“超级全能生”2021届高三全国卷地区5月联考试题(丙卷)数学(理)试卷含解析.pdf

2021年超级全能生高考联考（5月份）（丙卷）数学试卷（理科）一、选择题（共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.1已知集合 Ay|y，Bx|y，则 AB（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）2复数 z 满足 z（1+i）（1i）2，则 z 的虚部为（）A2i B2 C2 D2i 3若 aln0.4，b0.23，clog23，则 a，b，c 的大小关系正确的是（）Abac Bacb Cbca Dabc 4随着我国智慧城市建设加速和园区信息化发展趋向成熟，智慧园区建设需求将持续增大，市场规模恢复较高增长态势，未来发展空间广阔下面是 20172020 年中国智慧园区市场规模统计表，则下列结论错误的是（）年份 2017 2018 2019 2020 规模（亿元）1888 2101 2270 2417 A2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模逐年增长 B2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模增长率逐年增大 C2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模的平均值约为 2169 亿元 D2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模与年份成正相关 5数列an满足 am+nam+an（m，nN*），a11，a20+a22+a24+a40（）A300 B330 C630 D600 6在ABC 中，3，D 是 BE 上的点，若x+，则实数 x 的值为（）A B C D 7若过函数 f（x）lnx2x 图象上一点的切线与直线 y2x+1 平行，则该切线方程为（）A2xy10 B2xy2ln2+10 C2xy2ln210 D2x+y2ln210 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A B4 C D8 9阳春三月，春暖花开，某学校开展“学雷锋践初心向建党百年献礼”志愿活动现有 6 名男同学和 4名女同学，分派到 4 个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各 1名，共有不同的分配方案数为（）A65 B1560 C25920 D37440 10双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，若 P 为其上一点，且|PF1|2|PF2|，F1PF2，则双曲线的离心率为（）A B2 C D3 11如图，四边形 ABCD，A1ADD1，C1CDD1均为正方形动点 E 在线段 A1C1上，F，G，M 分别是 AD，BE，CD 的中点，则下列选项正确的是（）AGMCE BBM平面 CC1F C存在点 E，使得平面 BEF平面 CC1D1D D存在点 E，使得平面 BEF平面 AA1C1C 12已知函数 f（x）3x+1，且 f（a2）+f（3a4）2，则实数 a 的取值范围是（）A（4，1）B（3，2）C（0，5）D（1，4）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 14设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a52a3+8a1，S430，则 a6 15已知函数 f（x）sin（x+）+在0，m上恰有 10 个零点，则 m 的取值范围是 16 函数 f（x）x2lnx（aR）在 内 不 存在 极 值点，则 a 的 取值 范 围是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 atanB4bsin（B+C）（）求 cosB；（）若 AB4，BC3，D 为 AC 上一点，且 AD2DC，求 BD 18如图，在圆柱 OO1中，CE 是圆柱的一条母线，ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB 是圆 O 的直径，CDAB（）若 ADCD，求证：AD平面 CEO；（）若 CDCEAB1，求直线 BE 与平面 ADE 所成角的正弦值 19 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：年份 2020 年 2021 年 月份 9 月 10 月 11 月 12 月 1 月 2 月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率 y（%）11 13 16 15 20 21（）用相关系数说明月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合？（）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过 30%？