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系系统模型方法模型方法第1页，本讲稿共55页21 模型的概念模型的概念22 建立模型的方法建立模型的方法23 系统结构模型系统结构模型24 层次分析方法层次分析方法目 录第2页，本讲稿共55页23 系统结构模型系统结构模型第3页，本讲稿共55页23 系统结构模型系统结构模型建立模型的模型技术主要包括结构模型、建立模型的模型技术主要包括结构模型、模糊模型、优化模型、仿真模型、统计模糊模型、优化模型、仿真模型、统计预测模型、决策分析模型等。预测模型、决策分析模型等。结构模型是图形模型中的一种，是图论和矩结构模型是图形模型中的一种，是图论和矩阵相结合的技术，主要用来刻画大规模复杂阵相结合的技术，主要用来刻画大规模复杂系统的结构特征。结构模型基本上还属于定系统的结构特征。结构模型基本上还属于定性模型的范畴，但它是进一步定量分析的基性模型的范畴，但它是进一步定量分析的基础。础。第4页，本讲稿共55页231 结构模型的概念结构模型的概念结构模型是描述系统各单元之间相互关结构模型是描述系统各单元之间相互关系，即系统元素结构的模型。从性质上系，即系统元素结构的模型。从性质上看，结构模型是一个客观模型，表述的看，结构模型是一个客观模型，表述的是静态的、定性的结构。从作用上看，是静态的、定性的结构。从作用上看，它以层次结构的形式表明要素之间的相它以层次结构的形式表明要素之间的相互关系，包括直接关系、间接关系、隶互关系，包括直接关系、间接关系、隶属关系、相对地位等。属关系、相对地位等。第5页，本讲稿共55页233 解析结构模型的求解步骤解析结构模型的求解步骤建建立立结结构构模模型型的的方方法法包包括括只只着着眼眼于于系系统统组组成成要要素素间间有有无无关关联联的的解解释释型型结结构构模模型型ISM方方法法、用用具具体体数数值值表表示示关关联联度度的的模模糊糊结结构构模模型型FSM方方法法、决决策策试试行行和和评评价价试试验验室室DEMATEL方方法法等等，其其中中最最具具代代表表性的是性的是ISM方法。方法。ISM方法的建模步骤如下方法的建模步骤如下:ISM方方法法建建立立模模型型的的流流程程分分为为画画出出有有向向图图、构构造造可可达矩阵、分解可达矩阵、形成系统结构模型等几步。达矩阵、分解可达矩阵、形成系统结构模型等几步。第6页，本讲稿共55页1画出有向图画出有向图ISM特点呈多阶级递进形式，它采用有向图描述系统的特点呈多阶级递进形式，它采用有向图描述系统的结构关系。有向图是由点（又称节点或顶点）与连接点结构关系。有向图是由点（又称节点或顶点）与连接点的枝组成的图形，枝有方向性，用带箭头的线段或弧线的枝组成的图形，枝有方向性，用带箭头的线段或弧线段表示，节点代表系统的要素，枝代表要素之间的因果段表示，节点代表系统的要素，枝代表要素之间的因果关系或层次关系。关系或层次关系。图 节点与枝第7页，本讲稿共55页简单有向图简单有向图第8页，本讲稿共55页生成描述系统的有向图，是在充分了解系统的生成描述系统的有向图，是在充分了解系统的组成要素组成要素Si（i=1，2，n）的基础上，规）的基础上，规定任意两个要素定任意两个要素Si和和SJ之间的关系，规定两项之间的关系，规定两项的关系表示为的关系表示为SiRSJ，其代表，其代表“要素要素Si对对SJ存存在着关系在着关系R”，关系，关系R可以是可以是“给予影响给予影响”、“先决条件先决条件”、“重要重要”等不同的影响程度。等不同的影响程度。第9页，本讲稿共55页2生成邻接矩阵邻接矩阵与有向图一样，都是描述要素之间的直接影响。它在各个要素之间逐一比较，以输出（施加影响的）要素为行、输入（受到影响的）要素为列，当两个要素之间影响的关系成立时取1、不成立时取0，即矩阵中各个元素为然后根据两项关系的有和无，归纳表示成邻接矩阵的形式。第10页，本讲稿共55页3生成可达矩阵生成可达矩阵邻接矩阵A生成后，接下来求其与单位矩阵I的和A+I,再对某一整数n做矩阵AI的幂运算，直到下式成立为止。幂运算是基于布尔代数运算（幂运算是基于布尔代数运算（0、1的逻辑和、逻辑的逻辑和、逻辑积）进行的，即积）进行的，即111，100+1=1，111，10010。第11页，本讲稿共55页矩阵称矩阵称 称为可达矩阵，可达矩称为可达矩阵，可达矩阵用于描述元素间的所有影响。