线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵.pptx

线性代数线性代数(xin xn di sh)矩阵的初矩阵的初等变换与初等矩阵等变换与初等矩阵第一页，共22页。矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨(tnto)中都可起到非常重要的作用。引例引例(yn l)：用消元法解下面的线性方程组：用消元法解下面的线性方程组一、矩阵一、矩阵(j zhn)的初的初等变换等变换第1页/共22页第二页，共22页。一、矩阵一、矩阵(j zhn)的初的初等变换等变换第2页/共22页第三页，共22页。一、矩阵一、矩阵(j zhn)的初的初等变换等变换第3页/共22页第四页，共22页。在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行上就是对整个线性方程组进行(jnxng)(jnxng)了三种操作了三种操作:(1)(1)对某一方程两边对某一方程两边(lingbin)(lingbin)同时乘以不为零同时乘以不为零的常数；的常数；(2)(2)交换方程组中两个方程的位置；交换方程组中两个方程的位置；(3)(3)给某一方程乘以常数给某一方程乘以常数k k加到另一个方程上去。加到另一个方程上去。相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)(1)给某一行给某一行(yxng)(yxng)所有元素都乘以一个非零常数；所有元素都乘以一个非零常数；(2)(2)交换两行元素的位置；交换两行元素的位置；(3)(3)给某一行给某一行(yxng)(yxng)所有元素乘常数所有元素乘常数 k k 加到另一行加到另一行(yxng)(yxng)的对应元素上去。的对应元素上去。一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换第4页/共22页第五页，共22页。定义定义1、下面三种变换称为矩阵的初等行变换：、下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1)交换两行交换两行 (记为记为rirj);2)以数以数k 0乘某一行乘某一行(yxng)所有元素（记作所有元素（记作rjk）;3)把某一行把某一行(yxng)所有元素的所有元素的k倍加到另一行倍加到另一行(yxng)的对应元素上去（记作的对应元素上去（记作ri+krj）把定义中和“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号(j ho)是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。一、矩阵一、矩阵(j zhn)的初等的初等变换变换第5页/共22页第六页，共22页。显然，三种初等变换显然，三种初等变换(binhun)都是可逆都是可逆的，且其变换的，且其变换(binhun)是同一类型的初等变是同一类型的初等变换换(binhun)。变换。变换(binhun)rirj的逆变换的逆变换(binhun)就是本身；变换就是本身；变换(binhun)rjk 的的逆变换逆变换(binhun)为为 rjk；变换；变换(binhun)ri+krj 的逆变换的逆变换(binhun)为为ri k rj。如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，称矩阵 A与 B是等价的，记为A B。矩阵的等价关系有如下(rxi)性质：反身性：A A 对称性：A B，则B A 传递性：A B，B C，则A C一、矩阵一、矩阵(j zhn)的初的初等变换等变换第6页/共22页第七页，共22页。矩阵(j zhn)的初等变换的应用1 行列式的计算行列式的计算2 求矩阵的逆求矩阵的逆3 求矩阵的秩求矩阵的秩4 求线性方程组的解求线性方程组的解5 求向量组的线性关系求向量组的线性关系6 一向量组能否由另一向量组线性表出一向量组能否由另一向量组线性表出7 求向量组的秩与极大无关求向量组的秩与极大无关(wgun)组组8 判断两向量组是否等价判断两向量组是否等价一、矩阵一、矩阵(j zhn)的初的初等变换等变换第7页/共22页第八页，共22页。