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材料力学能量法第1页，本讲稿共69页能量原理能量原理功能原理功能原理用途：用途：计算结构的变形计算结构的变形求解超静定结构求解超静定结构数值计算数值计算计算力学计算力学固体力学中利用固体力学中利用功功与与能能之间的关系建立的一些定理之间的关系建立的一些定理第十章第十章 能量法能量法10.1 概述概述能量法能量法 利用利用能量原理能量原理求解可变形固体的位移、变形、内力求解可变形固体的位移、变形、内力或外力的计算方法。或外力的计算方法。第2页，本讲稿共69页对变形固体：对变形固体：外力功外力功即即：弹性范围内应变能可逆弹性范围内应变能可逆10.1 概述概述杆件应变能杆件应变能不计动能和其它能量不计动能和其它能量静载静载：能量原理能量原理第3页，本讲稿共69页一、线弹性问题的应变能一、线弹性问题的应变能 即：即：10.2 弹性应弹性应变能的计算变能的计算第十章第十章 能量法能量法变形能是外力或位移的二次函数变形能是外力或位移的二次函数 线弹性体的应变能等于每一外力线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和与其相应位移乘积的二分之一的总和第4页，本讲稿共69页（一）、轴向拉伸或压（一）、轴向拉伸或压缩缩1 1、应变能、应变能 （1）轴力沿轴线不变轴力沿轴线不变 二、杆件应变能的计算二、杆件应变能的计算 10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第5页，本讲稿共69页 （2）轴力沿轴线变化轴力沿轴线变化2、比能、比能 10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第6页，本讲稿共69页（二）、扭转（二）、扭转1 1、应变能、应变能（1）扭矩沿轴线不变扭矩沿轴线不变（2）扭矩沿轴线变化扭矩沿轴线变化 10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第7页，本讲稿共69页2、纯剪切应力状态下的比能、纯剪切应力状态下的比能 10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第8页，本讲稿共69页（三）、弯曲（三）、弯曲 （1）纯弯曲纯弯曲 10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第9页，本讲稿共69页（2）横力弯曲横力弯曲微段微段dx整个梁整个梁10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第10页，本讲稿共69页（四）、组合变形下的应变能（四）、组合变形下的应变能 10.2 弹性应变能的计算弹性应变能的计算第11页，本讲稿共69页 因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即Ve e=W，但必须注意，但必须注意F-D D以及以及s s-e e 的非线性关系，不能再用的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。线弹性体的公式计算外力功。(2)非线性弹性体非线性弹性体(3-1)应变能为应变能为（F-D D 曲线和曲线和D D轴之间的面积）轴之间的面积）应变能密度为应变能密度为（s s-e e 曲线和曲线和e e 轴之间的面积）轴之间的面积）(3-2)1.轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩第12页，本讲稿共69页应变能密度应变能密度 式中，式中，Me为扭转力偶矩，为扭转力偶矩，j j为扭转角，为扭转角，t t为扭转切应力，为扭转切应力，g g 为切应变。为切应变。2.扭转扭转应变能应变能第13页，本讲稿共69页式中，式中，Me为外力偶矩，为外力偶矩，为弯曲转角，为弯曲转角，s s为正应力，为正应力，e e为线为线应变。应变。应变能密度应变能密度 应变能和应变能密度之间的关系为应变能和应变能密度之间的关系为式中，式中，V 为体积。为体积。3.梁梁应变能应变能第14页，本讲稿共69页 原为水平位置的杆系如图原为水平位置的杆系如图a所示，试计算在荷载所示，试计算在荷载F1作用下杆系的应变能。两杆的材料均线弹性弹性模量作用下杆系的应变能。两杆的材料均线弹性弹性模量均为均为E,横截面面积均为横截面面积均为A。例例 题题 3-1第15页，本讲稿共69页 (1)将将(1)式代入上式得式代入上式得 (2)首先分析力首先分析力F 和位移和位移D D之间的关系，求出之间的关系，求出F=f(D D)的的表达式，然后利用表达式，然后利用 求求Ve e。