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统计讲稿第六章平均指标1第1页，本讲稿共100页第一节第一节 平均指标的概念、特点、作用及种类平均指标的概念、特点、作用及种类平均指标的概念平均指标的概念又称又称统计平均数统计平均数，用以反映社会经济，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的时间、地点条件下所达到的一般水一般水平平的综合指标。的综合指标。2第2页，本讲稿共100页例如，例如，某银行营业所有某银行营业所有8名出纳员，每人每名出纳员，每人每天点钞数分别为天点钞数分别为350，370，385，400，415，430，450，480把，要说明把，要说明8名出纳员工名出纳员工作的一般水平，不能够以其中的一人的点作的一般水平，不能够以其中的一人的点钞水平来代表，而应计算：钞水平来代表，而应计算：平均点钞把数平均点钞把数=（350+370+385+400+415+430+450+480）=410（把）（把）这这410（把）就是（把）就是统计统计平均数平均数3第3页，本讲稿共100页平均指标的特点平均指标的特点（）把总体各单位标志值的（）把总体各单位标志值的差异差异抽象化了抽象化了,是个是个抽象值抽象值；（）平均指标是个（）平均指标是个代表值代表值，代表总，代表总体各单位标志值的体各单位标志值的一般水平一般水平。4第4页，本讲稿共100页平均指标的作用平均指标的作用反映总体各单位变量分布的反映总体各单位变量分布的集中趋势集中趋势；比较同类现象在不同单位发展的比较同类现象在不同单位发展的一般一般水平水平；比较同一单位的同类指标在比较同一单位的同类指标在不同时期不同时期的发展状况的发展状况；分析现象之间的分析现象之间的依存关系依存关系等。等。5第5页，本讲稿共100页平均指标的种类平均指标的种类算术平均数、调和平均数、几何平算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数均数、众数和中位数。前前三种三种平均数是根据总体所有平均数是根据总体所有标志标志值值计算的称为计算的称为数值平均数数值平均数，后后两种两种平均数是根据标志值所处的平均数是根据标志值所处的位置位置确定的，称为确定的，称为位置平均数位置平均数6第6页，本讲稿共100页第二节第二节 算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数是计算平均指标的最常用是计算平均指标的最常用方法。方法。基本公式基本公式算术平均数算术平均数=总体标志总量总体标志总量总体单位总量总体单位总量7第7页，本讲稿共100页如：如：平均工资平均工资=工资总额工资总额/职工人数职工人数单位面积产量单位面积产量=产量产量/种植面积种植面积8第8页，本讲稿共100页强度相对指标与平均指标的区别强度相对指标与平均指标的区别指标的含义不同指标的含义不同。强度相对指。强度相对指标说明的是标说明的是某一现象某一现象在另在另一现象一现象中中发展的强度、密度或普遍程度；而发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是平均指标说明的是现象发展的一般水现象发展的一般水平平。9第9页，本讲稿共100页计算方法不同计算方法不同。强度相对指标与平均指标，虽然都是两个强度相对指标与平均指标，虽然都是两个有联系的总量指标之比，但是，强度相对有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种指标分子与分母的联系，只表现为一种经经济关系济关系；而平均指标是在；而平均指标是在一个同质总体内一个同质总体内标志总量标志总量与与单位总量单位总量的对比。分子是各单的对比。分子是各单位标志值的总和，分母是单位总数，对比位标志值的总和，分母是单位总数，对比结果是反映总体各单位某一标志值的平均结果是反映总体各单位某一标志值的平均数。数。10第10页，本讲稿共100页多选题：多选题：下列统计指标属于强度相对指标的是（下列统计指标属于强度相对指标的是（）。）。