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流体力学第四章第1页，本讲稿共58页4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程4.2 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程4.4 4.4 非恒定总流的伯努利方程非恒定总流的伯努利方程4.5 4.5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程能量方程能量方程动量方程动量方程第2页，本讲稿共58页4.1 4.1 流体的运动微分方程流体的运动微分方程无黏性流体运动微分方程无黏性流体运动微分方程黏性流体运动微分方程黏性流体运动微分方程第3页，本讲稿共58页无黏性流体运动微分方程无黏性流体运动微分方程无黏性无黏性不存在剪切力不存在剪切力表面力表面力质量力质量力压压强强压压力力Fx=xdxdydz牛顿第二定律牛顿第二定律MNOX轴方向轴方向流速的随体导数流速的随体导数第4页，本讲稿共58页同理无黏性流体运动微分方程无黏性流体运动微分方程（欧拉运动微分方程）（欧拉运动微分方程）展开成欧拉法的表达式展开成欧拉法的表达式（3-9）第5页，本讲稿共58页黏性流体运动微分方程黏性流体运动微分方程黏性黏性存在剪切力存在剪切力以应力表示的以应力表示的不可压缩不可压缩黏性黏性流体流体运动微分方程运动微分方程由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用面的方位由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用面的方位有关有关黏性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点的动黏性流体中，把某点三个正交面上的法向应力的平均值定义为该点的动压强任压强任p。p=p(x,y,z)第6页，本讲稿共58页理想流体元流的伯努利方程理想流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程4.2 4.2 元流的伯努利方程元流的伯努利方程第7页，本讲稿共58页(1)不可压缩理想流体的恒定流动；不可压缩理想流体的恒定流动；(2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3)质量力只有重力。质量力只有重力。（4）无黏性流体）无黏性流体理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下：在下列几个假定条件下：即可求得即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。理想流体微元流束的伯努利方程。理想流体元流的伯努利方程理想流体元流的伯努利方程第8页，本讲稿共58页恒定流动恒定流动沿流线的微小位移沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为在三个坐标轴上的投影为dx、dy和和dzdxdydz两边同乘以一、理想流体微元流的伯努利方程一、理想流体微元流的伯努利方程第9页，本讲稿共58页流线方程流线方程式（式（3-16）相加其中其中第10页，本讲稿共58页流动在重力场中，质量力只有重力流动在重力场中，质量力只有重力，X=0，Y=0，Z=-g，即即z轴垂直向上，轴垂直向上，oxy为水平面为水平面。又假设为又假设为不可压缩流体不可压缩流体，即，即=常数，积分后得常数，积分后得此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿同一流线（或微元流束）。同一流线（或微元流束）。or所以：所以：第11页，本讲稿共58页若若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得则可得在特殊情况下，绝对静止流体在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程，由可以得到静力学基本方程第12页，本讲稿共58页二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义物理意义物理意义几何意义几何意义z单位重量流体的位能单位重量流体的位能过水断面的位置水头过水断面的位置水头单位重量流体的压能单位重量流体的压能过水断面的压强水头过水断面的压强水头单位重量流体的动能单位重量流体的动能过水断面的速度水头过水断面的速度水头单位重量流体的机械能单位重量流体的机械能过水断面的总水头过水断面的总水头无黏性流体的恒定流动，无黏性流体的恒定流动，沿同一元流沿同一元流，单位重量单位重量流体的机械能守恒流体的机械能守恒无黏性流体的恒定流动，无黏性流体的恒定流动，沿同一元流各断面沿同一元流各断面的的总总水头相等水头相等能量守恒能量守恒第13页，本讲稿共58页图 无黏性流体的总水头线和静水头线第14页，本讲稿共58页黏性流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程黏性黏性阻力阻力克服阻力做功克服阻力做功能量损耗能量损耗黏性流体元流单位重量流体由过流断面黏性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面运动至过流断面2-2的的机械能损失，称为元流的机械能损失，称为元流的水头损失水头损失。