723+6=0mnmn或+24=723+6=0mnmn，解得：=3=4mn或=3=0mn，所以点 A 的坐标为：3,4或3,0 18（1）22143xy；（2）(2 2,).【分析】（1）由离心率和点的坐标求得 a，b，写出双曲线方程；（2）设直线PQ的方程为2(0)xmy m与双曲线C方程联立，由韦达定理求出中点坐标，根据其条件求得 m 的范围，求出OBM的面积表达式，根据单调性求得取值范围.【详解】（1）由题题意，得 222242,1,ccabaa，解得2ab.所以，双曲线 C的方程为224yx.（2）设直线PQ的方程为2(0)xmy m与双曲线 C方程联立：2224xmyyx，消元得221480mymy 设 PQ两点的纵坐标为12,y y，则：答案第 13 页，共 16 页 222122122101632 10401801mmmmyymy ym ，解得12m.设点 M 的纵坐标为0y，由题点 M为PQ的中点，即1202221yymym 所以022112222,1212211OBMmmSOBymmmmm，易知表达式在(1,2)上单调递减，故三角形BOM面积的取值范围为(2 2,).19（1）不能，理由见解析；（2）173 21.【分析】设 BD与圆 O交于 M，连接 AM，AB 为圆 O 的直径，可得 AMBM，以 C为坐标原点，l为 x轴，建立直角坐标系，（1）当 QAAB 时，QA上的所有点到原点 O的距离不小于圆的半径，求得点 Q 的坐标，从而可得出结论；（2）设 P（a，0），Q（b，0），则17a ，92b ，求出 b 的范围，从而可得出答案.【详解】解：设 BD与圆 O交于 M，连接 AM，AB 为圆 O 的直径，可得 AMBM，即有 DM=AC=6，BM=6，AM=8，以 C 为坐标原点，l为 x轴，建立直角坐标系，则 A（0，-6），B（-8，-12），D（-8，0），设点1,0P x，PBAB，则1BPABkk，即1126 12188x ，解得117x ，所以17,0P.（1）当 QAAB时，QA上的所有点到原点 O的距离不小于圆的半径，设此时 Q（x2，0），则1QAABkk，即20(6)6(12)100(8)x ，解得292x ，9(,0)2Q，由91782 ，在此范围内，不能满足 PB，QA.上所有点到 O的距离不小于圆的半径，所以 P，Q中不能有点选在 D 点；答案第 14 页，共 16 页（2）设 P（a，0），Q（b，0），则17a ，92b ，22(8)144225PBa，2236225QAb，则3 21b，当 d最小时，173 21PQ.20（1）2212xy；（2）22；（3）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和3(,)2e都在椭圆上列式求解.（2）设直线 AF1的方程为1xmy，直线 BF2的方程为1xmy，与椭圆方程联立，求出1AF、2BF，根据已知条件1262AFBF，用待定系数法求解.（3）利用直线1AF与直线2BF平行，点 B在椭圆上知，可得11212(2 2)AFPFBFAFBF，22112(2 2)BFPFAFAFBF，由此可得12PFPF为定值.【详解】解（1）由题设知222abc，.cea.由点（1，e）在椭圆上，得222211caa b，解得21b.于是221ca，又点3(,)2c在椭圆上，所以222314eab，即241314aa，解得22a.因此，所求椭圆的方程是221.2xy.（2）由（1）知1(10)F ，2(10)F，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为1xmy.直线 BF2的方程为1xmy.设 A（x1，y1），B（x2，y2），y10，y20.答案第 15 页，共 16 页 由2211111,21xyxmy，得2211(2)210mymy，解得212222mmym 故222222121122(1)1(1)(0)()2rmm mAFxymyym 同理，22222(1)12mm mBFm 由得2122212m mAFBFm、解2221622m mm得22m.注意到 m0，故2m.所以直线 AF1的斜率为122m（3）因为直线 AF1与 BF2平行，所以211,BFPBPFAF，于是12111PBPFBFAFPFAF，故11112AFPFBFAFBF，由 B 点在椭圆上知122 2BFBF，从而11212(2 2)AFPFBFAFBF.同理22112(2 2)BFPFAFAFBF 因此，1212211212(2 2)(2 2)AFBFPFPFBFAFAFBFAFBF 121222 2.AF BFAFBF 又由知21222 2(1)2mAFBFm，212212mAFBFm 所以1223 22 222PFPF，因此，12PFPF是定值.21（1）514Py；（2）2200004()21,(5,5)5xf xtxtx，4 555t ；（3）5 66(,)66P.【分析】（1）根据题意，建立关于 x0，y0的方程组，即可求解；（2）由两点间的距离公式表示出0()f x，再由二次函数的性质可得出 t的取值范围；（3）设出点 M，N的坐标及直线 PF1，直线 PF2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线 MN 的斜率，再结合题意可得到 x0=5y0，代入椭圆方程即可得答案【详解】解：（1）由题意可知 B（0，1），1|PBBF，所以2200(1)5xy，即2200(1)5xy，答案第 16 页，共 16 页 联立220015xy，又00y 可得0514y，即514py；（2）22220000|()()15xPAxtyxt 22004215xtxt，所以2200004()21,(5,5)5xf xtxtx 对称轴054tx，欲使 f（x0）是增函数，只需554t，所以4 555t ；（3）设 M（x1，y1），N（x2，y2），PF1：x=my-2，PF2：x=ny+2，则002xmy，002xny，由22255xmyxy得22(5)410mymy，010204549ymyymx，0110920249xxmyx，同理，由22255xnyxy得22(5)410nyny，020204549ynyynx，02092049xxx，0000002000004949192092094594949MNyyxxx ykxxxxx，20005xx y，即20005yx y，又00y 005xy，代入椭圆方程得066y，05 66x，5 66(,)66P.