A、平均年龄、平均年龄 B、商业网点密度、商业网点密度 C、人均日产零件数、人均日产零件数 D、人均国民生产总值、人均国民生产总值 E、人口自然增长率、人口自然增长率答案：答案：B D E11第11页，本讲稿共100页算术平均数的两种计算形式算术平均数的两种计算形式由于资料不同，算术平均数有两种计算由于资料不同，算术平均数有两种计算形式：形式：简单算术平均数简单算术平均数 加权算术平均数加权算术平均数12第12页，本讲稿共100页简单算术平均数简单算术平均数13第13页，本讲稿共100页例如，例如，1990年我国百个产粮大县中，吉林省共年我国百个产粮大县中，吉林省共有有11个县，它们的粮食产量资料如下：个县，它们的粮食产量资料如下：根据上列资料，可以采用简单算术平均数的方根据上列资料，可以采用简单算术平均数的方法，计算出法，计算出1990年吉林省产粮大县的平均粮食年吉林省产粮大县的平均粮食产量为：产量为：14第14页，本讲稿共100页15第15页，本讲稿共100页 算术平均数算术平均数受极端数值的影响较大受极端数值的影响较大。就上列资料来看，在吉林省就上列资料来看，在吉林省11个产粮大县中，有个产粮大县中，有7个县的个县的粮食产量都在粮食产量都在120万吨以上。但是，由于有万吨以上。但是，由于有5个县的粮食产个县的粮食产量较低，仅为产粮多的县粮食产量的量较低，仅为产粮多的县粮食产量的1/2或或1/3，极端数值偏，极端数值偏低，因而，使算术平均数的数值偏低，仅为低，因而，使算术平均数的数值偏低，仅为116万吨。万吨。如果剔除一个偏低的极端数值（双阳县的如果剔除一个偏低的极端数值（双阳县的60万吨），而万吨），而后计算平均粮食产量，则算术平均数就比较接近于大多数县后计算平均粮食产量，则算术平均数就比较接近于大多数县的粮食产量。即：的粮食产量。即：16第16页，本讲稿共100页由于算术平均数受极端数值的影响较大，在由于算术平均数受极端数值的影响较大，在统计分析中为了正确地反映社会经济现象的统计分析中为了正确地反映社会经济现象的一般水平，有时需要一般水平，有时需要剔除个别的极端数值剔除个别的极端数值。（如评委打分，去掉一个最高分，去掉一个低高（如评委打分，去掉一个最高分，去掉一个低高分）分）17第17页，本讲稿共100页简单算术平均数适用条件简单算术平均数适用条件未分组的统计资料；未分组的统计资料；已知各单位标志值和总体单位数，也可采已知各单位标志值和总体单位数，也可采用简单算术平均数方法计算。用简单算术平均数方法计算。18第18页，本讲稿共100页加权算术平均数加权算术平均数公式公式1 1：19第19页，本讲稿共100页公式公式2 220第20页，本讲稿共100页加权算术平均数适用加权算术平均数适用分组的统计资料，如果已知各组的分组的统计资料，如果已知各组的变量值和次数或频率，则可采用加变量值和次数或频率，则可采用加权算术平均数计算。权算术平均数计算。已知次数用公式已知次数用公式1 1，已知频率用公式已知频率用公式2 2，21第21页，本讲稿共100页练习练习计算方法：计算方法：确定标志值确定标志值 x x，次数，次数f f 或频率或频率 ，写清楚平均指标名称，选择正确的计算写清楚平均指标名称，选择正确的计算公式，利用表格计算出公式中所需的数公式，利用表格计算出公式中所需的数值，代入公式，计算出结果。值，代入公式，计算出结果。22第22页，本讲稿共100页练习1 某企业工人工资情况见下表，要求计算加权平均工资。23第23页，本讲稿共100页练习1（续1）24第24页，本讲稿共100页练习1（续2）25第25页，本讲稿共100页练习2 某企业工人操作机床的情况见下表，计算平均每位工人操作机床数。注意比重转化为小数再计算26第26页，本讲稿共100页注意比重转化为小数再计算练习2（续1）27第27页，本讲稿共100页练习2（续2）28第28页，本讲稿共100页权数及作用权数及作用权数权数：加权算术平均数中的权数，是标志值：加权算术平均数中的权数，是标志值出现的次数（频数）出现的次数（频数）f 或各组次数占总次数或各组次数占总次数的比重（频率）的比重（频率）。权数的权数的作用作用：权衡平均数大小。权衡平均数大小。某一组的次数或频率越大，则该组的标志值某一组的次数或频率越大，则该组的标志值对平均数的影响就越大，反之越小。对平均数的影响就越大，反之越小。29第29页，本讲稿共100页一般来说，一般来说，次数就是权数次数就是权数，但有时次数也不是合理的权数，这，但有时次数也不是合理的权数，这在从相对数或平均数求平均数时，经常遇到。在从相对数或平均数求平均数时，经常遇到。