（）根据市场供需情况统计，得到该公司产品 2020 年的平均月产量 X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2020 年的该公司产品的平均市场价格 y（单位：万元/件）对应的概率分布为 P（Y）假设生产每件产品的每月固定成本为 200 万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望 参考数据：，参考公式：相关系数，回归直线方程为，其中：，20函数 f（x）xlogax（a0，a1）（）当 a4 时，求证：函数 g（x）f（x）1 有两个零点；（）若 ae，求证：af（x）e0 21已知椭圆 C：1（ab0）和圆 O：x2+y21C 的焦距为，过 C 的右顶点作圆 O 的切线，切线长为（）求椭圆 C 的方程；（）设圆 O 的切线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求OAB 面积的最大值（二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22asin+a230，直线 l 的极坐标方程为（R）（）求曲线 C 的参数方程，若曲线 C 过原点 O，求实数 a 的值；（）当 a1 时，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+1|+|xa|（）当 a3 时，求不等式 f（x）3x+1 的解集；（）若 f（x）2a3 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 参考答案 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）.1已知集合 Ay|y，Bx|y，则 AB（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D1，+）解：因为 Ay|y0，+），Bx|y（，11，+），所以 AB1，+）故选：D 2复数 z 满足 z（1+i）（1i）2，则 z 的虚部为（）A2i B2 C2 D2i 解：z（1+i）（1i）2（1+i）（12i1）（1+i）（2i）22i，故 z 的虚部为2，故选：B 3若 aln0.4，b0.23，clog23，则 a，b，c 的大小关系正确的是（）Abac Bacb Cbca Dabc 解：aln0.4ln10，b0.230.008，clog23log221，故选：D 4随着我国智慧城市建设加速和园区信息化发展趋向成熟，智慧园区建设需求将持续增大，市场规模恢复较高增长态势，未来发展空间广阔下面是 20172020 年中国智慧园区市场规模统计表，则下列结论错误的是（）年份 2017 2018 2019 2020 规模（亿元）1888 2101 2270 2417 A2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模逐年增长 B2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模增长率逐年增大 C2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模的平均值约为 2169 亿元 D2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模与年份成正相关 解：对于 A，由表中的数据可以看出，2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模逐年增长，故选项 A 正确；对于 B，2017 年到 2018 年市场规模增长率为，2018 年到 2019 年场规模增长率为，因为 8%11.3%，故选项 B 错误；对于 C，2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模的平均值为亿元，故选项 C 正确；对于 D，2017 年到 2020 年我国智慧园区市场规模与随着年份的增大而增大，故两者呈正相关，故选项D 正确 故选：B 5数列an满足 am+nam+an（m，nN*），a11，a20+a22+a24+a40（）A300 B330 C630 D600 解：数列an满足 am+nam+an（m，nN*），当 m1 时，则 an+1an1，数列an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，ana1+（n1）d1+n1n，a20+a22+a24+a4020+22+24+40，故选：B 6在ABC 中，3，D 是 BE 上的点，若x+，则实数 x 的值为（）A B C D 解：3，x+，x+x+，B，D，E 三点共线，x+1，x 故选：D 7若过函数 f（x）lnx2x 图象上一点的切线与直线 y2x+1 平行，则该切线方程为（）A2xy10 B2xy2ln2+10 C2xy2ln210 D2x+y2ln210 解：由题意，求导函数可得 y2，切线与直线 y2x+1 平行，22，x，切点坐标为（，2ln2），过点 P 且与直线 y2x+1 平行的切线方程为 y+2ln2+2（x），即 2xy2ln210 故选：C 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A B4 C D8 解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是半径为 2 的半球内部挖去一个圆锥，圆锥的底面与半球的大圆面重合，圆锥的高为半球的半径 则该几何体的体积 V 故选：C 9阳春三月，春暖花开，某学校开展“学雷锋践初心向建党百年献礼”志愿活动现有 6 名男同学和 4名女同学，分派到 4 个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各 1名，共有不同的分配方案数为（）A65 B1560 C25920 D37440 解：先把女同学分到 4 个学雷锋志愿服务站有 A 种，然后把 6 个男同学分到 4 个学雷锋志愿服务站，每站至少一个，有 2 种分配方案，每个志愿服务站男生数为 1、1、1、2，有 C A 种方法，每个志愿服务站男生数为 1、1、2、2，有C C A 种方法，则共有 A（C A+C C A）37440 种方案 故选：D 10双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，若 P 为其上一点，且|PF1|2|PF2|，F1PF2，则双曲线的离心率为（）A B2 C D3 