第15页，本讲稿共58页图 黏性流体的总水头线和静水头线第16页，本讲稿共58页4.2 小结无黏性流体元流的伯努利方程无黏性流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程黏性流体元流的伯努利方程能量方程能量方程第17页，本讲稿共58页三大定律三大定律动量守恒动量守恒能量守恒能量守恒质量守恒质量守恒元流的伯努利方程主要研究流体运动中的 第18页，本讲稿共58页4.3 4.3 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程渐变流及其性质渐变流及其性质总流的伯努利方程总流的伯努利方程元流元流总流总流第19页，本讲稿共58页渐变流及其性质渐变流及其性质均匀流均匀流非均匀流非均匀流渐变流渐变流急变流急变流流动的分类流动的分类渐变流的性质：渐变流的性质：1 1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行；）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行；2 2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。迁移加速度很小，或迁移加速度很小，或流线近乎是平行直线流线近乎是平行直线的流动的流动第20页，本讲稿共58页图 3-18 渐变流和急变流渐变流渐变流第21页，本讲稿共58页总流的伯努利方程总流的伯努利方程元流总流1122u1u2A1A2Z1Z200实际恒定总流实际恒定总流1-1、2-2过流断面过流断面渐变流渐变流黏性元流的伯努利方程（黏性元流的伯努利方程（单位重量流体单位重量流体）单位时间流过元流单位时间流过元流1-1和和2-2过流断面过流断面的流体重量的流体重量单位时间的元流单位时间的元流1-1和和2-2过流断面的能量关系过流断面的能量关系第22页，本讲稿共58页单位时间的单位时间的总流总流1-1和和2-2过流断面的能量关系过流断面的能量关系势能积分势能积分动能积分动能积分水头损失积分水头损失积分积分整理得积分整理得总流的伯努利方程总流的伯努利方程第23页，本讲稿共58页两过流断面无分流及汇流，则两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除，两边同除pgQ可得可得为黏性流体总流的伯努利方程为黏性流体总流的伯努利方程总流的伯努利方程总流的伯努利方程第24页，本讲稿共58页总流伯努利方程的物理意义和几何意义总流伯努利方程的物理意义和几何意义总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能；总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的位能；总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能；总流过流断面上某点（计算点）单位重量流体的压能；总流过流断面上某点单位重量流体的平均动能；总流过流断面上某点单位重量流体的平均动能；总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；总流过流断面上单位重量流体的平均势能；总流过流断面上单位重量流体的平均势能；总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；总流的伯努利方程总流的伯努利方程第25页，本讲稿共58页水头线水头线H1H2Z1Z2HPHhw总流的伯努利方程总流的伯努利方程总水头线坡度第26页，本讲稿共58页总流伯努利方程的物理意义和几何意义总流伯努利方程的物理意义和几何意义元流伯努利方程的物理意义和几何意义元流伯努利方程的物理意义和几何意义异同点异同点？第27页，本讲稿共58页1.水流必须是不可压缩液体的水流必须是不可压缩液体的恒定流恒定流；2.作用在液体上的质量力只有重力；作用在液体上的质量力只有重力；3.在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在所取在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。的两个断面之间，水流可以不是渐变流。4.两段面间无分流或汇流。两段面间无分流或汇流。11223300例如例如P84图4-16第28页，本讲稿共58页【例【例4-1】有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2,2-2断面处直径d2=0.3m,中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头损失。1122AB1m【解】利用连续原理求断面的平均流速。因 v1A1=v2A2 所以因水管直径变化缓慢，1-1与2-2断面水流可看作渐变流，以过A点水平面为基准面计算两断面的总能量：第29页，本讲稿共58页1122AB1mv第30页，本讲稿共58页基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面；值时，必须选取同一基准面；能量方程中能量方程中一一项项，可以是相，可以是相对压对压强强，也可以是，也可以是绝对压绝对压强强，但，但对对同一同一问题问题必必须须采采用相同的用相同的标标准；准；在在计计算算过过水断面的水断面的测压测压管水管水头头 时时，可以，可以选选取断面上任意点取断面上任意点计计 算（？），具体算（？），具体选择选择哪一点，以哪一点，以计计算方便算方便为为宜。例如：宜。例如：对对管流，一般管流，一般选选取管取管轴轴中心点来中心点来计计算，明渠一般算，明渠一般选择选择自由表面上的点。自由表面上的点。不同不同过过水断面的水断面的动动能修正系数能修正系数严严格格讲讲是不相等的，是不相等的，实际实际中中对渐变对渐变流，通常令流，通常令=1=1，特殊情况，特殊情况时时需根据具体情况而定。需根据具体情况而定。