例：例：某市某局所属某市某局所属15个企业产值计划完成情况的个企业产值计划完成情况的资料如下：资料如下：计划完成程计划完成程度（度（%）组中值组中值（%）X企业数企业数计划任务数计划任务数（万元）（万元）f实际完成数实际完成数（万元）（万元）X f901001001101101209510511558210080010095840115合计合计151000105030第30页，本讲稿共100页本例的平均对象是各企业完成产值计划百分比，为计算整个管理局本例的平均对象是各企业完成产值计划百分比，为计算整个管理局产值计划平均完成程度，产值计划平均完成程度，能否用企业数做权数呢？能否用企业数做权数呢？企业数企业数虽是完成产值计划不同程度的次数，但虽是完成产值计划不同程度的次数，但并不是合适的权数。并不是合适的权数。因为企业规模大小不同，产值多少也有差别，正确计算产值计划完因为企业规模大小不同，产值多少也有差别，正确计算产值计划完成百分比，需用计划产值来加权，这样才适合这一指标的性质，即成百分比，需用计划产值来加权，这样才适合这一指标的性质，即从实际产值和计划产值的对比中来确定。从实际产值和计划产值的对比中来确定。平均产值计划完成程度平均产值计划完成程度=（95%100+105%800+115%100）/（100+800+100）=105%31第31页，本讲稿共100页影响加权算术平均数大小的因素影响加权算术平均数大小的因素加权算术平均数的大小受两个因素影响加权算术平均数的大小受两个因素影响 受受单位标志值单位标志值大小的影响。大小的影响。受各标志值受各标志值次数次数的影响，更准确的讲是的影响，更准确的讲是受各组次数占总次数比重即受各组次数占总次数比重即频率频率的影响。的影响。32第32页，本讲稿共100页简单算术与加权算术平均数简单算术与加权算术平均数在在分组分组数列的条件下，当各组次数所占数列的条件下，当各组次数所占比重均相等时，权数就失去了权衡轻重比重均相等时，权数就失去了权衡轻重的作用，这时用加权算术平均数计算的的作用，这时用加权算术平均数计算的结果与用简单算术平均数计算的结果相结果与用简单算术平均数计算的结果相同。同。33第33页，本讲稿共100页算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质各个变量值与算术平均数的离差总和等于零。各个变量值与算术平均数的离差总和等于零。各个变量值与算术平均数的离差平方总和为最各个变量值与算术平均数的离差平方总和为最小值。小值。两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。变量平均数的代数和。两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积。量平均数的乘积。34第34页，本讲稿共100页单选题单选题权数对算术平均数的影响作用，实质上取决于（权数对算术平均数的影响作用，实质上取决于（）。）。A.A.作为权数的各组单位数占总体单位数作为权数的各组单位数占总体单位数 比重的大小比重的大小B.B.各组标志值占总体标志总量比重的大小各组标志值占总体标志总量比重的大小C.C.标志值本身的大小标志值本身的大小D.D.标志值数量的多少标志值数量的多少答案：答案：A35第35页，本讲稿共100页多选题多选题 加权算术平均数的大小受哪些因素的影响（加权算术平均数的大小受哪些因素的影响（）。）。A.A.受各组频率和频数的影响受各组频率和频数的影响 B.B.受各组受各组标志值大小的影响标志值大小的影响C.C.受各组标志值和权数的共同影响受各组标志值和权数的共同影响 D.D.只受只受各组标志值大小的影响各组标志值大小的影响E.E.只受权数的大小的影响只受权数的大小的影响答案：答案：A B C36第36页，本讲稿共100页多选题多选题在什么条件下，加权算术平均数等于简单算术在什么条件下，加权算术平均数等于简单算术平均数（平均数（）。）。A.A.各组次数相等各组次数相等 B.B.各组变量值不等各组变量值不等 C.C.变量数列为组距数列变量数列为组距数列 D.D.各组次数都为各组次数都为1 1 E.E.各组次数占总次数的比重相等各组次数占总次数的比重相等答案:A D E37第37页，本讲稿共100页第三节第三节 调和平均数调和平均数调和平均数：标志值调和平均数：标志值倒数倒数的算术平均的算术平均数的数的倒数倒数，也称为，也称为倒数平均数倒数平均数。38第38页，本讲稿共100页如；如；有一人步行有一人步行2公里地，走第一公里，速度为每小时公里地，走第一公里，速度为每小时10公里，走第二公里，走第二公里，每小时为公里，每小时为20公里，问公里，问平均速度平均速度是多少？