2022-2023学年安徽省部分学校高三上学期12月联考数学试题含答案.pdf

2023 届高三 12 月阶段检测联考 数学 考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色.墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合220,32 0Ax xBx xx，则AB（）A.1,2 B.1,C.2,D.2,2.已知复数z在复平面内对应的点为3,1，则1zz（）A.117i1010 B.117i1010 C.117i1010 D.117i1010 3.从编号为1,2,8的 8 个形状大小都相同的球中任取 3 个，则所取 3 个球的最小编号是 4 的概率为（）A.114 B.328 C.17 D.528 4.如图，,C D是以AB为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E为线段CD的中点，F为线段BE上靠近B的一个四等分点，设ABa，ACb，则AF（）A.5182ab B.5142ab C.131164ab D.13184ab 5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即*21nnnaaanN，后来人们把这样的一列数组成的数列 na称为“斐波那契数列”.设数列 na的前n项和为nS，记2023am，2024an，则2023S（）A.2mn B.mn C.1mn D.1mn 6.已知函数 sin0,2f xx与函数 yg x的部分图象如图所示，且函数 f x的图象可由函数 g x的图象向右平移4个单位长度得到，则 g x在区间0,6上的最大值为（）A.12 B.1 C.34 D.32 7.已知13568318,tan,2724log 69log 5abc，则（）A.acb B.bca C.abc D.bac 8.如图，在棱长为a的正四面体ABCD中，点111,B C D分别在棱,AB AC AD上，且平面111BC D平面1,BCD A为BCD内一点，记三棱锥1111ABC D的体积为V，设1ADxAD，关于函数 Vf x，下列说法正确的是（）A.12220,133xx，使得 21f xf x B.函数 f x在1,12上是减函数 C.函数 f x的图象关于直线12x 对称 D.00,1x，使得 016A BCDf xV（其中A BCDV为四面体ABCD的体积）二多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.如图，在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是（）A.AC平面11A BC B.AD平面11A BC C.平面11A BC平面1ACD D.平面11A BC 平面11BB D D10.已知53cos,sin255，其中,为锐角，则（）A.4cos25 B.2 5cos5 C.3cos cos10 D.1tan tan3 11.已知椭圆22:12xCy，直线:0l ykx k与椭圆C交于,A B两点，过A作x轴的垂线，垂足为D，直线BD交椭圆于另一点M，则下列说法正确的是（）A.若D为椭圆的一个焦点，则ABD的周长为2 22 B.若1k，则ABD的面积为23 C.直线BM的斜率为2k D.AMAB 12.已知函数 ln,exxf xg xxx，若存在120,xxR，使得 12f xg xk成立，则（）A.当0k 时，121xx B.当0k 时，21e2exx C.当0k 时，21ekxx的最小值为1e D.当0k 时，221ekxx的最大值为24e 三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.多项式5656510(3)x xa xa xa xa，那么3a _.14.写出一条与直线210 xy 平行且与圆22420 xyxy相切的直线方程_.15.某市某次高中统测学生数学成绩的频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成,A B C D四个等级，其中A级占25%,B级占40%,C级占30%,D级占5%的比例，则C级的分数线与B级的分数线分别为_和_.16.已知抛物线2:8C yx，其焦点为,F P是C上的动点，过F作直线1460mxymmR的垂线，垂足为Q，则PQPF的最小值为_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为11,cos,sin2sin,416a b cCBA b.（1）求c；（2）求ABC内切圆的面积.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na各项均为正数，且2211114,24312nnnnnnaaaaaaa.（1）求 na的通项公式；（2）记数列21nna a的前n项和为nS，求nS的取值范围.19.（本小题满分 12 分）近年来中年人的亚健康问题日趋严重，引起了政府部门和社会各界的高度关切.一研究机构为了解亚健康与锻炼时间的关系，对某地区的中年人随机调查了 100 人，得到如下数据：平均每天锻炼时间 不足半小时 半小时到 1 小时（含半小时）1 小时及以上 亚健康 15 8 2 无亚健康 15 32 28（1）从这些中年人中任选 1 人，记A“该中年人亚健康”，B“该中年人平均每天锻炼时间不足半小时”，分别求P AB和()P A B；（2）完成下面的列联表，根据小概率值0.01的独立性检验，能否认为亚健康与锻炼时间有关联？