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一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集1ppt课件数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2ppt课件2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,3ppt课件称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.4ppt课件3.3.邻域邻域:5ppt课件4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.6ppt课件5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:7ppt课件二、函数概念二、函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)8ppt课件因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域9ppt课件自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.10ppt课件定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数11ppt课件 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo12ppt课件(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线13ppt课件在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.14ppt课件例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压15ppt课件16ppt课件例例2 2解解故故17ppt课件三、函数的特性三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:18ppt课件2函数的单调性函数的单调性:xyo19ppt课件xyo20ppt课件3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x21ppt课件奇函数奇函数yxox-x22ppt课件4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.23ppt课件四、反函数四、反函数DWDW24ppt课件 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.25ppt课件例例3 3解解单值函数单值函数,有界函数有界函数,偶函数偶函数,周期函数周期函数(无最小正周期无最小正周期)不是单调函数不是单调函数,26ppt课件五、小结五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数27ppt课件思考题思考题28ppt课件思考题解答思考题解答设设则则故故29ppt课件练练 习习 题题30ppt课件31ppt课件练习题答案练习题答案32ppt课件一、基本初等函数一、基本初等函数1.幂函数幂函数33ppt课件2.指数函数指数函数34ppt课件3.对数函数对数函数35ppt课件4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数36ppt课件余弦函数余弦函数37ppt课件正切函数正切函数38ppt课件余切函数余切函数39ppt课件正割函数正割函数40ppt课件余割函数余割函数41ppt课件5.反三角函数反三角函数42ppt课件43ppt课件44ppt课件 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.45ppt课件二、复合函数二、复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数定义定义:46ppt课件注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.47ppt课件四、小结四、小结函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)48ppt课件思考题思考题49ppt课件思考题解答思考题解答不能不能50ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题51ppt课件52ppt课件练习题答案练习题答案53ppt课件54ppt课件一、基本初等函数一、基本初等函数1.幂函数幂函数55ppt课件2.指数函数指数函数56ppt课件3.对数函数对数函数57ppt课件4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数58ppt课件余弦函数余弦函数59ppt课件正切函数正切函数60ppt课件余切函数余切函数61ppt课件正割函数正割函数62ppt课件余割函数余割函数63ppt课件5.反三角函数反三角函数64ppt课件65ppt课件66ppt课件 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.67ppt课件二、复合函数二、复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数定义定义:68ppt课件注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.69ppt课件四、小结四、小结函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)70ppt课件思考题思考题71ppt课件思考题解答思考题解答不能不能72ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题73ppt课件74ppt课件练习题答案练习题答案75ppt课件76ppt课件播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限77ppt课件通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.78ppt课件79ppt课件2.另两种情形另两种情形:80ppt课件3.几何解释几何解释:81ppt课件例例1证证82ppt课件二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限83ppt课件84ppt课件2.几何解释几何解释:注意：注意：85ppt课件例例2证证例例3证证86ppt课件例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.87ppt课件例例5证证88ppt课件3.单侧极限单侧极限:例如例如,89ppt课件左极限左极限右极限右极限90ppt课件左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证91ppt课件三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性92ppt课件推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性)93ppt课件定理定理(保号性保号性)推论推论94ppt课件例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.95ppt课件例例7证证96ppt课件二者不相等二者不相等,97ppt课件四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)98ppt课件过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 99ppt课件思考题思考题100ppt课件思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.101ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题102ppt课件103ppt课件练习题答案练习题答案104ppt课件一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.114ppt课件例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.115ppt课件2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性116ppt课件意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证117ppt课件注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.118ppt课件定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证119ppt课件推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小120ppt课件二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.121ppt课件特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.122ppt课件不是无穷大不是无穷大无界，无界，123ppt课件证证124ppt课件三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证125ppt课件意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.126ppt课件四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.127ppt课件思考题思考题128ppt课件思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有129ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题130ppt课件131ppt课件练习题答案练习题答案132ppt课件一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得133ppt课件134ppt课件推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，135ppt课件二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1解解136ppt课件小结小结:137ppt课件解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2138ppt课件解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)139ppt课件例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)140ppt课件小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.141ppt课件例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.142ppt课件例例6 6解解143ppt课件例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,144ppt课件三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.145ppt课件思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？