是多少？使用算术平均数计算使用算术平均数计算 X=（10+20）/2 =15公里公里/小时小时 我们来看看实际情况是否是这样。我们来看看实际情况是否是这样。这里步行这里步行2公里其用时间（公里其用时间（1/10+1/20）小时，即）小时，即3/20 60分分=9分钟，分钟，这样若按平均这样若按平均15公里公里/小时计算，该人走了（小时计算，该人走了（1/10+1/20）15=225 公里，但实际只走公里，但实际只走2公里，显然，计算上不正确。公里，显然，计算上不正确。如设如设R代表每小时以公里计算平均速度，则：代表每小时以公里计算平均速度，则：R=（1+1）/（1/10+1/20）=13公里公里/小时小时 实际是实际是度量值倒数的算术平均数的倒数度量值倒数的算术平均数的倒数调和平均数调和平均数。39第39页，本讲稿共100页调和平均数使用范围调和平均数使用范围 情形情形1 1：逆指标：逆指标在用逆指标表示时，计算平均水平应当采用调和平均数的在用逆指标表示时，计算平均水平应当采用调和平均数的方法。方法。在社会经济现象中，有许多现象可以从正、反两方面来研在社会经济现象中，有许多现象可以从正、反两方面来研究。例如，劳动生产率、商品流转速度、资金周转速度、究。例如，劳动生产率、商品流转速度、资金周转速度、货币流通速度、机车运行速度等等，都可以用正指标和逆货币流通速度、机车运行速度等等，都可以用正指标和逆指标两种方式来表示。指标两种方式来表示。以以劳动生产率劳动生产率为例，它的为例，它的正指标和逆指标正指标和逆指标是：是：40第40页，本讲稿共100页调和平均数使用范围（续调和平均数使用范围（续1 1）41第41页，本讲稿共100页调和平均数使用范围（续调和平均数使用范围（续2 2）第一个公式表示：单位时间（年、月、周、时）第一个公式表示：单位时间（年、月、周、时）以内所生产的产品数量。它的以内所生产的产品数量。它的数值愈大数值愈大，表明，表明劳动生产率水平愈高劳动生产率水平愈高；数值越小数值越小，表明劳动生表明劳动生产率水平愈低产率水平愈低。故称为劳动生产率的正指标。故称为劳动生产率的正指标。第二个公式表示：生产单位产品所需要的劳动第二个公式表示：生产单位产品所需要的劳动时间。它的时间。它的数值愈大数值愈大，表明，表明劳动生产率水平愈劳动生产率水平愈低；数值愈小低；数值愈小，表明，表明劳动生产率水平愈高劳动生产率水平愈高。即。即它与劳动生产率水平成反比关系，故称为劳动它与劳动生产率水平成反比关系，故称为劳动生产率的逆指标。生产率的逆指标。42第42页，本讲稿共100页调和平均数使用范围（续调和平均数使用范围（续3 3）在用正指标表示时，计算平均水平应当采用在用正指标表示时，计算平均水平应当采用算术平均数的方法。在用逆指标表示时，计算术平均数的方法。在用逆指标表示时，计算平均水平应当采用调和平均数的方法。算平均水平应当采用调和平均数的方法。43第43页，本讲稿共100页调和平均数使用范围（续调和平均数使用范围（续4 4）情形情形2 2：当缺乏当缺乏总体的单位数总体的单位数资料，不资料，不能直接计算平均数，这时就可采用调能直接计算平均数，这时就可采用调和平均数计算。和平均数计算。44第44页，本讲稿共100页调和平均数的两种计算形式调和平均数的两种计算形式简单调和平均数简单调和平均数45第45页，本讲稿共100页简单调和平均数，适用于未分组的资料。简单调和平均数，适用于未分组的资料。现以劳动生产率为例，说明如下；假定有现以劳动生产率为例，说明如下；假定有5个个工人，他们的劳动生产率水平是：工人，他们的劳动生产率水平是：46第46页，本讲稿共100页 在计算这在计算这5个工人劳动生产率的平均水平时，如果根据正指标个工人劳动生产率的平均水平时，如果根据正指标计算，应当采用算术平均数。即：计算，应当采用算术平均数。即：如果根据逆指标计算，若也采用算术平均数，则：如果根据逆指标计算，若也采用算术平均数，则：显然，这是显然，这是不正确的不正确的。因为，如果平均每个工人生产一件产品。因为，如果平均每个工人生产一件产品所需要的时间是所需要的时间是4分钟，则每个小时他们只能生产分钟，则每个小时他们只能生产15件件产品，产品，而不是而不是17.4件产品。按照平均每人每小时生产件产品。按照平均每人每小时生产17.4件产品，件产品，他们每生产一件产品所需要的时间应是他们每生产一件产品所需要的时间应是3.45分，而不是分，而不是4分。