可达矩阵阵用于描述元素间的所有影响。可达矩阵M的的元素元素 miJ为为1代表要素代表要素Si到到SJ之间存在一步或若之间存在一步或若干步可以到达的路径，即可达矩阵完全表征了要干步可以到达的路径，即可达矩阵完全表征了要素间的直接和间接的关系，它在把握系统的结构素间的直接和间接的关系，它在把握系统的结构方面有着非常重要的作用。方面有着非常重要的作用。第12页，本讲稿共55页4各要素的级别分配各要素的级别分配，应用可达矩阵M，对各要素Si求如下集合其中，P(Si)称为可达集合M，即从要素Si出发可以到达的全部要素的集合，这可以通过寻找可达矩阵M的第i行上元素值为1的列所对应的要素求得。而Q(Si)称为先行集合，即可以到达要素Si的全部要素的集合，这可以通过寻找可达矩阵M的第i列上元素值为1的行所对应的要素求得。第13页，本讲稿共55页再根据再根据P(Si)和和Q(Si)（i=1，2，,n），求满足下式的要），求满足下式的要素的集合素的集合L1。L1中的要素所具有的特征是，从其他要素可以到达该要素，中的要素所具有的特征是，从其他要素可以到达该要素，而从该要素则不能到达其他要素，即而从该要素则不能到达其他要素，即L1中的要素是位于最中的要素是位于最高层次（第高层次（第1级）的要素。级）的要素。然后，从原来的可达矩阵然后，从原来的可达矩阵M中删去中删去L1中要素所对应的行中要素所对应的行和列得到矩阵和列得到矩阵M，对，对M进行同样的操作，以确定属于第进行同样的操作，以确定属于第2级级的集合的集合L2的要素。以后重复同样操作，依次求出的要素。以后重复同样操作，依次求出L3、L4，从而将各要素分配到相应的级别上。，从而将各要素分配到相应的级别上。第14页，本讲稿共55页归纳以上内容，可得，归纳以上内容，可得，令令M=A+I，则元素，则元素对于对于 ，矩阵元素，矩阵元素由由n个要素组成的有向图，显然如果个要素组成的有向图，显然如果可达的话，至多只需要可达的话，至多只需要n-1步，否则将是不可步，否则将是不可达的。达的。第15页，本讲稿共55页实际上，该步骤是在分解可达矩阵。在多数实际上，该步骤是在分解可达矩阵。在多数情况下，需要做三项内容的工作。情况下，需要做三项内容的工作。（1）区域划分）区域划分区域划分的作用是识别出系统中在结构上没有关系的子系统。区域划分的作用是识别出系统中在结构上没有关系的子系统。具体分为以下几个步骤。具体分为以下几个步骤。分别求出各要素的可达集（矩阵每行中结点为分别求出各要素的可达集（矩阵每行中结点为1所对所对应的列元素集合）、前因集（矩阵每列中结点为应的列元素集合）、前因集（矩阵每列中结点为1所对所对应的行元素集合）、以及二者的交集；应的行元素集合）、以及二者的交集；找出交集与前因集对应相等的要素；找出交集与前因集对应相等的要素；第16页，本讲稿共55页 根据这些要素的可达集是否不相交划分根据这些要素的可达集是否不相交划分为不同的区域；为不同的区域；若有区域划分，再根据这些要素的可达若有区域划分，再根据这些要素的可达集中各要素的可达集是否相交确定各区域集中各要素的可达集是否相交确定各区域所包含的要素。所包含的要素。第17页，本讲稿共55页（2）级别划分）级别划分级别划分的作用是确定每一区域的层次。级别划分的作用是确定每一区域的层次。具体分为以下几个步骤。具体分为以下几个步骤。可达集为前因集子集的要素确定为最高层；可达集为前因集子集的要素确定为最高层；去掉上一层要素后余下类似进行，依去掉上一层要素后余下类似进行，依次求得第二、三、次求得第二、三、层；层；前因集为可达集子集的要素为最低层。前因集为可达集子集的要素为最低层。第18页，本讲稿共55页（3）连接划分）连接划分连接划分的作用是找出各层中紧密联系可连接划分的作用是找出各层中紧密联系可以合并的要素。方法是找出具有互为可达以合并的要素。方法是找出具有互为可达且互为前因的强连接子集的要素，选择其且互为前因的强连接子集的要素，选择其中之一作为代表、而去掉其余的要素。中之一作为代表、而去掉其余的要素。第19页，本讲稿共55页5生成层次结构图生成层次结构图级别分配结束后，按照区域、级别、连接等要求，级别分配结束后，按照区域、级别、连接等要求，调整可达矩阵的行和列，使得可达矩阵的行和列按调整可达矩阵的行和列，使得可达矩阵的行和列按照级别的顺序排列放置，通过这一操作将化成分块照级别的顺序排列放置，通过这一操作将化成分块三角阵，最后再分块画图。