应用恒定总流能量方程式时应注意几点应用恒定总流能量方程式时应注意几点第31页，本讲稿共58页第32页，本讲稿共58页4.5 4.5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程动量方程动量方程恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程第33页，本讲稿共58页a)取控制体（隔离体）取控制体（隔离体）在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁面为边界在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流速和作用在断面上所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流速和作用在断面上的压力比较好确定。的压力比较好确定。b)受力分析受力分析作用在控制体上的外力包括重力和表面力。作用在控制体上的外力包括重力和表面力。表面力中包括两个断面上的压力表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力这个力往往就是所求的力)还有固壁附近的摩擦阻还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，要暴露在大气中都会受到大气的作用因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。最后通过计算结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。c)求动量的变化求动量的变化动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动量值，流速投影的正负动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。应用动量方程的注意事项应用动量方程的注意事项应用动量方程的注意事项应用动量方程的注意事项第34页，本讲稿共58页总流的总流的连续性方程连续性方程总流的总流的能量方程能量方程总流的总流的动能方程动能方程第35页，本讲稿共58页质量、能量和动量方程的应用实例质量、能量和动量方程的应用实例1.水流对水流对弯管弯管的作用力的作用力2.水流对水流对分叉管道分叉管道的作用力的作用力3.水流水流射流射流对管壁的作用力对管壁的作用力第36页，本讲稿共58页【例例4-2】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6103Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300，d2=200，转角=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小。【解解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。R第37页，本讲稿共58页R受力分析：受力分析：沿沿x轴方向轴方向沿沿y轴方向轴方向第38页，本讲稿共58页 (m/s)(m/s)2.列管道进、出口的伯努利方程 则得：1.根据连续性方程可求得：水平放置z1=z2=0第39页，本讲稿共58页 3.所取控制体受力分析 进、出口控制面上得总压力：（kN）（kN）壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图所示。4.写出动量方程 选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一致的，在方程中取正值；反之，为负值。第40页，本讲稿共58页 则 （kN）沿y轴方向 （kN）管壁对水的反作用力 (kN)水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。沿x轴方向第41页，本讲稿共58页【例例4-3】水水平平分分岔岔管管路路，如如图图所所示示，干干管管直直径径d1=600mm，支支管管直直径径d2=d3=400mm,分分岔岔角角=30。已已知知分分岔岔前前断断面面的的压压力力表表读读值值pM=70kN/m2，干干管管流流量量Q=0.6m3/s，不不计计水水头头损损失失。试试求求水流对分岔管的作用力水流对分岔管的作用力。【解】【解】因为支管因为支管2和支管和支管3管径相同管径相同且关于且关于x轴对称，因此轴对称，因此Ry=0.ox方向的动量方程方向的动量方程112233RxP2P3P1yxo第42页，本讲稿共58页水流对分岔管的作用力Rx=4.72kN，方向与ox方向相同。第43页，本讲稿共58页 试求：1）沿平板的流量 2）射流对平板的作用力【例例4-4】水水平平方方向向的的水水射射流流，流流量量Q1，出出口口流流速速v1，在在大大气气中中冲冲击击到到前前后后斜斜置置的的光光滑滑平平板板上上，射射流流轴轴线线与与平平板板成成角角，不不计计水水流在平板上的阻力流在平板上的阻力。解题思路：解题思路：解题思路：解题思路：分析题意和已知条件分析题意和已知条件分析题意和已知条件分析题意和已知条件取控制体，如图取控制体，如图取控制体，如图取控制体，如图分析受力分析受力分析受力分析受力 因不计水流在平板上的因不计水流在平板上的因不计水流在平板上的因不计水流在平板上的阻力，可知平板对水流的作用力阻力，可知平板对水流的作用力阻力，可知平板对水流的作用力阻力，可知平板对水流的作用力RR与平板与平板与平板与平板垂直，设垂直，设垂直，设垂直，设RR的方向与的方向与的方向与的方向与oyoy轴相同。轴相同。轴相同。轴相同。列列列列1-11-1，2-22-2和和和和3-33-3断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程 在大气射流中，控制面内各点的压强皆可在大气射流中，控制面内各点的压强皆可在大气射流中，控制面内各点的压强皆可在大气射流中，控制面内各点的压强皆可 认为等于大气压，认为等于大气压，认为等于大气压，认为等于大气压，p p1 1 p p2 2p p3 3=p=p0 0因为压强和位置水头都相等，所以可得：因为压强和位置水头都相等，所以可得：因为压强和位置水头都相等，所以可得：因为压强和位置水头都相等，所以可得：v v1 1 v v2 2v v3 3第44页，本讲稿共58页列列oy方向的动量方程：方向的动量方程：射流对平板的作用力射流对平板的作用力R与与R方向相反、大小相等，方向相反、大小相等，即指向平板。