分。47第47页，本讲稿共100页根据逆指标的数值计算劳动生产率的平均水平，根据逆指标的数值计算劳动生产率的平均水平，在计算时应该把逆指标颠倒过来，变成正指标，在计算时应该把逆指标颠倒过来，变成正指标，即：即：这样得出的结果，是劳动生产率这样得出的结果，是劳动生产率正指标正指标的平均的平均数。但是，我们的任务是通过数。但是，我们的任务是通过逆指标逆指标来反映劳来反映劳动生产率的平均水平，因而，还要把计算的结动生产率的平均水平，因而，还要把计算的结果再颠倒过来，即：果再颠倒过来，即：48第48页，本讲稿共100页把按逆指标计算劳动生产率平均水平的过程把按逆指标计算劳动生产率平均水平的过程列成一个式子，即：列成一个式子，即：49第49页，本讲稿共100页加权调和平均数加权调和平均数加权调和平均数适用于分组资料，即适用于分配加权调和平均数适用于分组资料，即适用于分配数列的资料：数列的资料：50第50页，本讲稿共100页例如，假定具有下列分配数列：例如，假定具有下列分配数列：51第51页，本讲稿共100页根据根据正指标正指标计算劳动生产率的平均水平时，应计算劳动生产率的平均水平时，应该采用加权算术平均数的方法，即：该采用加权算术平均数的方法，即：52第52页，本讲稿共100页根据根据逆指标逆指标计算劳动生产率的平均水平时，应计算劳动生产率的平均水平时，应该采用加权调和平均数的方法，即先将用逆指该采用加权调和平均数的方法，即先将用逆指标表示的各个劳动生产率变量值颠倒过来，变标表示的各个劳动生产率变量值颠倒过来，变成正指标，再计算其加权算术平均数，然后再成正指标，再计算其加权算术平均数，然后再将它颠倒过来，就可得到所要求的结果。将它颠倒过来，就可得到所要求的结果。53第53页，本讲稿共100页 54第54页，本讲稿共100页例例 某月某企业按工人劳动生产率高低分组某月某企业按工人劳动生产率高低分组的生产班组数和产量资料如下：的生产班组数和产量资料如下：试计算该企业工人平均劳动生产率。试计算该企业工人平均劳动生产率。55第55页，本讲稿共100页解：列计算表如下：解：列计算表如下：根据组距数列求平均数平均数时先计算组中值56第56页，本讲稿共100页代入公式代入公式57第57页，本讲稿共100页注意权数的选择注意权数的选择本题中以本题中以“产量产量”为权数。不能以为权数。不能以“生产班生产班组组”作为权数。因为工人劳动生产率作为权数。因为工人劳动生产率=产产量工人数，计算过程与生产班组无关。量工人数，计算过程与生产班组无关。在实际应用加权平均数（包括算术加权和在实际应用加权平均数（包括算术加权和调和加权）时，需调和加权）时，需注意权数的选择注意权数的选择。58第58页，本讲稿共100页计算平均指标时如何选择使用计算平均指标时如何选择使用加权算术加权算术平均数平均数还是使用还是使用加权调和平均数加权调和平均数计算平均指标时计算平均指标时如果已知母项指标，缺子项指标，且计算子项如果已知母项指标，缺子项指标，且计算子项指标时要先做指标时要先做乘法运算乘法运算，应选择加权算术平，应选择加权算术平均数。均数。如果已知子项指标，缺少母项指标，且计如果已知子项指标，缺少母项指标，且计算母项指标时要先做算母项指标时要先做除法运算除法运算，应选择加权，应选择加权调和平均数。调和平均数。59第59页，本讲稿共100页在经济统计中在经济统计中加权算术平均数加权算术平均数与与加权调和平均数的关系加权调和平均数的关系在统计工作中，调和平均数常常被作为算术平在统计工作中，调和平均数常常被作为算术平均数的变形来使用。均数的变形来使用。经常因为无法直接得到被经常因为无法直接得到被平均标志值的相应平均标志值的相应次数次数的资料而采用调和平均数形式来计算，的资料而采用调和平均数形式来计算，使用调和平均数的计算结果与加权算术平使用调和平均数的计算结果与加权算术平均数的计算结果均数的计算结果相同相同。60第60页，本讲稿共100页m与与xf61第61页，本讲稿共100页应用平均指标必须注意的问题应用平均指标必须注意的问题必须注意现象总体的必须注意现象总体的同质同质性；性；用用组平均数组平均数补充说明总平均数；补充说明总平均数；要注意要注意极端数值极端数值的影响，因为算术平的影响，因为算术平均数受极端数值的影响很明显。均数受极端数值的影响很明显。62第62页，本讲稿共100页 第四节第四节 几何平均数几何平均数 几何平均数的计算方法，根据所掌握的资料几何平均数的计算方法，根据所掌握的资料不同，也有简单和加权两种形式。