(ii)下一个下一个(y)非零行的非零首元素均位于非零行的非零首元素均位于上一非零行的非零首元素的右侧上一非零行的非零首元素的右侧(i)非零行位于非零行位于(wiy)全零行之上；全零行之上；定义定义定义定义(dngy)(dngy)2 2、二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵 若矩阵若矩阵若矩阵若矩阵A A满足：满足：满足：满足：则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵A A为为为为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，简称，简称，简称，简称阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。阶梯形矩阵。第8页/共22页第九页，共22页。下列矩阵下列矩阵(j zhn)中哪几个是阶梯形矩阵中哪几个是阶梯形矩阵(j zhn)?哪几个不是哪几个不是?二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵(j zhn)第9页/共22页第十页，共22页。定理定理定理定理1 1 任何任何任何任何(rnh)(rnh)一个矩阵都可以经过有限次一个矩阵都可以经过有限次一个矩阵都可以经过有限次一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵.二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵(j zhn)第10页/共22页第十一页，共22页。练习(linx)：第11页/共22页第十二页，共22页。练习(linx).解线性方程组第12页/共22页第十三页，共22页。定义定义定义定义3 3 一个行阶梯形矩阵若满足一个行阶梯形矩阵若满足一个行阶梯形矩阵若满足一个行阶梯形矩阵若满足 (i)(i)每个非零行的第一个非零元素每个非零行的第一个非零元素每个非零行的第一个非零元素每个非零行的第一个非零元素(yun(yun s)s)为为为为 1;1;(ii)(ii)每个非零行的第一个非零元素每个非零行的第一个非零元素每个非零行的第一个非零元素每个非零行的第一个非零元素(yun(yun s)s)所在列的其他元素所在列的其他元素所在列的其他元素所在列的其他元素(yun s)(yun s)全为零全为零全为零全为零.二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵(j zhn)则称之为简化则称之为简化则称之为简化则称之为简化(jinhu)(jinhu)阶梯形矩阵（行最简形矩阵）阶梯形矩阵（行最简形矩阵）阶梯形矩阵（行最简形矩阵）阶梯形矩阵（行最简形矩阵）.第13页/共22页第十四页，共22页。定理定理定理定理2 2 2 2 任何矩阵任何矩阵任何矩阵任何矩阵(j zhn)(j zhn)(j zhn)(j zhn)都可经过有限次初等行变换化都可经过有限次初等行变换化都可经过有限次初等行变换化都可经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵为行最简形矩阵为行最简形矩阵为行最简形矩阵(j zhn).(j zhn).(j zhn).(j zhn).二、阶梯形矩阵二、阶梯形矩阵(j zhn)第14页/共22页第十五页，共22页。练习(linx)：第15页/共22页第十六页，共22页。定义定义4 由单位阵由单位阵 E 经过一次初经过一次初等变换所得的矩阵等变换所得的矩阵(j zhn)称为称为初等矩阵初等矩阵(j zhn)。对应于三种初等变换，有三对应于三种初等变换，有三种初等矩阵种初等矩阵(j zhn)：三、初等矩阵三、初等矩阵第16页/共22页第十七页，共22页。对n 阶单位(dnwi)阵E，有i列j列j 行i 行第17页/共22页第十八页，共22页。i列i 行j 行i 行第18页/共22页第十九页，共22页。初等矩阵初等矩阵(j zhn)的性质：的性质：(1)初等矩阵初等矩阵(j zhn)的转置矩的转置矩阵阵(j zhn)仍然是初等矩阵仍然是初等矩阵(j zhn);(2)初等矩阵初等矩阵(j zhn)均是可逆均是可逆矩阵矩阵(j zhn)，其逆矩阵，其逆矩阵(j zhn)是同是同类型的初等矩阵类型的初等矩阵(j zhn)。第19页/共22页第二十页，共22页。定理定理3 设设A=(aij)是是mn 矩阵，则矩阵，则 (1)对对A进行一次初等进行一次初等(chdng)行变换，相行变换，相当于用一个当于用一个m阶的初等阶的初等(chdng)矩阵左乘矩阵矩阵左乘矩阵A；(2)对对A进行一次初等进行一次初等(chdng)列变换，相列变换，相当于用一个当于用一个n阶的初等阶的初等(chdng)矩阵右乘矩阵矩阵右乘矩阵A。初等初等(chdng)矩阵与初等矩阵与初等(chdng)变换变换 之间的关系之间的关系左乘变行右乘变列第20页/共22页第二十一页，共22页。第21页/共22页第二十二页，共22页。