线性代数1-6课程学习.pptx

线性代数线性代数(xin xn di sh)1-6第一页，共21页。一、引言(ynyn)结论结论 三阶三阶(sn ji)(sn ji)行列式可以用二阶行列式表示行列式可以用二阶行列式表示.思考题思考题 任意一个任意一个(y)(y)行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第1页/共21页第二页，共21页。例如例如(lr)把把 称为元素称为元素(yun s)(yun s)的代数余子式的代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素(yun s)所在的第所在的第 行和第行和第 列划列划后，留下来的后，留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素(yun s)的余子式，的余子式，记作记作 .结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式.第2页/共21页第三页，共21页。引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数与它的代数(dish)余子式的余子式的乘积，即乘积，即 例如例如(lr)第3页/共21页第四页，共21页。即有即有又又从而从而(cng r)下面下面(xi mian)再讨论一般情形再讨论一般情形.分析分析(fnx)当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）第4页/共21页第五页，共21页。我们我们(w men)(w men)以以4 4阶行列式为例阶行列式为例.思考题：能否以思考题：能否以 代替上述代替上述(shngsh)(shngsh)两次行变换？两次行变换？第5页/共21页第六页，共21页。思考题：能否思考题：能否(nn fu)(nn fu)以以 代替上述两次行变换？代替上述两次行变换？答：答：不能不能.第6页/共21页第七页，共21页。被调换被调换(diohun)到第到第1行，第行，第1列列第7页/共21页第八页，共21页。二、行列式按行（列）展开(zhn ki)法则定理定理3 行列式等于行列式等于(dngy)它的任一行（列）的各元素它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即第8页/共21页第九页，共21页。同理可得同理可得第9页/共21页第十页，共21页。例例（P.12例例7续）续）第10页/共21页第十一页，共21页。证明证明(zhngmng)(zhngmng)用数学归纳法用数学归纳法例例 证明证明(zhngmng)(zhngmng)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式所以所以(suy)n=2时时(1)式成立式成立.第11页/共21页第十二页，共21页。假设假设(1)对于对于(duy)n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开列展开(zhn ki)，并提出每列的公因子，并提出每列的公因子 ，就有，就有第12页/共21页第十三页，共21页。n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第13页/共21页第十四页，共21页。推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应(duyng)(duyng)元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析(fnx)(fnx)我们以我们以3 3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素行的元素(yun s)换成第换成第2行的对应元素行的对应元素(yun s)，则，则 第14页/共21页第十五页，共21页。定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数(dish)余子式乘积之和，即余子式乘积之和，即推论推论(tuln)(tuln)行列式任一行（列）的元素与另一行行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得第15页/共21页第十六页，共21页。例例 计算计算(j sun)(j sun)行列式行列式解解第16页/共21页第十七页，共21页。第17页/共21页第十八页，共21页。例例 设设 ,的的 元的余子式和元的余子式和代数代数(dish)(dish)余子式依次记作余子式依次记作 和和 ，求，求分析分析(fnx)(fnx)利用利用及及第18页/共21页第十九页，共21页。解解第19页/共21页第二十页，共21页。第20页/共21页第二十一页，共21页。