不同，也有简单和加权两种形式。63第63页，本讲稿共100页简单几何平均数简单几何平均数 n个变量值连乘积的个变量值连乘积的n次方根次方根常用来计算平均发展速度。常用来计算平均发展速度。算术平均数、调和平均数、几何平均数算术平均数、调和平均数、几何平均数是数值平均数。是数值平均数。64第64页，本讲稿共100页在社会经济现象中，有些现象是按照类似于几在社会经济现象中，有些现象是按照类似于几何级数的形式变动的，例如人口的自然变动；何级数的形式变动的，例如人口的自然变动；有些现象是按照一定的比率变动的，例如，在有些现象是按照一定的比率变动的，例如，在复利条件下本利和的变动。复利条件下本利和的变动。计算计算等比级数等比级数的平均数，或平均比率和平均速的平均数，或平均比率和平均速度，不能采用算术平均数或调和平均数的方法，度，不能采用算术平均数或调和平均数的方法，而应采用几何平均数的方法。而应采用几何平均数的方法。例如例如，某机械厂有，某机械厂有4个连续作业的车间：毛坯车个连续作业的车间：毛坯车间（一车间）、粗加工车间（二车间）、精加间（一车间）、粗加工车间（二车间）、精加工车间（二车间）和装配车间（四车间）。本工车间（二车间）和装配车间（四车间）。本月份，各个车间的产品合格率为：一车间月份，各个车间的产品合格率为：一车间95，二车间二车间90，三车间，三车间92，四车间，四车间85。求。求4个个车间的平均产品合格率。车间的平均产品合格率。65第65页，本讲稿共100页各个车间各个车间产品产品合格率的总和并不等于合格率的总和并不等于全厂产品全厂产品的的总合格率总合格率。第二车间的产品合格率是在第一车间合格产品第二车间的产品合格率是在第一车间合格产品的基础上计算的，第三车间的产品合格率是在的基础上计算的，第三车间的产品合格率是在第一、二车间合格产品的基础上计算的，如此第一、二车间合格产品的基础上计算的，如此等等。因而，全厂产品的总合格率应等于各个等等。因而，全厂产品的总合格率应等于各个车间合格率的连乘积。在这种情况下，计算平车间合格率的连乘积。在这种情况下，计算平均数应当采用几何平均数的方法。均数应当采用几何平均数的方法。66第66页，本讲稿共100页加权几何平均数加权几何平均数当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平均数应采用加权的形式。加权几何平均数的公均数应采用加权的形式。加权几何平均数的公式为：式为：67第67页，本讲稿共100页68第68页，本讲稿共100页例如例如，投资银行某笔投资是按复利计算的，投资银行某笔投资是按复利计算的，25年间年利率的分配情况是：有年间年利率的分配情况是：有1年为年为3，有，有4年为年为5，有，有8年为年为8，有，有10年为年为10，有，有2年年为为15。求平均年利率。求平均年利率。计算平均年利率，必须先将各年的利率加上计算平均年利率，必须先将各年的利率加上100，换算为各年的本利率；然后按加权几，换算为各年的本利率；然后按加权几何平均数的方法，计算平均年本利率；再减去何平均数的方法，计算平均年本利率；再减去100，得出平均年利率。现列表见下表。，得出平均年利率。现列表见下表。计算如下：计算如下：这就是说，这就是说，25年间年平均本利率为年间年平均本利率为108.6。因而，年平均利率为因而，年平均利率为8.6。69第69页，本讲稿共100页70第70页，本讲稿共100页几何平均数与算术平均数几何平均数与算术平均数和调和平均数的关系和调和平均数的关系几何平均数与算术平均数和调和平均数之间存几何平均数与算术平均数和调和平均数之间存在着一定的数量关系。这种数量关系表现在：在着一定的数量关系。这种数量关系表现在：根据同一资料所计算的三种平均数，根据同一资料所计算的三种平均数，几何平均几何平均数大于调和平均数而小于算术平均数，数大于调和平均数而小于算术平均数，只有当只有当所有变量值都相同时，三种平均数才相等。用所有变量值都相同时，三种平均数才相等。用数学公式表示，它们之间的关系为：数学公式表示，它们之间的关系为：71第71页，本讲稿共100页第五节第五节 中位数中位数中位数中位数：将总体各单位标志值按大小顺序将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数值。排列后，处于中间位置的那个数值。中位数是处于统计数列中间位置的数值。中位数是处于统计数列中间位置的数值。