2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第10章空间直线与平面分类专项训练含详解.pdf

第 10 章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题 1（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2（2022上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（）A充分非必要条件；B必要非充分条件；C充要条件；D既非充分又非必要条件 二、填空题 3（2021上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCDABC D的所有棱中，既与AB共面，又与1CC共面的棱的条数为_.4（2021上海华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定_个平面.（填数字）5（2022上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_ 6（2021上海西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有_.7（2021上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，异面直线1AB与1BC所成角的大小为_.8（2022上海虹口高二期末）在正四面体ABCD中，直线BC与AD所成角的大小为_ 9（2021上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_条直线与该直线垂直 10（2021上海市宝山中学高二阶段练习）若平面平面，,ab，则直线a和b的位置关系是_.11（2020上海松江高二期末）已知正方体1111ABCDABC D的棱长为a，异面直线BD与11AB的距离为_.12（2022上海复旦附中高二期中）棱长为 1 的正方体中，异面直线1A D与11BC之间的距离为_ 13（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，则异面直线AB与11D B之间的距离为_.三、解答题 14（2021上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥PABC 中，已知PA 平面,ABC3,6PAPBPCBC.求二面角PBCA的正弦值【典型】一、单选题 1（2021上海闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）A0,2 B0,2 C0,2 D0,2 2（2021上海高二专题练习）若a、b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线b平行 B过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直 C唯一存在一个平面与直线a、b等距 D可能存在平面与直线a、b都垂直 3（2021上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,和两条直线,m n，下列命题中真命题是 A若,mmn，则/n B若/,m，则m C若/,/,mn，则mn D若,mn，则mn 二、填空题 4（2021上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线 a与 b成 60角，若/c a，则 c与 b所成的角等于_ 5（2021上海南汇中学高二阶段练习）二面角l 为60，异面直线a、b分别垂直于、，则a与b所成角的大小是_ 三、解答题 6（2019上海华师大二附中高二阶段练习）在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别是 BC、A1D1的中点 （1）求证：四边形 B1EDF 是菱形；（2）作出直线 A1C 与平面 B1EFD 的交点（写出作图步骤）【新文化】一、填空题 1（2021上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD为矩形，ADE和BCF都是等腰三角形，2AEEDBFCFAD，/EF AB，若3ABEF，且2ADEF，则异面直线AE与CF所成角的大小为_.【压轴】1（2021上海西外高二期中）三棱锥PABC满足：ABAC，ABAP，2AB，4APAC，则该三棱锥的体积 V的取值范围是_ 第 10 章 空间直线与平面（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题 1（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l与平面没有公共点，那直线l与平面只能平行，故充分条件成立；若直线l与平面平行，则直线l与平面没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的充分必要条件.故选：C 2（2022上海市建平中学高二阶段练习）空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（）A充分非必要条件；B必要非充分条件；C充要条件；D既非充分又非必要条件【答案】A【分析】空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者【详解】解：空间四个点中，有三个点共线，根据一条直线与直线外一点可以确定一个平面得到这四个点共面，前者可以推出后者，当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者，空间四个点中，有三个点共线是这四个点共面的充分不必要条件，故选：A 二、填空题 3（2021上海市徐汇中学高二阶段练习）在平行六面体1111ABCDABC D的所有棱中，既与AB共面，又与1CC共面的棱的条数为_.