设两杆的轴力均。设两杆的轴力均为为FN，两杆的伸长量和，两杆的伸长量和A点的位移分别为点的位移分别为例例 题题 3-1解解:第16页，本讲稿共69页由结点由结点A的平衡方程，得的平衡方程，得由于由于a a 为小角度，为小角度，(3)(4)所以所以(5)将将(4)式代入式代入(3)式，得式，得例例 题题 3-1第17页，本讲稿共69页或写成或写成(7)F 和和D D的关系如图的关系如图b所示。所示。将将(5)式代入式代入(2)式，得式，得(6)杆的应变能为杆的应变能为例例 题题 3-1第18页，本讲稿共69页 (1)由于力由于力F 引起的变形引起的变形 l，对，对FN产生影响，形成产生影响，形成F 和和D D的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系的非线性关系，而应力和应变仍为线性关系几何几何非线性非线性。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非。当材料为非线性弹性体时，即应力与应变为非线性时线性时 物理非线性物理非线性。例例 题题 3-1 (2)几何非线性时，不能用几何非线性时，不能用 求应变能，求应变能，而只能用而只能用 求应变能。求应变能。第19页，本讲稿共69页.余能余能 图图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其为非线性体弹性体的受拉杆，其F-D D和和s s-e e关系关系如图如图b、c 所示。所示。(1)余功的定义为余功的定义为(3-6)第20页，本讲稿共69页其大小为曲面其大小为曲面OF1a的面积如图的面积如图d所示。所示。Wc 和外力功和外力功W 具具有相同的量纲，且有相同的量纲，且Wc 为矩形为矩形OF1aD1 的面积与曲面的面积与曲面OaD1 的的面积（面积（W）之差（图）之差（图d）,故称故称Wc 为余功。为余功。Wc只有几何图只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcaWD D1D Do(d)第21页，本讲稿共69页 余能密度为余能密度为(3-8)VcVe eF1 FD D D D1 a(e)o(3)线弹性体线弹性体(图图e)Ve e 和和 Vc 数值相等数值相等仿照仿照Ve e=W，余能为，余能为(3-7)(2)余能余能(3-9)余能为余能为第22页，本讲稿共69页 图图a中两杆的长度均为中两杆的长度均为l，横截面面积均为，横截面面积均为A。材。材料在单轴拉伸时的料在单轴拉伸时的 s s e e 关系如图关系如图b 所示。求结构的所示。求结构的余能。余能。例例 题题 3-2第23页，本讲稿共69页由结点由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为的平衡方程，得二杆的轴力为应力为应力为解解:该题为物理非线性问题，需用该题为物理非线性问题，需用 求求 Vc。其中。其中 。例例 题题 3-2第24页，本讲稿共69页余能密度为余能密度为结构的余能为结构的余能为由由b图所示的单轴拉伸时的图所示的单轴拉伸时的s s e e的关系可得的关系可得例例 题题 3-2第25页，本讲稿共69页例例 1 求图示简支梁的变形能，并求求图示简支梁的变形能，并求yC 解：解：1.求支反力求支反力 2.列弯矩方程列弯矩方程 AC段：段：CB段：段：第26页，本讲稿共69页例例 1 求图示简支梁的变形能，并求求图示简支梁的变形能，并求fC 解：解：1.求支反力求支反力 2.列弯矩方程列弯矩方程 AC段：段：CB段：段：3.求梁的变形能求梁的变形能 4.求求fC第27页，本讲稿共69页一、功的互等定理一、功的互等定理 10.3 互等定理互等定理以图示梁为例证明如下：以图示梁为例证明如下：第十章第十章 能量法能量法第28页，本讲稿共69页1.先在先在1点作用点作用F1 再在再在2点作用点作用F2 外力功：外力功：外力功：外力功：变形能：变形能：10.3 互等定理互等定理第29页，本讲稿共69页1.先在先在1点作用点作用F1 10.3 互等定理互等定理2.先在先在2点作用点作用F2 再在再在1点作用点作用F1 外力功：外力功：外力功：外力功：变形能：变形能：第30页，本讲稿共69页1.先在先在1点作用点作用F1 10.3 互等定理互等定理2.先在先在2点作用点作用F2 变形能变形能只决定于只决定于力与位移的最终值，力与位移的最终值，与与加载次序加载次序无关无关 即：即：功的互等定理功的互等定理第31页，本讲稿共69页二、位移互等定理二、位移互等定理 由由功的互等定理功的互等定理 位移互等定理位移互等定理注意：注意：1.上述互等定理对于所有的上述互等定理对于所有的线性结构线性结构都适用都适用2.