由于其位置居中，不受由于其位置居中，不受极端数值极端数值大小的影大小的影响，因而有时利用它来代表现象的响，因而有时利用它来代表现象的一般水平一般水平。根据未分组资料和分组资料都可确定中位根据未分组资料和分组资料都可确定中位数。数。72第72页，本讲稿共100页由未分组资料确定中位数由未分组资料确定中位数在资料未经分组时，确定中位数的方法是：首在资料未经分组时，确定中位数的方法是：首先将各总体单位的标志值或变量值，按照先将各总体单位的标志值或变量值，按照大小大小顺序排列顺序排列；然后确定中位数的位置，处于中位；然后确定中位数的位置，处于中位数位置的标志值或变量值就是中位数。数位置的标志值或变量值就是中位数。确定中位数位置的方法是：确定中位数位置的方法是：如果总体单位的项数（如果总体单位的项数（n）是）是奇数奇数，则处于中，则处于中间位置的标志值就是中位数。如果总体单位的间位置的标志值就是中位数。如果总体单位的项数是项数是偶数偶数，则处于中间位置的两个标志值的，则处于中间位置的两个标志值的算术平均数就是中位数。算术平均数就是中位数。73第73页，本讲稿共100页例如，例如，1990年我国饮料制造业按利税总额排序，年我国饮料制造业按利税总额排序，前前10名企业的利税总额资料如下，名企业的利税总额资料如下，74第74页，本讲稿共100页根据上列资料，如果确定这根据上列资料，如果确定这10名企业利税总额名企业利税总额的中位数，则：的中位数，则：就是说，中位数处于第就是说，中位数处于第5个企业和第个企业和第6个企业的个企业的中间位置。第中间位置。第5个企业的利税总额为个企业的利税总额为66百万元，百万元，第第6个企业的利税总额为个企业的利税总额为65百万元，故百万元，故10名企名企业利税总额的中位数为：业利税总额的中位数为：75第75页，本讲稿共100页由分组资料确定中位数由分组资料确定中位数由分组资料确定中位数，中位数的位置等于：由分组资料确定中位数，中位数的位置等于：由组距数列确定中位数，应先计算累计次数，由组距数列确定中位数，应先计算累计次数，并按照上述公式确定中位数所在组的位置，然并按照上述公式确定中位数所在组的位置，然后再按后再按比例推算比例推算中位数的具体数值。中位数的具体数值。例如，例如，1989年某市年某市80个中型工业企业按照工业个中型工业企业按照工业总产值（按总产值（按1980年不变价格计算）的分组资料年不变价格计算）的分组资料如下：如下：76第76页，本讲稿共100页 77第77页，本讲稿共100页由表由表6-26中的资料计算中位数中的资料计算中位数:首先，应确定中位数的位置。根据第首先，应确定中位数的位置。根据第1栏的资料，栏的资料，f80，因，因而，而，f/240，即从两头数起，中位数的位置是第，即从两头数起，中位数的位置是第40个企个企业。业。其次，应确定中位数的所在组。例如，根据第其次，应确定中位数的所在组。例如，根据第2栏的资料，栏的资料，第二组的累计次数为第二组的累计次数为35，距离中位数的位置还差，距离中位数的位置还差5个企业；个企业；第三组的累计次数已达第三组的累计次数已达55，显然中位数在第三组内。，显然中位数在第三组内。第三，按比例推算中位数在组内的具体位置。第三组共有第三，按比例推算中位数在组内的具体位置。第三组共有20个单位，而从第二组到中位数只差个单位，而从第二组到中位数只差5个单位。假定中位数个单位。假定中位数所在组的单位数是均匀分配的，则所在组的单位数是均匀分配的，则5个单位在个单位在20个单位中所个单位中所占的比例为占的比例为5/200.25。这个比例折算为组距单位等于。这个比例折算为组距单位等于2.5（0.25102.5）。因而，中位数的具体数值为）。因而，中位数的具体数值为20十十2.522.5（百万元）。（百万元）。78第78页，本讲稿共100页将上列计算过程用公式表示，则由组距数列将上列计算过程用公式表示，则由组距数列计算中位数的公式为：计算中位数的公式为：下限公式：下限公式：79第79页，本讲稿共100页 80第80页，本讲稿共100页因而，某市因而，某市80个中型工业企业工业总产值的中位个中型工业企业工业总产值的中位数，按下限公式计算为：数，按下限公式计算为：81第81页，本讲稿共100页第六节第六节 众数众数众数：总体中出现次数最多的众数：总体中出现次数最多的变量值变量值。在在单位数不多单位数不多或一个或一个无明显集中趋势无明显集中趋势的的资料中，众数的测定资料中，众数的测定没有意义没有意义。