146ppt课件思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误147ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题148ppt课件二、求下列各极限二、求下列各极限:149ppt课件150ppt课件练习题答案练习题答案151ppt课件一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证152ppt课件上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限153ppt课件注意注意:准则准则 和和准则准则 称为称为夹逼准则夹逼准则.154ppt课件例例1 1解解由夹逼定理得由夹逼定理得155ppt课件2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:156ppt课件例例2 2证证(舍去舍去)157ppt课件二、两个重要极限二、两个重要极限(1)158ppt课件159ppt课件例例3 3解解160ppt课件(2)定义定义161ppt课件类似地类似地,162ppt课件163ppt课件164ppt课件例例4 4解解例例5 5解解165ppt课件三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.166ppt课件思考题思考题求极限求极限167ppt课件思考题解答思考题解答168ppt课件一、填空题一、填空题:练练 习习 题题169ppt课件二、求下列各极限二、求下列各极限:170ppt课件171ppt课件练习题答案练习题答案172ppt课件一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限173ppt课件定义定义:174ppt课件例例1 1解解例例2 2解解175ppt课件常用等价无穷小常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例如,176ppt课件二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证177ppt课件例例3 3解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意178ppt课件例例4 4解解解解错错179ppt课件例例5 5解解180ppt课件三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.181ppt课件思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？182ppt课件思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时183ppt课件练练 习习 题题184ppt课件185ppt课件186ppt课件练习题答案练习题答案187ppt课件188ppt课件一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量189ppt课件2.连续的定义连续的定义190ppt课件191ppt课件例例1 1证证由定义由定义2知知192ppt课件3.单侧连续单侧连续定理定理193ppt课件例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,194ppt课件4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,195ppt课件例例3 3证证196ppt课件二、函数的间断点二、函数的间断点197ppt课件1.跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解198ppt课件2.可去间断点可去间断点例例5 5199ppt课件解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.200ppt课件如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点201ppt课件3.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解202ppt课件例例7 7解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.203ppt课件狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.204ppt课件在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断,但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:205ppt课件例例8 8解解206ppt课件三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)207ppt课件可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx208ppt课件思考题思考题209ppt课件思考题解答思考题解答且且210ppt课件但反之不成立但反之不成立.例例但但211ppt课件练练 习习 题题212ppt课件213ppt课件练习题答案练习题答案214ppt课件215ppt课件一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,216ppt课件二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.217ppt课件定理定理3 3证证218ppt课件将上两步合起来将上两步合起来:219ppt课件意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解220ppt课件例例2 2解解同理可得同理可得221ppt课件定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,222ppt课件三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.223ppt课件定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.224ppt课件1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.225ppt课件例例3 3例例4 4解解解解226ppt课件四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.227ppt课件思考题思考题228ppt课件思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点229ppt课件练练 习习 题题230ppt课件231ppt课件232ppt课件练习题答案练习题答案233ppt课件一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定义定义:例如例如,234ppt课件定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.235ppt课件定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证236ppt课件二、介值定理二、介值定理定义定义:237ppt课件几何解释几何解释:238ppt课件几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,239ppt课件推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例1 1证证由零点定理由零点定理,240ppt课件例例2 2证证由零点定理由零点定理,241ppt课件三、小结三、小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;242ppt课件思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？243ppt课件思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数244ppt课件练练 习习 题题245ppt课件（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念一、主要内容一、主要内容第一章习题课第一章习题课246ppt课件函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数247ppt课件1 1、函数的定义、函数的定义248ppt课件函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)249ppt课件(1)单值性与多值性单值性与多值性:2 2、函数的性质、函数的性质250ppt课件(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo251ppt课件(3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。252ppt课件(4)函数的有界性函数的有界性:253ppt课件 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通常（通常说周期函数的周期是指其最小正说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(5)函数的周期性函数的周期性:oyx254ppt课件3 3、反函数、反函数4 4、隐函数、隐函数255ppt课件5、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系256ppt课件6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数257ppt课件7 7、复合函数、复合函数8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.258ppt课件9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式259ppt课件260ppt课件左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大261ppt课件1 1、极限的定义、极限的定义262ppt课件263ppt课件左极限左极限右极限右极限264ppt课件无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大265ppt课件定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质266ppt课件定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质267ppt课件4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.268ppt课件5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)269ppt课件(1)(2)6 6、两个重要极限、两个重要极限270ppt课件定义定义:7 7、无穷小的比较、无穷小的比较271ppt课件定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的唯一性272ppt课件左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类273ppt课件1 1、连续的定义、连续的定义274ppt课件定理定理3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续275ppt课件4 4、间断点的定义、间断点的定义276ppt课件(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类277ppt课件跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx278ppt课件0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点279ppt课件6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理280ppt课件定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 28 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3281ppt课件定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.282ppt课件定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.283ppt课件推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.284ppt课件二、典型例题二、典型例题例例1 1解解285ppt课件例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得286ppt课件解联立方程组解联立方程组287ppt课件例例3 3解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则288ppt课件例例4 4解解 解法讨论解法讨论289ppt课件290ppt课件例例5 5解解291ppt课件例例6 6解解292ppt课件293ppt课件例例7 7证明证明讨论讨论:294ppt课件由零点定理知由零点定理知,综上综上,295ppt课件测测 验验 题题296ppt课件297ppt课件298ppt课件299ppt课件300ppt课件301ppt课件302ppt课件测验题答案测验题答案303ppt课件304ppt课件