平均每天锻炼时间 不足 1 小时 1 小时及以上 合计 亚健康 无亚健康 合计 附：22(),n adbcnabcdabcdacbd.0.05 0.01 0.005 x 3.841 6.635 7.879 20.（本小题满分 12 分）如图，长方体1111ABCDA BC D中，11,2,ABADAAP为棱1DD的中点.（1）求直线AP被长方体1111ABCDA BC D的外接球截得的线段长度；（2）求直线1AC与平面PAC所成角的正弦值.21.（本小题满分 12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为12,F F，离心率为62，直线l交C于,P Q两点，且122 2PFPF.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若点2,1A，直线,AP AQ与y轴分别相交于,M N两点，且0,OMONO为坐标原点，证明：直线l过定点.22.（本小题满分 12 分）已知函数 2(ln)lnf xxa xa aR.（1）求函数 f x的极值；（2）若 22e0 xf x 恒成立，求实数a的取值范围.2023 届高三 12 月阶段检测联考-数坣 参考答案提示及评分细则 1.B 2202,32 012Ax xx xBx xxxx，所以 2121ABx xxxx x.故选 B.2.A 因为复数z在复平面内对应的点为3,1，所以3iz，所以4i3i14i117i117i3i3i3i101010zz.故选 A.3.B 所取 3 个球的最小号码是 4，则编号为 4 的球必选，再从编号为5,6,7,8的球中选 2 个，则所取 3 个球的最小号码是 4 的概率2438C3C28P.故选B.4.C 如图，连接AE.因为,C D是以AB为直径的半圆圆周上的两个三等分点，则ABCD.，且2ABCD.又F为BE上靠近B的一个四等分点，所以13131134444484AFAEABACCEABACCDAB 1131314164164ACABABab.故选 C.5.C 因为21nnnaaa，所以20232022202120222020201920222020201821aaaaaaaaaaa，202420232022202320212020202320212019532aaaaaaaaaaaa，由+，得2023202420232aaSa，又202320242,1am an a，即20231mnS，所以20231Smn.故选C.6.D 由题意可知，将函数 yg x图象上的点,03向右平移4个单位长度，可得 yf x的图象与x轴负半轴的第一个交点为,012，因为 yf x的图象与x轴正半轴的第一个交点为5,012，所以5221212T，得2，则 sin 2f xx.又sin0126f且12为 f x增区间上的零点，所以2,6kkZ，由2知6，则 sin 2,sin 2cos 26466f xxg xxx，当0,6x时，32,cos 20,66 262xx，故 g x在区间0,6上的最大值为32.故选 D.7.D 111333356827333318,tan,27822224log 69log 5abc 55551818183912294log 62 4log 6log 6log 6，所以bac.故选 D.8.A 设点A在平面BCD内的射影为点O，连接AO BO，如图所示，则O为等边BCD的中心，故32sin603aOBa，因为AO 平面,BCD BO 平面BCD，所以AOBO，所以22263,34BCDAOABBOa Sa，所以2311362334312A BCDBCDVSAOaaa.因为平面111BC D平面BCD，则1 11221111,B C DBCDSADBC DBCDxSAD，且点A到平面111BC D的距离为63ax，所以点1A到平面111BC D的距离为6(1)3ax，所以 11132162113312B C DVf xSaxa xx，其中01x，对于A选项，3222312fxaxx，当203x时，0fx，此时函数 f x单调递增，320,81fxa；当213x时，0fx，此时函数 f x单调递减，320,81fxa，故 A 正确，B 错误；对于C选项，323332221(1)(1)21212fxaxxaxxxf x，故函数 f x的图象不关于直线12x 对称，故 C 错误；对于 D 选项，3333max1122222,()66127238172A BCDVaaf xfaa，故对任意的 10,1,6A BCDxf xV，故 D 错误.故选 A.9.ACD 因为11,ACAC AC 平面1111,A BC AC 平面11A BC，所以AC平面11A BC，故A正确；45,DACAD与AC不垂直，则AD与11AC不垂直，AD平面11A BC不正确，故B错误；因为11,ACAC AC 平面11A BC，11AC 平面11A BC，所以AC平面11A BC，同理1AD平面11A BC，又1ACADA，所以平面11A BC平面1ACD，故 C 正确；正方体1111ABCDABC D中，有1BB 平面1111A BC D，则111BBAC，又1111B DAC，可得 11AC 平面11BB D D，从而平面11A BC 平面11BB D D，故 D 正确.