确定众数的方法，根据所学握的资料是确定众数的方法，根据所学握的资料是单项数列还是组距数列而定。单项数列还是组距数列而定。82第82页，本讲稿共100页由单项数列确定众数由单项数列确定众数由单项数列确定众数，比较容易，即出现次数由单项数列确定众数，比较容易，即出现次数最多的标志值就是众数。最多的标志值就是众数。例如，某建筑公司瓦工日砌墙量的分配资料如例如，某建筑公司瓦工日砌墙量的分配资料如下，见表下，见表627：83第83页，本讲稿共100页表中，每日平均砌墙量表中，每日平均砌墙量1M3出现的次数最多，出现的次数最多，在在150名工人中共有名工人中共有80人集中在这一组，故它人集中在这一组，故它就是众数。就是众数。众数可以说明大多数工人在生产上所达到的水众数可以说明大多数工人在生产上所达到的水平，它可以作为编制生产计划和指导工作的参平，它可以作为编制生产计划和指导工作的参考依据。考依据。84第84页，本讲稿共100页由组距数列确定众数由组距数列确定众数由组距数列确定众数，应先确定次数最多的一组为众数由组距数列确定众数，应先确定次数最多的一组为众数组，然后再通过公式进行计算。组，然后再通过公式进行计算。下面我们以某市中型工业企业总产值的组距数列为例，来下面我们以某市中型工业企业总产值的组距数列为例，来说明众数的计算方法。说明众数的计算方法。85第85页，本讲稿共100页由表中资料可以看出：次数最多的企业数是由表中资料可以看出：次数最多的企业数是25，占企业总数的，占企业总数的31.25。因而，这一组的工业。因而，这一组的工业总产值（总产值（10一一20百万元）就是百万元）就是众数组众数组。那么，众数的具体数值是多少呢那么，众数的具体数值是多少呢?这要依众数这要依众数组组相邻两组相邻两组的次数多少而定：的次数多少而定：86第86页，本讲稿共100页87第87页，本讲稿共100页88第88页，本讲稿共100页89第89页，本讲稿共100页中位数、众数与算术平均数的关系中位数、众数与算术平均数的关系中位数、众数与算术平均数之间存在着一定的中位数、众数与算术平均数之间存在着一定的关系。这种关系，决定于总体内部的次数分配关系。这种关系，决定于总体内部的次数分配状况。状况。次数分配的常见形式是次数分配的常见形式是钟形分配钟形分配。它分对称的。它分对称的和非对称的两种类型。和非对称的两种类型。对称的次数分配是以算术平均数为对称轴，两对称的次数分配是以算术平均数为对称轴，两边的次数相等。因而，算术平均数与众数、中边的次数相等。因而，算术平均数与众数、中位数合而为一。即：位数合而为一。即：90第90页，本讲稿共100页在非对称的钟形分配情况下，中位数、众数与在非对称的钟形分配情况下，中位数、众数与算术平均数之间存在着一定的差别。算术平均数之间存在着一定的差别。由于算术平均数、中位数和众数受极端数值的由于算术平均数、中位数和众数受极端数值的影响不同：算术平均数受极端数值的影响最大；影响不同：算术平均数受极端数值的影响最大；中位数只受极端数值的位置影响，不受其数值中位数只受极端数值的位置影响，不受其数值影响；众数不受极端数值的影响。因而，当极影响；众数不受极端数值的影响。因而，当极端数值为极大值时，算术平均数偏向于极大值端数值为极大值时，算术平均数偏向于极大值一方，形成右偏，算术平均数大于众数；一方，形成右偏，算术平均数大于众数；当极端数值为极小值时，算术平均数偏向于极当极端数值为极小值时，算术平均数偏向于极小值一方。形成左偏，算术平均数小于众数。小值一方。形成左偏，算术平均数小于众数。同时，无论是右偏或左偏，中位数总是界于算同时，无论是右偏或左偏，中位数总是界于算术平均数与众数之间。术平均数与众数之间。91第91页，本讲稿共100页众数和中位数是两个众数和中位数是两个位置位置平均数，平均数，在一定条件下用它们反映变量数列在一定条件下用它们反映变量数列的一般水平是非常有效的。的一般水平是非常有效的。92第92页，本讲稿共100页判断题判断题众数是总体中出现最多的次数。（众数是总体中出现最多的次数。（）答案：答案：众数是某一个标志值，不是标志值出众数是某一个标志值，不是标志值出现的次数。现的次数。93第93页，本讲稿共100页判断题判断题 总量指标和平均指标反映了现象总体总量指标和平均指标反映了现象总体的规模和一般水平。但掩盖了总体各单的规模和一般水平。但掩盖了总体各单位的差异情况，因此通过这两个指标不位的差异情况，因此通过这两个指标不能全面认识总体的特征。（能全面认识总体