在最上层放第三角阵，最后再分块画图。在最上层放第1级级L1的的要素，它的下面放第要素，它的下面放第2级级L2的要素，依次类推，把各的要素，依次类推，把各要素从上至下按级别顺序放置。另外，由于可达矩阵要素从上至下按级别顺序放置。另外，由于可达矩阵M中各元素的数值是从有向枝所代表的相邻级别要素中各元素的数值是从有向枝所代表的相邻级别要素间关系以及同一级别要素间关系转化来的，因而可以间关系以及同一级别要素间关系转化来的，因而可以用有向图的形式来表示系统的层次结构。用有向图的形式来表示系统的层次结构。第20页，本讲稿共55页下下面面用用一一个个计计算算的的例例子子来来说说明明前前面面介介绍绍的的各各个个步步骤骤。以以7个个要要素素s1，s2，s7组组成成的的系系统统为为对对象象，分分析析系系统统的的结结构构。在在找找出出各各个个要要素素之之间间相相互互影影响响的的形形式式后后，针针对对它它们们之之间间的的相相互互关关系系，假设得到邻接矩阵假设得到邻接矩阵A。第21页，本讲稿共55页 =第22页，本讲稿共55页 =该可达矩阵该可达矩阵M中，存在着邻接矩阵中，存在着邻接矩阵A中取值不为中取值不为1的的元素（记做元素（记做1），这说明这些要素之间没有直接关系，），这说明这些要素之间没有直接关系，而是通过其他要素为中介发生间接关系的。而是通过其他要素为中介发生间接关系的。第23页，本讲稿共55页 下面根据可达矩阵下面根据可达矩阵M，求与各要素对应的可达集合，求与各要素对应的可达集合P(Si)、先行集合、先行集合Q(Si)以及以及共同集合共同集合如表所示。满足级别划分条件的要素只有如表所示。满足级别划分条件的要素只有s5，由此确，由此确定第定第1级级L1s5。然后，从可达矩阵。然后，从可达矩阵M中删去与要中删去与要素素S5对应的第对应的第5行及第行及第5列，得到矩阵列，得到矩阵M.M=第24页，本讲稿共55页同理，求出满足级别划分条件的要素是同理，求出满足级别划分条件的要素是s2和和s6.即第二级即第二级L2=s2,s6.依次类推，可得依次类推，可得L3s3，L4s1,s4,s7。因此，该例中的。因此，该例中的7个要素可分配在个要素可分配在4个级别个级别上。上。11，2，3，5，61122，5，61，2，3，4，6，72，632，3，5，61，3，4，7342，3，4，5，64451，2，3，4，5，6，7562，5，61，2，3，4，6，72，672，3，5，6，777第25页，本讲稿共55页11，2，3，6112，61，2，3，4，6，72，632，3，61，3，4，7342，3，4，6442，61，2，3，4，6，72，672，3，6，77711，31131，3，4，7343，44473，777111444777第26页，本讲稿共55页再将可达矩阵再将可达矩阵M的行和列按照级别顺序排列，得到的行和列按照级别顺序排列，得到第27页，本讲稿共55页参照这一分块三角化的矩阵，用有向枝连接相邻级别间参照这一分块三角化的矩阵，用有向枝连接相邻级别间的要素及同一级别的要素，即可得到系统的解析结构模的要素及同一级别的要素，即可得到系统的解析结构模型，其表达了该系统的层次结构。型，其表达了该系统的层次结构。系统的层次结构图第28页，本讲稿共55页应用中，结构模型往往不是分析问题的最终结应用中，结构模型往往不是分析问题的最终结果，而只是建立定量模型的初步过程。建立和果，而只是建立定量模型的初步过程。建立和明确系统的结构，只是为进一步运用定量的方明确系统的结构，只是为进一步运用定量的方法进行系统评价、系统决策所做的基础工作。法进行系统评价、系统决策所做的基础工作。实际上，解析结构模型的建立过程就是运用层实际上，解析结构模型的建立过程就是运用层次分析方法解决问题的初始步骤。次分析方法解决问题的初始步骤。第29页，本讲稿共55页24 层次分析方法层次分析方法第30页，本讲稿共55页241 原理和特点原理和特点层次分析方法（层次分析方法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是美）是美国运筹学家沙旦（国运筹学家沙旦（T.L,saaty）于）于20世纪世纪70年代提出的一种年代提出的一种定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法。