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统计学二项分布第1页，本讲稿共34页nBinomial distribution nPoissin distribution 第2页，本讲稿共34页n 随随机机变变量量有有连连续续型型和和离离散散型型之之分分，相相应应的的概概率率分分布布就就可可分分为为连连续续型型分分布布和和离离散散型型分布。分布。n 有有关关连连续续型型分分布布如如正正态态分分布布、t分分布布和和F分布等在前面的章节中已作了介绍。分布等在前面的章节中已作了介绍。n 本本章章主主要要介介绍绍在在医医学学中中较较为为常常用用的的离离散散型分布，即二项分布、型分布，即二项分布、Poisson分布。分布。第3页，本讲稿共34页第一节第一节 二项分布二项分布第4页，本讲稿共34页n二项分布（binomial distribution）是指在只会产生两种可能结果如“阳性”或“阴性”之一的n次独立独立重复试验（常常称为n重Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳性”概率保持不变时，出现“阳性”的次数X=0，1，2，n的一种概率分布。第5页，本讲稿共34页n 在医学中类似如这种在医学中类似如这种n重重Bernoulli试验的情形较为试验的情形较为常见。常见。n 如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无如用某种药物治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效；效；n 在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存；在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存；n 接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非感染等。接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非感染等。第6页，本讲稿共34页n 若从阳性率（死亡率、感染率等）为的总体中随机抽取大小为n的样本，则出现阳性数为X的概率分布即呈二项分布，记为XB(n，).第7页，本讲稿共34页二项分布有两个参数：二项分布有两个参数：总体率总体率 样本含量样本含量 记作：记作：XB(n，)第8页，本讲稿共34页在在n个独立的个体中出现个独立的个体中出现X个阳性的概率可由下个阳性的概率可由下式求出：式求出：第9页，本讲稿共34页一、二项分布的适用条件和性质一、二项分布的适用条件和性质n(一一)二项分布的适用条件二项分布的适用条件n1.1.每次试验只会发生两种对立的可能结果每次试验只会发生两种对立的可能结果 之一，即分别发生两种结果的概率之和之一，即分别发生两种结果的概率之和 恒等于恒等于1 1；n2.2.每次试验产生某种结果（如每次试验产生某种结果（如“阳性阳性”）的的 概率概率固定不变；固定不变；n3.3.重复试验是相互独立的，即任何一次试重复试验是相互独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。现的概率。第10页，本讲稿共34页n(二二)二项分布的性质二项分布的性质n1.1.二二项项分分布布的的均均数数与与标标准准差差 在在n n次次独独立立重复试验中，出现重复试验中，出现“阳性阳性”次数次数X X的的n总体均数为总体均数为n总体方差为总体方差为n总体标准差为总体标准差为n 第11页，本讲稿共34页n若以率表示，则样本率若以率表示，则样本率p的的n总体均数为总体均数为n总体方差为总体方差为 n总体标准差为总体标准差为 第12页，本讲稿共34页n样样本本率率的的标标准准差差也也称称为为率率的的标标准准误误，可可用用来来描描述述样样本本率率的的抽抽样样误误差差，率率的的标标准准误误越越小，则率的抽样误差就越小。小，则率的抽样误差就越小。n在在一一般般情情形形下下，总总体体率率往往往往并并不不知知道道。此此时时若若用用样样本本资资料料计计算算样样本本率率p=X/n作作为为的的估计值，则估计值，则 的估计为的估计为:第13页，本讲稿共34页n2.二项分布的图形 对于二项分布而言，当=0.5时，分布是对称的，见图；第14页，本讲稿共34页n当当 0.5时时，分分布布是是偏偏态态的的，但但随随着着n的的增增大大，分分布布趋趋于于对对称称。当当n 时时，只只要要不不太靠近太靠近0或或1，二项分布则接近正态分布。，二项分布则接近正态分布。第15页，本讲稿共34页二、二项分布的应用二、二项分布的应用n(一一)总体率的区间估计总体率的区间估计n1.1.查表法查表法 n2.2.正态近似法正态近似法 第16页，本讲稿共34页n1.查表法 对于n 50的小样本资料，直接查附表6百分率的95%或99%可信区间表，即可得到其总体率的可信区间。n例6-2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术妇女受孕率的95%可信区间。第17页，本讲稿共34页 本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时，在n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处数值为1975，即该吻合术妇女受孕率的95%可信区间为（19%，75%）。附表6只列出 的部分。当 时，可先按“阴性”数n-X查得总体阴性率的 可信区间QLQU，再用下面的公式转换成所需的阳性率的 可信区间。PL=1-QU，PU=1-QL 第18页，本讲稿共34页n2.