【答案】5【分析】有两条平行直线确定一个平面，和两条相交直线确定一个平面可得答案，【详解】解：如图，满足条件的有BC，DC，1BB，1AA，11DC，故答案为：5.4（2021上海华东师大附属枫泾中学高二期中）不共线的三点确定_个平面.（填数字）【答案】1【分析】由空间几何的公理求解即可【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面 故答案为：1 5（2022上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是_【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面 6（2021上海西外高二期中）空间中两条直线的位置关系有_.【答案】平行、相交、异面【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.故答案为：平行、相交、异面.7（2021上海市复兴高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，异面直线1AB与1BC所成角的大小为_.【答案】60#3【分析】连接1,DC BD，由正方体的结构特征知：11/DCAB且1BDC为等边三角形，即可知异面直线1AB与1BC所成角.【详解】连接1,DC BD，由正方体的结构特征知：11/DCAB，1DC与1BC所成角即为异面直线1AB与1BC所成角，又1BDC为等边三角形，1DC与1BC所成角60，即异面直线1AB与1BC所成角为60.故答案为：60 8（2022上海虹口高二期末）在正四面体ABCD中，直线BC与AD所成角的大小为_【答案】2【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.【详解】如图所示，取BC中点E，连接AE，DE，由已知ABCD为正四面体，则ABC，DBC均为正三角形，所以AEBC，DEBC，所以BC 平面ADE，故BCAD，即直线BC与直线AD的夹角为2，故答案为：2.9（2021上海市行知中学高二阶段练习）过直线外一点有_条直线与该直线垂直【答案】无数【分析】根据点和直线、直线和直线的位置关系即可得出结果.【详解】空间中过直线外一点可以作无数条直线与该直线垂直.故答案为：无数 10（2021上海市宝山中学高二阶段练习）若平面平面，,ab，则直线a和b的位置关系是_.【答案】异面或平行【分析】利用分别在两个平行平面内的两个直线没有公共点即可判断作答.【详解】因平面平面，则平面与平面没有公共点，而a，b，于是得直线a和b没有公共点，所以直线a和b是异面直线或者是平行直线.故答案为：异面或平行 11（2020上海松江高二期末）已知正方体1111ABCDABC D的棱长为a，异面直线BD与11AB的距离为_.【答案】a【分析】根据线面垂直性质可得1BBBD，又111BBAB，可知所求距离为1BB，从而得到结果.【详解】1BB 平面ABCD，BD 平面ABCD 1BBBD 又111BBAB 异面直线BD与11AB之间距离为1BBa 故答案为a【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.12（2022上海复旦附中高二期中）棱长为 1 的正方体中，异面直线1A D与11BC之间的距离为_【答案】1【分析】根据题意，证得111ABAD且1111ABBC，得到11AB为异面直线1A D与11BC的公垂线，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，可得11AB 平面11ADD D，11AB 平面11BCC B，因为1AD 平面11ADD D，11BC 平面11BCC B，所以111ABAD且1111ABBC，所以11AB为异面直线1A D与11BC的公垂线，又由正方体的棱长为1，可得111AB，所以异面直线1A D与11BC的距离为1.故答案为：1.13（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）若正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，则异面直线AB与11D B之间的距离为_.【答案】1【分析】作出正方体图像，观察即可得到答案【详解】如图：1BB与 AB、11B D均垂直，1BB即为两异面直线的距离，故答案为：1 三、解答题 14（2021上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱锥PABC 中，已知PA 平面,ABC3,6PAPBPCBC.求二面角PBCA的正弦值【答案】33【分析】取 BC 的中点 D，连结 PD，AD,根据线面垂直关系可知PDA即为二面角PBCA的平面角,根据所给边长关系可求得PDA的正弦值.【详解】取 BC 的中点 D，连结 PD，AD PBPC PDBC PA 平面ABC，PABC,且BCPAD 面 即BCAD PDA即为二面角PBCA的平面角 6PBPCBC 3PD63 32 PA33sinPDAPD33 3即二面角PBCA的正弦值是33【点睛】本题考查了二面角的求法,关键是找到二面角的平面角,属于基础题.【典型】一、单选题 1（2021上海闵行中学高二阶段练习）在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）A0,2 B0,2 C0,2 D0,2【答案】B【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是(0,2,故选 B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.2（2021上海高二专题练习）若a、b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线b平行 B过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直 C唯一存在一个平面与直线a、b等距 D可能存在平面与直线a、b都垂直【答案】D【分析】在 A 中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面内平行于b；在 B 中，反设过直线a能作平面、使得b、b，推出矛盾；在 C 中，过异面直线a、b的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在 D 中，若存在平面与直线a、b都垂直，则/a b.