定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法。层次分析方法可以对非定量事件作定量分析，以及对人层次分析方法可以对非定量事件作定量分析，以及对人的主观判断作出定量描述。该方法采用数学方法描述需的主观判断作出定量描述。该方法采用数学方法描述需要解决的问题，适用于多目标、多因素、多准则、难以要解决的问题，适用于多目标、多因素、多准则、难以全部量化的大型复杂系统，对目标（或因素）结构复杂全部量化的大型复杂系统，对目标（或因素）结构复杂并且缺乏必要数据的情况也比较实用。从具体方法步骤并且缺乏必要数据的情况也比较实用。从具体方法步骤上看，层次分析方法是一种加权求和方法，是求解多目上看，层次分析方法是一种加权求和方法，是求解多目标问题最重要的方法之一。标问题最重要的方法之一。第31页，本讲稿共55页层次分析方法作为管理方面的系统分析或系统评价方层次分析方法作为管理方面的系统分析或系统评价方法，首先把分析或评价的对象层次化。它是根据问题法，首先把分析或评价的对象层次化。它是根据问题的性质和评价的要求，将评价的问题分解为不同的组的性质和评价的要求，将评价的问题分解为不同的组成因素或评价指标，并按照这些因素之间的互相关联、成因素或评价指标，并按照这些因素之间的互相关联、相互影响和隶属关系，将因素以不同层次进行聚集组相互影响和隶属关系，将因素以不同层次进行聚集组合，形成一个多层次的、有明确关系的、条理化的分合，形成一个多层次的、有明确关系的、条理化的分析评价结构模型。对于组成因素或者子系统的评价，析评价结构模型。对于组成因素或者子系统的评价，实际上是最底层对最高层次的相对重要性权值的确定，实际上是最底层对最高层次的相对重要性权值的确定，或者是构成相对优劣次序的排队问题。或者是构成相对优劣次序的排队问题。第32页，本讲稿共55页这种方法的特点，一是思路简单明了，将人们的思这种方法的特点，一是思路简单明了，将人们的思维过程数字化、系统化，便于接受并容易计算；二维过程数字化、系统化，便于接受并容易计算；二是所需要的定量数据信息较少，对于问题本质、包是所需要的定量数据信息较少，对于问题本质、包含因素及其内在关系分析得比较清楚；三是可用于含因素及其内在关系分析得比较清楚；三是可用于复杂的无结构特征问题的分析，以及多准则等各种复杂的无结构特征问题的分析，以及多准则等各种类型事物的评价与决策。类型事物的评价与决策。第33页，本讲稿共55页242 分析的步骤分析的步骤用用层层次次分分析析方方法法解解决决复复杂杂问问题题的的基基本本思思想想是是，把把决决策策问问题题按按总总目目标标、子子目目标标、评评价价标标准准直直至至具具体体措措施施的的顺顺序序分分解解为为不不同同层层次次的的结结构构，然然后后利利用用求求判判断断矩矩阵阵特特征征向向量量的的方方法法，求求出出每每层层次次的的各各元元素素对对上上层层次次某某元元素素的的权权重重，最最后后用用加加权权和和的的方方法法递递阶阶归归并并，求求出出各各方方案案总总目目标标的的权权重重。越越重重要要的的因因素素权权重重越越大大，权权重重值值最最大大者者即为最优方案。即为最优方案。第34页，本讲稿共55页根根据据方方法法的的基基本本思思想想，整整个个分分析析过过程程主主要要包包括括两两个个方方面面的的内内容容，一一是是各各层层次次目目标标的的权权重重确确定定，二二是是根根据据最最低低层层次次各各目目标标的的权权重重和和各各方方案案的的属属性性值值对对方方案案做做出出综综合合评评价价。因因此此，用用层层次次分分析析方方法法分分析析问问题题，大大体体经经过过建建立立层层次次结结构构模模型型、构构造造判判断断矩矩阵阵、层层次次单单排排序序及及一一致致性性检检验验、层层次次总总排排序序及及一致性检验四个步骤。一致性检验四个步骤。第35页，本讲稿共55页1建立层次结构模型建立层次结构模型面面对对复复杂杂的的决决策策问问题题，从从利利于于进进行行决决策策分分析析的的角角度度出出发发，运运用用层层次次分分析析方方法法进进行行系系统统分分析析时时，处处理理的的方方法法是是先先对对问问题题所所涉涉及及的的因因素素进进行行分分类类，即即把把系系统统所所包包含含的的因因素素进进行行分分组组，每每一一组组作作为为一一个个层层次次，按按照照最最高高层层、若若干干有有关关的的中中间间层层和和最最低低层层的的形形式式排排列列起起来来，构构成成一一个各因素之间相互联结的层次结构模型。