解：双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为其上一点，且|PF1|2|PF2|，由双曲线定义知|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c，F1PF2，（2c）2（2a）2+（4a）22，解得 c，e 故选：C 11如图，四边形 ABCD，A1ADD1，C1CDD1均为正方形动点 E 在线段 A1C1上，F，G，M 分别是 AD，BE，CD 的中点，则下列选项正确的是（）AGMCE BBM平面 CC1F C存在点 E，使得平面 BEF平面 CC1D1D D存在点 E，使得平面 BEF平面 AA1C1C 解：对于 A，取 BC 的中点 N，连接 CG，因为 G 是 BE 的中点，所以 GNCE，若 GMCE，则 GMGN，这与 GMGNG 矛盾，故选项 A 错误；对于 B，因为平面 ABCD平面 CC1D1D，平面 ABCD平面 CC1D1DCD，C1CCD，所以 C1C平面 ABCD，又 BM平面 ABCD，所以 CC1BM，又 BMCF，且 CC1CFC，CC1，CF平面 CC1F，则 BM平面 CC1F，故选项 B 正确；对于 C，因为直线 BF 与平面 CC1D1D 有交点，所以不存在点 E，使得平面 BEF平面 CC1D1D，故选项 C 错误；对于 D，连接 BD，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 ACBD，因为 CC1平面 ABCD，CC1平面 ACC1A1，所以平面 ABCD平面 ACC1A1，又平面 ABCD平面 AA1C1CAC，ACBD，则 BD平面 ACC1A1，记 ACBDH，则 BH平面 AA1C1C，且 H 不在平面 BEF，所以不存在点 E，使得平面 BEF平面 AA1C1C，故选项 D 错误 故选：B 12已知函数 f（x）3x+1，且 f（a2）+f（3a4）2，则实数 a 的取值范围是（）A（4，1）B（3，2）C（0，5）D（1，4）解：令 g（x）3x，则 f（x）g（x）+1，f（a2）+f（3a4）2，g（a2）+g（3a4）0，g（x）3（x）（3x），g（x）是 R 上的奇函数，g（a2）+g（3a4）0 可化为 g（a2）g（43a），又g（x）3x13x 在 R 上是减函数，a243a，解得，4a1，故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值为 4 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（）化 z2x+y 为 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 故答案为：4 14设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a52a3+8a1，S430，则 a6 64 解：设等比数列an的共比为 q（q0），由 a52a3+8a1，得 a1q42a1q2+8a1，即 q42q280（q2+2）（q24）0，解得 q2 或 q2（舍去），又 S430，则30，解得 a12，所以 a62252664 故答案为：64 15已知函数 f（x）sin（x+）+在0，m上恰有 10 个零点，则 m 的取值范围是 ，）解：f（x）sin（x+）+sin（x+）+1cos（x+）2sin（x），f（x）02sin（x）0，由 sin（x）0，得 xk（kZ），即 xk+（kZ），f（x）在0，m上恰有 10 个零点，sin（x）0 在0，m上恰有 10 个解，9m10，解得m，故答案为：，）16函数 f（x）x2lnx（aR）在内不存在极值点，则 a 的取值范围是 解：函数 f（x）x2lnx（aR）在内不存在极值点，函数 f（x）在内单调递增或单调递减，f（x）0 或 f（x）0 在内恒成立，f（x），令 g（x）4x2xa，二次函数的对称轴为，当 f（x）0 时，需满足，即 a，当 f（x）0 时，需满足 3a0，即 a3，综上所述，a 的取值范围为 故答案为：三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 atanB4bsin（B+C）（）求 cosB；（）若 AB4，BC3，D 为 AC 上一点，且 AD2DC，求 BD 解：（）因为 atanB4bsin（B+C）4bsin（A）4bsinA，所以 asinB4bsinAcosB，由正弦定理可得 sinAsinB4sinAsinBcosB，因为 sinAsinB0，所以可得 cosB（）因为 cosB，AB4，BC3，所以由余弦定理可得 AC，因为 AD2DC，所以 AD，DC，设 BDx，则+0，解得 x，即 BD 18如图，在圆柱 OO1中，CE 是圆柱的一条母线，ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB 是圆 O 的直径，CDAB（）若 ADCD，求证：AD平面 CEO；（）若 CDCEAB1，求直线 BE 与平面 ADE 所成角的正弦值 解：（）证明：因为 CDAB，所以 ADBC 又因为 ADCD，所以 ADCDBC 因为 AB 是圆 O 的直径，连接 OD，所以AODDOCCOB60，所以OAD，OCD，OBC 均为正三角形，所以DAOCOB60，所以 ADOC 又因为 OC平面 CEO，AD平面 CEO，所以 AD平面 CEO（）以 O 为坐标原点，分别以 CA，CB，CE 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz 因为 CDAB，所以，则点 所以 设平面 ADE 的法向量为，则 即 令，可得 设直线 BE 与平面 ADE 所成角为，所以直线 BE 与平面 ADE 所成角的正弦值为 19 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：年份 2020 年 2021 年 月份 9 月 10 月 11 月 12 月 1 月 2 月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率 y（%）11 13 16 15 20 21（）用相关系数说明月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合？