正态近似法正态近似法 根据数理统计学的中心极限定理可得，根据数理统计学的中心极限定理可得，当当n较大、较大、不接近不接近0也不接近也不接近1时，二项分布时，二项分布B(n，)近似正态分布近似正态分布n，而相应的样本率，而相应的样本率p的分布也近似的分布也近似 正态分正态分布。为此，当布。为此，当n较大、较大、p和和1-p均不太小，如均不太小，如np和和n(1-p)均大于均大于5时，可利用样本率时，可利用样本率p的分布近似正态分布来估的分布近似正态分布来估计总体率的可信区间。计总体率的可信区间。第19页，本讲稿共34页 的的 可信区间为：可信区间为：如：如：的的95%可信区间可信区间为为 的的99%可信区间为可信区间为第20页，本讲稿共34页例：在观测一种药物对某种非传染性疾病的治例：在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者者100100人，发现人，发现5555人有效，试据此估计该药物人有效，试据此估计该药物治疗有效率的治疗有效率的95%95%可信区间。可信区间。第21页，本讲稿共34页n(二二)样本率与总体率的比较样本率与总体率的比较n1.直直接接法法 在在诸诸如如疗疗效效评评价价中中，利利用用二二项项分分布布直直接接计计算算有有关关概概率率，对对样样本本率率与与总总体体率率的的差差异异进进行行有有无无统统计计学学意意义义的的比比较较。比比较较时时，经经常常遇遇到到单单侧侧检检验验，即即“优优”或或“劣劣”的的问问题题。那那么么，在在总总体体阳阳性性率率为为的的n次次独独立立重重复复试试验验中中，下下面面两两种种情情形形的的概概率率计计算是不可少的。算是不可少的。第22页，本讲稿共34页（1）出现）出现“阳性阳性”的次数至多为的次数至多为k次的概率为次的概率为:（2）出现）出现“阳性阳性”的次数至少为的次数至少为k次的概率为次的概率为第23页，本讲稿共34页第24页，本讲稿共34页n例6-4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女实施壶腹部-壶腹部吻合术后，受孕率为0.55。今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。问实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否高于壶腹部-壶腹部吻合术？n显然，这是单侧检验的问题，其假设检验为nH0：=0.55nH1：0.55n =0.05第25页，本讲稿共34页n对这10名实施峡部-峡部吻合术的妇女，按0.55的受孕率，若出现至少9人受孕的概率大于0.05，则不拒绝H0；否则，拒绝H0，接受H1。n本例n=10，=0.55，k=9。按公式（6-12）有:第26页，本讲稿共34页n 按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，即认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率要高于壶腹部-壶腹部吻合术。第27页，本讲稿共34页n2.正态近似法 当n较大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p)均大于5时，利用样本率的分布近似正态分布的原理，可作样本率p与已知总体率0的比较。检验统计量u值的计算公式为:第28页，本讲稿共34页n例例6-6 对对某某疾疾病病采采用用常常规规治治疗疗，其其治治愈愈率率为为45%。现现改改用用新新的的治治疗疗方方法法，并并随随机机抽抽取取180名名该该疾疾病病患患者者进进行行了了新新疗疗法法的的治治疗疗，治治愈愈117人人。问问新新治治疗疗方方法法是是否否比比常常规规疗疗法法的的效效果好果好？n本本例例是是单单侧侧检检验验，记记新新治治疗疗方方法法的的治治愈愈率率为为，而，而0=0.45。其假设检验为其假设检验为nH0：=0.45nH1：0.45n =0.05第29页，本讲稿共34页n本例n=180，p=117/180=0.65n查u界值表（t界值表中 为 的一行）得单侧 。按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，即新的治疗方法比常规疗法的效果好。第30页，本讲稿共34页n(三三)两样本率的比较两样本率的比较n两两样样本本率率的的比比较较，目目的的在在于于对对相相应应的的两两总总体体率率进进行行统统计计推推断。断。n设设两两样样本本率率分分别别为为p1和和p2，当当n1与与n2均均较较大大，且且p1、1-p1及及p2、1-p2均均不不太太小小，如如n1p1、n1(1-p1)及及n2p2、n2(1-p2)均均大大于于5时时，可可利利用用样样本本率率的的分分布布近近似似正正态态分分布布，以以及及独独立立的的两两个个正正态态变变量量之之差差也也服服从从正正态态分分布布的的性质，采用正态近似法对两总体率作统计推断。性质，采用正态近似法对两总体率作统计推断。第31页，本讲稿共34页n检验统计量u的计算公式为：第32页，本讲稿共34页n例例6-7 为为研研究究某某职职业业人人群群颈颈椎椎病病发发病病的的性性别别差差异异，今今随随机机抽抽查查了了该该职职业业人人群群男男性性120人人和和女女性性110人人，发发现现男男性性中中有有36人人患患有有颈颈椎椎病病，女女性中有性中有22人患有颈椎病。试作统计推断。人患有颈椎病。试作统计推断。n记记该该职职业业人人群群颈颈椎椎病病的的患患病病率率男男性性为为1，女女性性为为2，其检验假设为其检验假设为nH0：1=2nH1：12n =0.05第33页，本讲稿共34页本例n1=120，X1=36，p1=X1/n1=36/120=0.30；n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20 查u界值表得0.05P0.10。按=0.05水准，不拒绝H0，即尚不能认为该职业人群颈椎病的发病有性别差异。第34页，本讲稿共34页