力和位移应理解为力和位移应理解为广义力广义力和和广义位移广义位移10.3 互等定理互等定理 当当F1=F2=F时时 （力与位移成线性关系的结构）（力与位移成线性关系的结构）第32页，本讲稿共69页例例 3 试求图示梁的试求图示梁的跨中挠度跨中挠度fC 解：解：1.当当Me作用时作用时设想在设想在C点作用点作用F 2.由功的互等定理由功的互等定理3.查表查表讨论：若应用位移互等定理任何求解？讨论：若应用位移互等定理任何求解？第33页，本讲稿共69页第十章第十章 能量法能量法10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理已知：已知：弹性体弹性体受一组相互独立的受一组相互独立的广义力广义力F1、F2、Fi、作用作用 求：求：任一广义力任一广义力Fi的作用点沿的作用点沿Fi方向的方向的广义位移广义位移 i ，例如：例如：第34页，本讲稿共69页一、推导一、推导 给：给：总变形能：总变形能：10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理有：有：第35页，本讲稿共69页一、推导一、推导 10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理改变加载次序改变加载次序 总变形能：总变形能：先加先加dFi：再加再加F1,F2,Fi,：第36页，本讲稿共69页一、推导一、推导 10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理由由 卡氏定理：卡氏定理：说明：说明：1.卡氏定理适用于卡氏定理适用于线弹性结构线弹性结构；2.Fi为广义为广义集中集中力，力，I为为广义位移。广义位移。得到得到 第37页，本讲稿共69页二、应用二、应用 1.梁的弯曲梁的弯曲 10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理第38页，本讲稿共69页 2.桁架桁架 10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理第39页，本讲稿共69页 3.求没有集中力作用的点的位移求没有集中力作用的点的位移 在该点沿要求位移的方向，作用一个在该点沿要求位移的方向，作用一个假想的力假想的力F0 0(附加力附加力)，计算出在计算出在载荷载荷和和附加力附加力共同作用共同作用时的变形能，时的变形能，在求得在求得U对对F0 0的偏的偏10.4 卡氏第二定理卡氏第二定理导数后，再令导数后，再令F0 0=0=0，即，即 0 0广义位移广义位移 F0 0广义力广义力第40页，本讲稿共69页例例4 图示刚架的图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，为常量，不计轴力和剪力影响，解：解：1.求求 B(1)列弯矩方程，并求导列弯矩方程，并求导 DC段：段：求求 B、D。CB段：段：BA段：段：(2)求求 B第41页，本讲稿共69页例例4 图示示刚架的架的EI为常量，不常量，不计轴力和剪力影响，力和剪力影响，解：解：2.求求 D(1)加附加力加附加力 DC：求求 B、D。CB：BA：(3)求求 D(2)列弯矩方程列弯矩方程第42页，本讲稿共69页第十章第十章 能量法能量法10.6 单位载荷法单位载荷法已知：已知：弹性体弹性体受一组相互独立的受一组相互独立的广义力广义力F1、F2、Fi、作用作用 求：求：任一点任一点C的的广义位移广义位移，第43页，本讲稿共69页一、定理推导一、定理推导图图(a)：图图(b)：10.6 单位载荷法单位载荷法图图(c)：图图(d)：第44页，本讲稿共69页广义位移广义位移 实际载荷实际载荷引起的弯矩引起的弯矩 单位广义力单位广义力引起的弯矩引起的弯矩 莫尔定理：莫尔定理：这种计算位移的方法称为这种计算位移的方法称为单位载荷法单位载荷法 10.6 单位载荷法单位载荷法式中式中 莫尔积分莫尔积分 第45页，本讲稿共69页1.扭转扭转 2.桁架桁架 10.6 单位载荷法单位载荷法二、莫尔定理的其它情形二、莫尔定理的其它情形第46页，本讲稿共69页4.组合变形情况组合变形情况 10.6 单位载荷法单位载荷法3.求相对位移求相对位移第47页，本讲稿共69页卡氏定理卡氏定理：莫尔定理莫尔定理：10.6 单位载荷法单位载荷法三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系三、莫尔定理与卡氏第二定理的关系 以弯曲为例说明两者之间的关系以弯曲为例说明两者之间的关系若若 i=，则有则有：第48页，本讲稿共69页解：解：1.求求yC(1).).列弯矩方程列弯矩方程(2).).求求yC 由由对称性对称性例例5 求图示梁的求图示梁的yC和和 B。第49页，本讲稿共69页例例5 求求图示梁的示梁的yC和和 B。