故选ACD.10.AB 因为3sin25，所以4cos25或4cos25，当4cos25时，30,0,44与5cos5 矛盾，所以4cos25，故 A 正确；因为5cos,0,0522，所以22 50,sin1 cos,coscos 25 cos2 cossin2 sin 4532 52 555555 ，故 B 正确；2 5coscos cossin sin5，5coscos cossin sin5，由得，52cos cos5，解得5cos cos10，故 C 错误；由一得，3 52sin sin5，解得3 53 5sin sin10sin sin,tan tan310cos cos510，故D错误.故选 AB.11.BCD 对于A，如图，由对称性，不妨设D为椭圆的左焦点，则1,0D，故易得21,2A，则62OA，则6AB，又因为22 2ADBDa，所以ABD的周长为2 26，故A错误；对于B，由221,2xyyx解得63x ，不妨设6666,3333AB，6,03D，则2 66,33AByyOD，所以162 622333ABDS，故 B 正确；对于 C，设0000,A x yBxy，则0,0D x，所以00122BMBDykkkx，故 C 正确；对于D，设00,A xyM m n，则2200022000MAMBnynynykkmxmxmx，又点M和点A在椭圆C上，2212mn，220012xy，一得22022012nymx，因为12MBkk，则1122MAkk，得1MAkk，所以AMAB，故 D 正确.故选 BCD.12.ACD 由已知，当0k 时，即121221ln0,1,0,0exxxxx，所以有121xx，故A项正确；取21ex，则 1121ln2exf xx，此时令22x，则有 222221122,eee2e2eexg xf xx，故 B 项错误；因为 ln,exxxf xg xx，所以 21 lnxfxx.当0ex时，0,fxf x在(0,)e上单调递增；当ex 时，0,fxf x在e,上单调递减，所以 f x的图象如图所示.又 12f xg xk，即222121lnlneeexxxxxkx.当0k 时，如图易知，lnxf xx与yk只有一个交点，由 12f xg xk，可得此时21211e,ln,01xxxxx，则2111lneeekkkxxkxx.令 ekh kk，则 1ekh kk.当10k 时，1e0kh kk，即 ekh kk在1,0上单调递增；当1k 时，1e0kh kk，即 ekh kk在,1上单调递减.所以 ekh kk在1k 处有最小值 11eh ，故 C 项正确；当0k 时，2221eekkxkx.令 22e,2e2 ekkkm kkm kkkk k.当20k 时，2e0km kkk，即 2ekm kk在2,0上单调递减；当2k 时，2e0km kkk，即 2ekm kk在,2上单调递增.所以 2ekm kk在2k 处有最大值 242em，故 D 项正确.故选 ACD.13.270 5(3)x的展开式的通项为515C3nnnnTx，所以335 333345C3270a xx Txxx，则3270a.14.20 2100 xyxy一样给分）设与直线210 xy 平行的直线为20 xym，且1m，圆22420 xyxy整理为22(2)(1)5xy，则圆心为2,1，半径5r，又直线20 xym与圆相切，则圆心2,1到直线20 xym的距离为224 1521m，解得0m 或10m ，则直线方程为20 xy或2100 xy.15.24（3 分）49（2 分）由图可知，分数在 20 分以下的比例为0.001200.02，在 40 分以下的比例为0.0010.0075200.17，因此5%分位数C级的分数线）位于20,40内，由0.050.022020240.15，所以C级的分数线为 24；由0.350.174020490.4.16.52 将已知直线1460mxym化为460m xxy，当4x 时2y，可确定直线过定点4,2，记为M点.因为过点F做直线1460mxym的垂线，垂足为Q，所以,90FQMQFQM，故Q点在以FM为直径的圆上，半径2r，其圆心为FM的中点，记为点H，所以3,1H，因为P在抛物线2:8C yx上，其准线为2x ，所以PF等于P到准线的距离.过P作准线的垂线，垂足为R.要使PFPQ取到最小，即PRPQ最小，此时,R P Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，此时min()52PRPQHRr.17.解：（1）因为sin2sinBA，由正弦定理得2ba，又4b，所以2a，由余弦定理得2222222411cos22 2 416abccCab，解得3c.（2）因为11cos,0,16CA，所以23 15sin1 cos16CC，所以ABC的面积113 153 15sin2 422164SabC .设ABC内切圆的半径为r，则12Sabcr，所以2156Srabc，所以内切圆的面积为2512r.18.解：（1）因为2211124312nnnnnnaaaaaa，所以111343nnnnnnaaaaaa，因为 na各项均为正数，130nnaa，所以14nnaa，所以数列 na是首项为 4，公差为 4 的等差数列，4144nann.