（）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过 30%？（）根据市场供需情况统计，得到该公司产品 2020 年的平均月产量 X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2020 年的该公司产品的平均市场价格 y（单位：万元/件）对应的概率分布为 P（Y）假设生产每件产品的每月固定成本为 200 万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望 参考数据：，参考公式：相关系数，回归直线方程为，其中：，解：（）因为 r，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可以用线性回归模型拟合两变量之间的关系；（）由题意可得，又，所以1623，59，故 y 关于 x 的线性回归方程为，令 30，即 2x+930，解得 x10.5，又 xN，所以 x11，故从 2021 年 7 月开始，该种产品的市场占有率超过 30%；（）设该产品平均每月利润为 Z 万元，则 Z 的可能取值为 2800，3300，3400，4000，故 P（Z2800）0.60.80.48，P（Z3300）0.60.20.12，P（Z3400）0.40.80.32，P（Z4000）0.40.20.08，所以 Z 的分布列为：Z 2800 3300 3400 4000 P 0.48 0.12 0.32 0.08 故 E（Z）28000.48+33000.12+34000.32+40000.083148 万元 20函数 f（x）xlogax（a0，a1）（）当 a4 时，求证：函数 g（x）f（x）1 有两个零点；（）若 ae，求证：af（x）e0【解答】证明：（）当 a4 时，g（x）f（x）1xlog4x1（x0），则，当时，g（x）0，则 g（x）单调递减，当时，g（x）0，则 g（x）单调递增，又 g（1）0，g（）0，所以存在使得 g（x0）0，则函数 g（x）存在两个零点 x0，1，所以函数 g（x）f（x）1 有两个零点；（）当 ae，af（x）e0 等价于，由题意可知，令 f（x）0，可得，当时，f（x）0，则 f（x）单调递减，当时，f（x）0，则 f（x）单调递增，所以当时，f（x）取得最小值，且，由题意，只需证明+ln（lna），令 tlna（t1），则 aet，则只需证明，即 1+lnt，令（t）1+lnt，t1，故只需证明（t）0（t1）即可，则（t），当 t1 时，et1t0，故（t）0，所以（t）在1，+）上单调递增，因为 t1，所以（t）（1）0，故 af（x）e0 成立 21已知椭圆 C：1（ab0）和圆 O：x2+y21C 的焦距为，过 C 的右顶点作圆 O 的切线，切线长为（）求椭圆 C 的方程；（）设圆 O 的切线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求OAB 面积的最大值 解：（）设椭圆的半焦距为 c，由题意可得，解得 a2，b，所以椭圆 C 的方程为+1（）当切线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，|AB|2，SOAB|AB|r211，当切线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+m，由题意可得1，即 k2+1m2，联立，得（1+3k2）x2+6kmx+3m240，设 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 x1+x2，x1x2，所以|AB|2 2 2 22，当且仅当 k时，等号成立，所以（SAOB）max，综上所述，OAB 面积的最大值为（二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22asin+a230，直线 l 的极坐标方程为（R）（）求曲线 C 的参数方程，若曲线 C 过原点 O，求实数 a 的值；（）当 a1 时，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|解：（）将 2x2+y2，ysin 代入 22asin+a230，得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+（ya）23，曲线 C 的参数方程为（为参数）曲线 C 过原点 O，a23，得 a；（）当 a1 时，曲线 C 的极坐标方程为 22sin20，将 代入 22sin20，得 220 设 A、B 两点对应的极径分别为 1，2，1+21，122，|AB|选修 4-5：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+1|+|xa|（）当 a3 时，求不等式 f（x）3x+1 的解集；（）若 f（x）2a3 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 解：（）当 a3 时，f（x），因为 f（x）3x+1，当 x1 时，由2x+23x+1，解得 x1；当1x3 时，由 43x+1，解得1x1；当 x3 时，由 2x23x+1，解得 x；综上，f（x）3x+1 的解集为（，1）；（）因为 f（x）2a3 对任意 xR 恒成立，等价于 f（x）min2a3，因为 f（x）|x+1|+|xa|1+a|，当且仅当（x+1）（xa）0 时，等号成立，所以只需|1+a|2a3，即或，解得1a4 或 a1，所以实数 a 的取值范围是（，4