个各因素之间相互联结的层次结构模型。第36页，本讲稿共55页最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的最终目的；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等，图中采用的是准则层；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。图中方框之间的连线表示在不同层次的因素之间存在关系。第37页，本讲稿共55页2构造判断矩阵构造判断矩阵任何系统分析都以一定的信息为基础，层次分析任何系统分析都以一定的信息为基础，层次分析方法的信息基础主要是人们对每一层次各因素的方法的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断。将这些判断用数值表示相对重要性给出的判断。将这些判断用数值表示出来，写成的矩阵形式就是判断矩阵。出来，写成的矩阵形式就是判断矩阵。判断矩阵中各元素表示针对上一层次某因素而言，判断矩阵中各元素表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。比较本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。比较每一个下层相关元素每一个下层相关元素 Bi、BJ之间对于上层某元素之间对于上层某元素Ak的相对重要性，即构成一组多元素的判断矩阵的相对重要性，即构成一组多元素的判断矩阵B。第38页，本讲稿共55页其中，其中，biJ是对于是对于Ak而言，而言，Bi对对BJ的相对重要性的数值的相对重要性的数值表示，表示，biJ是是Bi与与BJ的比值，通常用表所示的的比值，通常用表所示的19比例比例标度法规定量化指标。标度法规定量化指标。矩阵中对应结点两元素对上层元素影响比较相等稍微重要明显重要强烈重要极端重要13（1/3）5（1/5）7（1/7）9（1/9）第39页，本讲稿共55页实际应用时，相对重要性的数值也可以取实际应用时，相对重要性的数值也可以取2、4、6、8，其表示的重要程度分别介于和它相邻，其表示的重要程度分别介于和它相邻的数字表示的重要程度之间。取倒数也具有相应的数字表示的重要程度之间。取倒数也具有相应的类似意义。的类似意义。由上述可得，任何判断矩阵都应满足由上述可得，任何判断矩阵都应满足biJ=1/bJi，且，且bii=1（i，j=1，2，n）。事）。事实上，对于实上，对于n阶判断矩阵，仅需要对阶判断矩阵，仅需要对n(n-1)/2个矩阵元素给出数值。个矩阵元素给出数值。第40页，本讲稿共55页3层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验层层次次单单排排序序是是将将每每层层内内的的元元素素进进行行排排序序。它它是是根根据据上上层层某某元元素素的的判判断断矩矩阵阵，利利用用和和积积法法或或方方根根法法，计计算算出出某某层层次次的的因因素素之之间间对对上上一一层层某某因因素素的的相相对对重重要要性性的的权权值值，然然后后根根据据权权值值排排列列次次序序。它它是是本本层层次次所所有有因因素素相相对对于于上上一一层层次次、乃乃至至最最高高层层次次重重要要性性进行排序的基础。进行排序的基础。第41页，本讲稿共55页层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值和特征向量的问题。即对判断矩阵征值和特征向量的问题。即对判断矩阵B，计算满足，计算满足BW=的最大特征值的最大特征值 和对应的、经过归一化的特征向量和对应的、经过归一化的特征向量W，其中，其中特征向量特征向量W（w1，w2，wn），就是），就是B1，B2，Bn对于上一层次元素对于上一层次元素Ak的单的单排序的权值，排序的权值，W的元素和的元素和Ak的下层各元素的下层各元素是一一对应的。是一一对应的。