（2）21111111442162322nna annn nnn，111111111113232435112nSnnnn 11113111132212643212nnnn，因为*nN，故11012nn，所以364nS，又0na，所以1148nSS，所以nS的取值范围为13,48 64.19.解：（1）由题意可知中年人亚健康且平均每天锻炼时间不足半小时的人数为 15，故15310020P AB；中年人中平均每天锻炼时间超过半小时的人数为 70，其中无亚健康的人数为322860，故606()707P A B.（2）列联表如下：平均每天锻炼时间 不足 1 小时 1 小时及以上 合计 亚健康 23 2 25 无亚健康 47 28 75 合计 70 30 100 零假设为0H：亚健康与锻炼时间没有关联，220.01100(23 28472)4847.6836.63525 75 70 3063x，依据小概率值0.01的2独立性检验，我们推断0H不成立，可以认为亚健康与锻炼时间有关联，该推断犯错误的概率不超过0.01.20.解：（1）设1,ACBDO AC的中点为Q，连结,PQ OQ AQ，显然Q为长方体1111ABCDABC D外接球的球心，且OQ 平面ABCD，由题意知，22262,1,2222OAOQAQOAOQPQAP，所以222PQAQAP，所以AQPQ，设Q到直线AP的距离为d，则1122AP dPQ AQ，解得64d，因为外接球的半径11622RBD，所以直线AP被此外接球截得的弦长为223 222Rd.（2）以D为原点，建立空间直角坐标系（如图），则110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,1DACDCP.设平面PAC的一个法向量,nx y z，因为1,1,0,1,0,1ACAP ，则由0,0,n ACn AP得0,0,xyxz 得,.yxzx所以1,1,1n；又11,1,2AC ，设直线1AC与平面PAC所成的角为，所以 1111,1,21,1,12sincos,363ACnAC nAC n，所以直线1AC与平面PAC所成角的正弦值为23.21.（1）解：因为12|2 2PFPF，所以22 2a，解得2a，设双曲线C的半焦距为c，因为离心率为62，所以62ca，解得3c，则221bca，所以双曲线C的标准方程为2212xy.（2）证明：设0,Mm，则112210,2AMmNmP x yQ xyk，12ANmk，直线AP的方程为12AMmykxmxm，直线AQ的方程为12ANmykxmxm.联立方程221,222,myxmxy消去y并整理得222(1)1212202mxm mxm 显然22222(1)10,2(1)4(1)4 2210,2mmmmm即12,12,1,mmm 222111122222221(1)22,(1)(1)22(1)212mmmmxxyxmmmm ，联立方程221,222,myxmxy消去y并整理得222(1)1212202mxm mxm，显然22222(1)10,2(1)4(1)4 2210,2mmm mm即12,12,1.mmm 2222222221(1)2,(1)22(1)2mmmxyxmmm，即当1,21,21mmm 时，直线PQ的方程为211121yyyyxxxx，将上面求得的1212,x xy y的解析式代入得222222(1)2122(1)21(1)2mmmyxmmm，整理得22111myxm，所以直线l过定点0,1.22.解：（1）函数 2(ln)lnf xxa xa的定义域为0,，则 2lnxafxx，令 0fx，得2eax，当x变化时，,f xfx的变化情况如下：x 20,ea 2ea 2e,a fx 0 f x 单调递减 24aa 单调递增 因此，当2eax时，f x有极小值，并且极小值为24aa，无极大值.（2）因为 22e0 xf x 等价于22(ln)ln2exxa xa，令 2(ln)ln,0,h xxxa xax，则 22ln(ln)lnln2lnxah xxa xaxxxaxx，（i）若0,4a，对于函数2(ln)lnyxa xa，有240aa，所以2(ln)ln0 xaxa恒成立，故当0,4a时，不等式22(ln)ln2exxa xa恒成立；（ii）若4,a，当0,eax时，2(ln)lnlnln0 xa xaxxaa，所以2(ln)ln0 xxa xa，故不等式22(ln)ln2exxa xa恒成立；现探究当e,ax时的情况：当2e,eax时，0h x；当2e,x时，0h x，所以 h x在2e,ea上单调递减，在2e,上单调递增，所以2ex是 h x的极小值点，要使不等式22(ln)ln2exxa xa成立，只需 222ee422ehaa，解得442ea，故当4442ea时，不等式22(ln)ln2exxa xa恒成立；（iii）若,0a，当20,ex时，22(ln)ln(ln)ln10 xa xaxax，所以2(ln)ln0 xxa xa，故不等式22(ln)ln2exxa xa恒成立；现探究当2e,x时的情况：当2e,eax时，0h x，当e,ax时，0h x，所以 h x在2e,ea上单调递减，在e,a上单调递增，所以eax是 h x的极小值点，要使不等式22(ln)ln2exxa xa成立，只需 222ee2eaahaaa，即2e2eaa.设(0)exxm xx，则2e2eaa化为 2m am，因为 10exxm x，所以 m x在,0上为增函数，于是，由 2m am 及0a，得20a，故当20a时，不等式22(ln)ln2exxa xa恒成立.综上，实数a的取值范围为42,42e.