【详解】在 A 中，由于a、b是异面直线，把直线b平移与直线a相交，可确定一个平面，这个平面与直线b平行，A 选项正确；在 B 中，若过直线a能作平面、使得b、b，则/，这与a矛盾，所以，过直线a最多只能作一个平面与直线b垂直，由a，可得ba，当直线a与b不垂直时，过直线a不能作平面与直线b垂直，B 选项正确；在 C 中，由于a、b是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面与该公垂线垂直，这样的平面有且只有一个，且这个平面与直线a、b等距，C 选项正确；在 D 中，若存在平面与直线a、b都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得/a b，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题.3（2021上海市宝山中学高二阶段练习）对于两个平面,和两条直线,m n，下列命题中真命题是 A若,mmn，则/n B若/,m，则m C若/,/,mn，则mn D若,mn，则mn【答案】D【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断【详解】A 中n可能在内，A 错；B 中m也可能在内，B 错；m与n可能平行，C 错；,m，则m或/m，若m，则由n得nm，若/m，则内有直线/cm，而易知cn，从而mn，D 正确 故选 D【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例说明命题是正确时必须证明 二、填空题 4（2021上海市亭林中学高二阶段练习）异面直线 a与 b成 60角，若/c a，则 c与 b所成的角等于_【答案】60【分析】由已知可得 c与 b 相交或异面.分两种情况，根据异面直线所成的角的概念结合平行公理即可得出结论.【详解】,a b异面，/c a，c与 b 相交或异面.当 c与 b相交时，根据异面直线 a与 b 所成角的概念可知 c与 b所成的角为 60角；当 c与 b异面时，自空间不在,a b c上的一点分别作,a b的平行线/,/ma nb,/c a，/m c,根据异面直线所成角的定义，相交直线,m n所成的不超过直角的角既是异面直线 a 与 b 所成的角，又是异面直线 c 与 b 所成的角，根据异面直线 a与 b 成 60角，故异面直线 c 与 b 所成的角为 60角.故答案为：60.5（2021上海南汇中学高二阶段练习）二面角l 为60，异面直线a、b分别垂直于、，则a与b所成角的大小是_【答案】60【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a、b分别垂直于、两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l 为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质 设异面直线a、b的夹角为 二面角l 为60，异面直线a、b分别垂直于、则两条直线的夹角和二面角相等或互补，60 故答案为60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.三、解答题 6（2019上海华师大二附中高二阶段练习）在正方体 A1B1C1D1ABCD 中，E、F 分别是 BC、A1D1的中点 （1）求证：四边形 B1EDF是菱形；（2）作出直线 A1C与平面 B1EFD的交点（写出作图步骤）【分析】（1）取 AD中点 G，连接 FG，BG，可证四边形 B1BGF 为平行四边形，四边形 BEDG为平行四边形，得到四边形 B1EDF为平行四边形，再由B1BEB1A1F，可得 B1EB1F，得到四边形 B1EDF 是菱形；（2）连接 A1C 和 AC1，则 A1C与 AC1的交点 O，即为直线 A1C与平面 B1EFD的交点【详解】（1）证明：取 AD中点 G，连接 FG，BG，如图 1 所示，则 B1BFG，B1BFG，四边形 B1BGF为平行四边形，则 BGB1F，由 ABCDA1B1C1D1为正方体，且 E，G分别为 BC，AD的中点，可得 BEDG为平行四边形，BGDE，BGDE，则 B1FDE，且 B1FDE，四边形 B1EDF为平行四边形，由B1BEB1A1F，可得 B1EB1F，四边形 B1EDF是菱形；（2）连接 A1C 和 AC1，则 A1C与 AC1的交点 O，即为直线 A1C 与平面 B1EFD的交点，如图所示【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题关键是掌握正方体的性质和熟练使用平行公理.【新文化】一、填空题 1（2021上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形ABCD为矩形，ADE和BCF都是等腰三角形，2AEEDBFCFAD，/EF AB，若3ABEF，且2ADEF，则异面直线AE与CF所成角的大小为_.【答案】3【分析】作平行四边形AGFE，得到/AEGF，异面直线AE与CF所成角为GFC，求出GFC的边长求角即可.【详解】设1EF，在AB上取点G满足1AGEF，如图，故/AGEF且AGEF，故四边形AGFE是平行四边形，故/AEGF 异面直线AE与CF所成角为GFC或其补角，2 2GFCF，2222222 2CGGBBC故GFC为等边三角形 故3GFC 故答案为：3【压轴】1（2021上海西外高二期中）三棱锥PABC满足：ABAC，ABAP，2AB，4APAC，则该三棱锥的体积 V的取值范围是_【答案】4(0,3；【详解】由于,ABAP ABAC ABAPAAB 平面APC，1233APCAPCVSABS，在APC 中，4APAC，要使APC 面积最大，只需0,90APACAPC，APCS的最大值为12222，V的最大值为142 233，该三棱锥的体积 V 的取值范围是4(0,3.