第42页，本讲稿共55页而最大特征值而最大特征值 是用来检验判断矩阵是用来检验判断矩阵B B的一致性。的一致性。通常，定义一致性指标通常，定义一致性指标 CI=CI=衡量判断矩阵的不一致程度。一般情况下，衡量判断矩阵的不一致程度。一般情况下，CI0CI0，即，即 n.CIn.CI越小，表示一致性越好，即越小，表示一致性越好，即 稍微大于稍微大于n n就就是满意的。是满意的。CICI0 0时，则完全一致，这时判断矩阵时，则完全一致，这时判断矩阵有最大特征值，即满足有最大特征值，即满足n n。实际操作中，判断矩阵。实际操作中，判断矩阵B B是否具有一致性，是将是否具有一致性，是将CICI与平均随机一致性指与平均随机一致性指标标RIRI进行比较。进行比较。第43页，本讲稿共55页平均随机一致性指标平均随机一致性指标一阶、二阶判断矩阵总是具有一致性，所以不必检验。一阶、二阶判断矩阵总是具有一致性，所以不必检验。当判断矩阵的阶数大于当判断矩阵的阶数大于2 2时，记时，记CR=CI/RICR=CI/RI为判断矩阵的随机一致性比例。如果为判断矩阵的随机一致性比例。如果CR0.10CR0.10，就认，就认为矩阵具有满意的一致性，可根据为矩阵具有满意的一致性，可根据w w1 1，w w2 2，w wn n的大的大小将小将B B1 1，B B2 2，B Bn n排序；否则需要调整判断矩阵，重新排序；否则需要调整判断矩阵，重新估计估计b biJiJ，再进行检验。，再进行检验。矩阵阶数123456789RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.45第44页，本讲稿共55页4层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验当针对上一层次当针对上一层次A A中中m m个因素个因素A A1 1，A A2 2，A Am m，逐个对，逐个对B B层层次中的次中的n n个因素个因素B B1 1，B B2 2，B Bn n进行单排序（即进行了进行单排序（即进行了m m次单排序）后，就可以利用这些结果对整个次单排序）后，就可以利用这些结果对整个A A层次得到层次得到B B1 1，B B2 2，B Bn n的一组权值，作为层次各因素按重要性排的一组权值，作为层次各因素按重要性排序的依据，这就是层次总排序。序的依据，这就是层次总排序。层次总排序是逐层间的元素排序，从上到下、顺序逐层次总排序是逐层间的元素排序，从上到下、顺序逐层，计算同层各元素对于最高层的相对重要性权值。层，计算同层各元素对于最高层的相对重要性权值。由于最高层就是一个元素，所以最高层下面的一层的由于最高层就是一个元素，所以最高层下面的一层的单排序就是总排序。单排序就是总排序。第45页，本讲稿共55页例如，例如，C C层元素通过层元素通过B B层元素对层元素对A A元素的重要性可以元素的重要性可以表示成如下矩阵的形式。表示成如下矩阵的形式。第46页，本讲稿共55页对层次总排序也要进行一致性检验。记对Ak进行B层次单排序的一致性指标是CIk，相应的平均随机一致性指标是RIk，则定义总排序的一致性指标和总排序的平均随机一致性指标CI=RI=如上所述，当CR=CI/RI 时，认为层次总排序的一致性是满意的。第47页，本讲稿共55页243 最大特征值及其特征向量的最大特征值及其特征向量的计算计算 层次分析方法中的主要计算问题是如何计算判断矩阵层次分析方法中的主要计算问题是如何计算判断矩阵层次分析方法中的主要计算问题是如何计算判断矩阵层次分析方法中的主要计算问题是如何计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。常采用的计算方的最大特征根及其对应的特征向量。常采用的计算方的最大特征根及其对应的特征向量。常采用的计算方的最大特征根及其对应的特征向量。常采用的计算方法有两种。法有两种。法有两种。法有两种。1 1 1 1和积法和积法和积法和积法 和积法的计算步骤如下。和积法的计算步骤如下。和积法的计算步骤如下。和积法的计算步骤如下。