即指向平板。（2）求射流对平板的作用力）求射流对平板的作用力R（1 1）求）求）求）求QQ2 2、QQ3 3 列列列列oxox方向的动量方程方向的动量方程方向的动量方程方向的动量方程，因为在，因为在，因为在，因为在x x方向上的合外力为方向上的合外力为方向上的合外力为方向上的合外力为0 0。连续性方程：连续性方程：连续性方程：连续性方程：QQ2 2+Q+Q3 3=Q=Q11联立得：联立得：联立得：联立得：第45页，本讲稿共58页习题习题1：有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯管转角为90，起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差z为2m，已知1-1断面中心处动水压强P1为117.6kN/m2，两断面之间的水头损失为hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中流量Q为0.06m3/s时，水流对弯管的作用力。z1122d第46页，本讲稿共58页习习题题2.水 由 水 箱 经 一 喷 口 无 损 失 地 水 平 射 出，冲 击 在 一 块 铅 直 平 板 上，平 板 封 盖 着 另 一 油 箱 的 短 管 出 口。两 个 出 口 的 中 心 线 重 合，其 液 位 高 分 别 为 h1 和h2，且h1=1.6m，两 出 口 直 径 分 别 为d1=25mm,d2=50mm，当 油 液 的 相 对 密 度 为0.85 时，不 使 油 液 泄 漏 的 高 度 h2应 是 多 大（平 板 重 量 不 计）？第47页，本讲稿共58页能量方程在流速和流量测量中的应用能量方程在流速和流量测量中的应用1.毕托管毕托管流速测量流速测量2.文丘里流量计文丘里流量计第48页，本讲稿共58页1.1.流速测量流速测量流速测量流速测量毕托管毕托管毕托管毕托管 为校正系数，测量仪器仪表一般都要定期的标定。一般在计算时可取为为校正系数，测量仪器仪表一般都要定期的标定。一般在计算时可取为1。如果用毕托管测量气体的速度，属于被测介质与测量介质不同的情况。如果用毕托管测量气体的速度，属于被测介质与测量介质不同的情况。可以用下面的公式进行计算：可以用下面的公式进行计算：其中：其中：为差压计所用液体的容重；为差压计所用液体的容重；为流动气体本身的容重。为流动气体本身的容重。第49页，本讲稿共58页2.2.文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计文丘里流量计取取1-1，2-2断断面面，先先不不计计水水头头损损失失，然然后后我我们们再再作作修正，修正，a1=a21。由连续性方程：由连续性方程：第50页，本讲稿共58页标准的文丘里流量计标准的文丘里流量计0.950.98。流量系数：流量系数：第51页，本讲稿共58页4小结小结伯努利方程（能量）伯努利方程（能量）动量方程动量方程连续方程，伯努利方程和动量方程在实际问题求解中的应用习题习题：4.16，4.19第52页，本讲稿共58页方方程程应用条件应用条件 方程意义方程意义 待求问题待求问题 备备 注注 能能量量方方程程恒定、不恒定、不可压缩流可压缩流体；质量体；质量力只有重力只有重力；计算力；计算断面为渐断面为渐变流断面变流断面 反映了液反映了液流中机械流中机械能和其他能和其他形式的能形式的能（主要是（主要是代表能量代表能量损失的热损失的热能）间的能）间的守恒与转守恒与转化关系化关系 动水压强动水压强（或动水压（或动水压力）、断面力）、断面平均流速、平均流速、流量、断面流量、断面之间的压强之间的压强差、平均动差、平均动能差、机械能差、机械能损失、水能损失、水流流向等。流流向等。1.1.选择实例：选择实例：断面：管子的出口断面、断面：管子的出口断面、表面为大气压的断面等；表面为大气压的断面等；代表点：对于明渠流，可代表点：对于明渠流，可选自由液面上的点；对于管流，选自由液面上的点；对于管流，可选断面的中心点；可选断面的中心点；2.2.注意点注意点 两渐变流断面之间可以有急两渐变流断面之间可以有急变流；当有流量或能量输入、变流；当有流量或能量输入、输出时，方程形式应有所改变输出时，方程形式应有所改变;压强一般采用相对压强。压强一般采用相对压强。动动量量方方程程恒定、不恒定、不可压缩流可压缩流体，体，质量力只质量力只有重力；有重力；计算断面计算断面为渐变流为渐变流断面。断面。反映了液反映了液流与边界流与边界上作用力上作用力之间的关之间的关系系 液流对边界液流对边界的冲击力，的冲击力，或边界对液或边界对液流的反作用流的反作用力、已知全力、已知全部作用力，部作用力，求平均流速求平均流速或流量等或流量等 作用于隔离体上的外力有：作用于隔离体上的外力有：1.1.重力即为隔离体中的流体重重力即为隔离体中的流体重量量 2.2.两端过水断面上的动水压力两端过水断面上的动水压力 （按静水压强规律分布）；（按静水压强规律分布）；3.3.液流边界作用于隔离体上的液流边界作用于隔离体上的合力合力第53页，本讲稿共58页第第3章章习题习题3.8题详见题详见P65解：1）第54页，本讲稿共58页2）三维流动习题习题3.83）速度和加速度等运动要素与时间无关，是恒定流4）迁移加速度不为0，是非均匀流第55页，本讲稿共58页3.13题详见题详见P65(1)(2)(3)此流动不满足连续性条件，此流动不满足连续性条件，运动不能出现运动不能出现此流动不满足连续性条件，此流动不满足连续性条件，运动不能出现运动不能出现此流动满足连续性条件，此流动满足连续性条件，运动能出现运动能出现第56页，本讲稿共58页(1)3.17题详见题详见P65有旋无角变形无旋与有旋判别角变形速度第57页，本讲稿共58页(2)无旋有角变形习题习题3.17第58页，本讲稿共58页