2019高中数学 第3章 统计案例 3.2 回归分析教学案 苏教版选修2-3.doc

13.23.2 回归分析回归分析1线性回归模型 (1)随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间 的关系表示为yabx，其中abx是确定性函数，称为随机误差 (2)随机误差产生的主要原因 所用的确定性函数不恰当引起的误差； 忽略了某些因素的影响； 存在观测误差 (3)线性回归模型中a，b值的求法 yabx称为线性回归模型 a，b的估计值为a ，b ，则(4)回归直线和线性回归方程 直线y_a_b_x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a 称为回 归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值 2样本相关系数r及其性质(1)r(2)r具有以下性质 |r|1 |r|越接近于 1，x，y的线性相关程度越强 |r|越接近于 0，x，y的线性相关程度越弱 3对相关系数r进行显著性检验的基本步骤 (1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系 (2)如果以 95%的把握作出判断，那么可以根据 10.950.05 与n2 在教材附录 2 中查出一个r的临界值r0.05(其中 10.950.05 称为检验水平) (3)计算样本相关系数r (4)作出统计推断：若|r|>r0.05，则否定H0，表明有 95%的把握认为x与y之间具有线 性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分 理由认为y与x之间有线性相关关系21在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单 位时，函数值y的改变量 2通过回归方程y a b x可求出相应变量的估计值 3判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时 很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性 相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断例 1 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由数据可知，y对x呈现线性相关关系 (1)求线性回归方程； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 思路点拨 代入数值求线性回归方程，然后把x10 代入，估计维修费用 精解详析 (1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x2i49162536 经计算得：x4，y5，5,i1x90，5,i1xiyi112.3，2ia yb ·x0.08， 所以线性回归方程为y a b x0.081.23x. (2)当x10 时，y 0.081.23×1012.38(万元)， 即若估计使用年限为 10 年时，维修费用为 12.38 万元 一点通 线性回归分析的步骤： (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (2)计算x，y，n,i1x，n,i1y，n,i1xiyi；2i2i3(3)代入公式求出y b xa 中参数b ，a 的值； (4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计1 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：x681012y2356则y对x的线性回归方程为_解析：9，4，x681012 4y2356 4故y对x的线性回归方程为y 0.7x2.3. 答案：y 0.7x2.3 2某班 5 名学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE 数学成绩(x)8876736663 物理成绩(y)7865716461 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程； (3)一名学生的数学成绩是 96，试预测他的物理成绩 解：(1)散点图如图(2)x × (8876736663)73.2.1 5y ×(7865716461)67.8.1 5xiyi88×7876×6573×7166×6463×6125 054.5i1又x88276273266263227 174.5i1 2i4y对x的线性回归方程是y 0.625x22.05. (3)当x96 时，y 0.625×9622.0582. 可以预测他的物理成绩是 82.例 2 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第 一次考试的数学成绩(y)如下：学生号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请问：这 10 名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？ 思路点拨 可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关 性作出判断精解详析 x(12010899108)107.8，y(84645771)1 101 1068.所以相关系数为r73 79610 × 107.8 × 68（116 58410 × 107.82）（47 38410 × 682）0.751. 由检验水平 0.05 及n28， 在附录 2 中查得r0.050.632， 因为 0.751>0.632， 由此可看出这 10 名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系 一点通 利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数 据较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误53对于回归分析，有下列叙述： (1)在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确 定 (2)线性相关系数可以是正的或是负的 (3)回归分析中，如果r21 或r±1，说明x与y之间完全线性相关 (4)样本相关系数r(，) 判断其说法是否正确 解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的相关系数的取值范围应为 |r|1，所以(4)是错误的 4一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零 件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为 抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128 每小时生产有缺点的零件数y(件)11985 对变量y与x进行线性相关性检验解：由题中数据可得12.5，8.25，xiyi438，xy44 412.5，x660，y291，所以xy42i42i438412.5（660625） × （291272.25）0.995.25.5656.25由检验水平 0.05 及n22 在教材附录表 2 中查得r0.050.950，因为r>r0.05，所以 y与x具有线性相关关系对两个相关变量进行线性回归分析时，首先判断两个变量是否线性相关，可以通过散 点图和相关系数判断，然后再求线性回归方程，对问题进行预测，否则求出的回归方程无 意义，预测也无价值6课下能力提升(十九)一、填空题 1下列命题中正确的是_(填所有正确命题的序号) 任何两个变量都具有相关关系； 圆的周长与圆的半径具有相关关系； 某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； 根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的； 两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问 题进行研究 解析：显然是错误的；而中，圆的周长与圆的半径的关系为C2R，是一种确 定性的函数关系 答案： 2已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y 0.95xa ，则a _解析：2，4.5.又回归直线恒过定点(，)，代入得a 2.6.xyxy答案：2.6 3从某大学随机选取 8 名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y 0.849x85.712，则身高 172 cm 的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为 _ 解析：y 0.849×17285.71260.316. 答案：60.316 kg 4有下列关系： 人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； 曲线上的点与该点的坐标之间的关系； 苹果的产量与气候之间的关系； 森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； 学生与其学号之间的关系 其中有相关关系的是_(填序号) 解析：由相关关系定义分析 答案： 5某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235 销售额y(万元)49263954 根据上表可得线性回归方程yb xa 中的b 为 9.4，据此模型预报广告费用 为 6 万元时销售额为_万元 解析：样本中心点是(3.5，42)，7答案：65.5 二、解答题 6下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据：施肥量15202530354045 水稻产量320330360410460470480 (1)将上述数据制成散点图； (2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？ 解：(1)散点图如下：(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时， 水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量 近似成线性正相关关系 7在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据 为12345 价格x1.41.61.822.2 需求量y1210753已知5,i1xiyi62，5,i1x16.6.2i(1)画出散点图； (2)求出y对x的线性回归方程； (3)如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？(精确到 0.01 t) 解：(1)散点图如下图所示：(2)因为x ×91.8，y ×377.4，1 51 588为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他 前 7 次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析下面是该生 7 次考试的成绩：数学(x)888311792108100112 物理(y)949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； (2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分， 请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生 在学习数学、物理上的合理性建议解：(1)100100；x1217178812 7100100；y6984416 7142，2数学994 72物理250 7从而>，物理成绩更稳定2数学2物理(2)由于x与y之间具有线性相关关系，因为xiyi70 497，x70 994，772i所以根据回归系数公式得到当y115 时，x130，即该生物理 成绩达到 115 分时，他的数学成绩大约为 130 分 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提 高.9