解：解：1.求求yC(1).).列弯矩方程列弯矩方程(2).).求求 B 2.求求 B 第50页，本讲稿共69页上述积分可以简化上述积分可以简化第十章第十章 能量法能量法10.7 图乘法（维利沙金法）图乘法（维利沙金法）必为必为直线直线或或折线折线 对于对于等直杆等直杆 在在单位力单位力或或单位力偶单位力偶的作用下，的作用下，第51页，本讲稿共69页10.7 图乘法图乘法一一、为为直线情况直线情况 第52页，本讲稿共69页10.7 图乘法图乘法一一、为为直线情况直线情况 M图的面积图的面积 M图的形心坐标图的形心坐标 图中与图中与M图形心所对应的值图形心所对应的值 式中式中 图乘法图乘法上述计算莫尔积分的方法上述计算莫尔积分的方法第53页，本讲稿共69页 1.以折线的转折点为界，将积分分成若干段以折线的转折点为界，将积分分成若干段 2.逐段使用逐段使用图乘法图乘法 3.求和求和 10.7 图乘法图乘法二二、为为折线情况折线情况 第54页，本讲稿共69页10.7 图乘法图乘法三、积分值的符号三、积分值的符号 M图的形心图的形心C与与 在在同同侧，积分值为侧，积分值为+异异侧，积分值为侧，积分值为-第55页，本讲稿共69页四、几种常用图形的面积及其形心位置四、几种常用图形的面积及其形心位置 1.三角形三角形 10.7 图乘法图乘法第56页，本讲稿共69页10.7 图乘法图乘法四、几种常用图形的面积及其形心位置四、几种常用图形的面积及其形心位置 2.二次抛物线二次抛物线 第57页，本讲稿共69页10.7 图乘法图乘法3.n次抛物线次抛物线四、几种常用图形的面积及其形心位置四、几种常用图形的面积及其形心位置 第58页，本讲稿共69页五、五、M图图由几种常用图形组合情况由几种常用图形组合情况 1.将将M图图分解分解为几种常用图形的组合为几种常用图形的组合 2.分别应用分别应用图乘法图乘法 3.叠加叠加 10.7 图乘法图乘法第59页，本讲稿共69页六、六、一般情况一般情况 若一个为若一个为直线直线或或折线，折线，可使用可使用图乘法图乘法。10.7 图乘法图乘法第60页，本讲稿共69页例例6 用图乘法求图示梁的用图乘法求图示梁的yC 分为分为AC和和CB两段使用图乘法两段使用图乘法 解：解：1.作作M图图 2.作作 图图3.求解求解第61页，本讲稿共69页例例7 图乘法求图示外伸梁图乘法求图示外伸梁A端转角端转角 A 解：解：1.叠加法作叠加法作M图图2.作作 图图3.求解求解 A 第62页，本讲稿共69页1.确定超静定次数，选定静定基确定超静定次数，选定静定基2.作出相当系统作出相当系统3.写出相当系统的应变能写出相当系统的应变能4.根据多余约束处的根据多余约束处的位移条件位移条件，5.联立求解补充方程，得到全部多余约束力联立求解补充方程，得到全部多余约束力6.按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移 应用卡氏定理列出补充方程应用卡氏定理列出补充方程10.9 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法第63页，本讲稿共69页例例 8 图示超静定梁的图示超静定梁的EI为常量，试求多余约束力。为常量，试求多余约束力。解：解：一次超静定一次超静定1.取取静定基静定基 2.作作相当系统相当系统 4.求解求解变形协调方程变形协调方程3.列变形协调方程列变形协调方程第64页，本讲稿共69页例例 8 图示超静定梁的示超静定梁的EI为常量，常量，试求多余求多余约束力。束力。解：解：一次超静定一次超静定5.讨论讨论 利用利用求得求得第65页，本讲稿共69页力法力法以力作为基本未知量求解超静定问题的方法以力作为基本未知量求解超静定问题的方法 11静定基的静定基的B点在多余约束力点在多余约束力FB方方力法正则方程力法正则方程 10.10 力法力法 正则方程正则方程 向向作用单位力时所引起的作用单位力时所引起的B点沿点沿 FB方方向的位移向的位移一、一次超静定问题一、一次超静定问题 11和和 q可以通过可以通过查表查表或用或用莫尔积分莫尔积分求得求得第66页，本讲稿共69页二、二次超静定问题二、二次超静定问题 即：即：其中其中位移互等定理位移互等定理第67页，本讲稿共69页三、三、n次超静定问题次超静定问题 ij在在j点作用的点作用的单位力单位力引起的引起的i点在力点在力Fi方向上的位移方向上的位移1.ij=ji对称矩阵对称矩阵 2.ii03.ij和和 q用用莫尔定理莫尔定理或或卡氏第二定理卡氏第二定理等计算等计算 系数矩阵的特点：系数矩阵的特点：第68页，本讲稿共69页本本 章章 重重 点点 1.用用卡氏第二定理卡氏第二定理和和莫尔定理莫尔定理(图乘法图乘法)求变形；求变形；2.应应用能量法求超静定问题用能量法求超静定问题。第69页，本讲稿共69页