（1 1 1 1）将判断矩阵按列归一化：）将判断矩阵按列归一化：）将判断矩阵按列归一化：）将判断矩阵按列归一化：=（2 2 2 2）每列归一化后的判断矩阵按行相加：）每列归一化后的判断矩阵按行相加：）每列归一化后的判断矩阵按行相加：）每列归一化后的判断矩阵按行相加：i,j=1,2,ni,j=1,2,ni,j=1,2,ni,j=1,2,n第48页，本讲稿共55页（3 3 3 3）对向量）对向量）对向量）对向量 =,=,=,=,T T T T归一化：归一化：归一化：归一化：W W W W ，得到的得到的得到的得到的W=WW=WW=WW=W1 1 1 1,W,W,W,W2 2 2 2,W,W,W,Wn n n n T T T T即为所求特征向量。即为所求特征向量。即为所求特征向量。即为所求特征向量。（4 4 4 4）计算判断矩阵最大特征根：）计算判断矩阵最大特征根：）计算判断矩阵最大特征根：）计算判断矩阵最大特征根：=式中式中式中式中(AW)(AW)(AW)(AW)i i i i表示向量表示向量表示向量表示向量AWAWAWAW的第的第的第的第i i i i个分量。个分量。个分量。个分量。第49页，本讲稿共55页方根法的计算步骤如下。方根法的计算步骤如下。（1 1）将判断矩阵的元素按行相乘：）将判断矩阵的元素按行相乘：u uijij=i,j=1,2,n,i,j=1,2,n,（2 2）所得乘积分别开）所得乘积分别开n n次方：次方：u ui i=（3 3）将方根向量归一化：）将方根向量归一化：W Wi i=即得特征向量即得特征向量w w。（4 4）计算判断矩阵最大特征根：）计算判断矩阵最大特征根：=式中式中(AW)(AW)i i表示向量表示向量AWAW的第的第i i个分量。个分量。2方根法第50页，本讲稿共55页用和积法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的用和积法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。特征向量。（1 1）按和积法的计算步骤（）按和积法的计算步骤（1 1），得到按列归一化后），得到按列归一化后的判断矩阵的判断矩阵0.111 0.130 0.0770.111 0.130 0.0770.556 0.652 0.6920.556 0.652 0.6920.333 0.217 0.2310.333 0.217 0.2313计算举例第51页，本讲稿共55页（2 2）按和积法的计算步骤（）按和积法的计算步骤（2 2），按行相加得），按行相加得 =0.111+0.13+0.077=0.317=0.111+0.13+0.077=0.317 =0.556+0.652+0.692=1.900 =0.556+0.652+0.692=1.900 =0.333+0.217+0.231=0.781 =0.333+0.217+0.231=0.781第52页，本讲稿共55页（3 3）将向量）将向量 =0.317=0.317，0.19000.1900，0.7810.781T T归一归一化得化得 =0.317+1.900+0.781=2.998=0.317+1.900+0.781=2.998W1=0.317/2.998=0.106W1=0.317/2.998=0.106W2=1.900/2.998=0.634W2=1.900/2.998=0.634W3=0.781/2.998=0.261W3=0.781/2.998=0.261则所求特征向量为则所求特征向量为W=0.106W=0.106，0.6340.634，0.2610.261T T第53页，本讲稿共55页（4 4）计算判断矩阵的最大特征根）计算判断矩阵的最大特征根 ,由由 1 1/5 1/3 0.1061 1/5 1/3 0.106 AW=5 1 3 0.634 AW=5 1 3 0.634 3 1/3 1 0.261 3 1/3 1 0.261则则 (AW)(AW)1 1=10.106+1/50.634+1/30.261=0.320=10.106+1/50.634+1/30.261=0.320(AW)(AW)2 2=50.106+10.634+30.261=1.941=50.106+10.634+30.261=1.941(AW)(AW)3 3=30.106+1/30.634+10.261=0.785=30.106+1/30.634+10.261=0.785所以，所以，=+=+=3.036=3.036第54页，本讲稿共55页第55页，本讲稿共55页