2019高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4.doc

1第一课第一课 任意角的三角函数及诱导公式任意角的三角函数及诱导公式核心速填1与角终边相同的角的集合为S|k·360°，kZ Z2角度制与弧度制的换算3弧度制下扇形的弧长和面积公式(1)弧长公式：l|r.(2)面积公式：Slr |r2.1 21 24任意角的三角函数(1)定义 1：设任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则 sin y，cos x，tan (x0)y x(2)定义 2：设任意角的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，r|OP|，x2y2则 sin ，cos ，tan (x0)y rx ry x5同角三角函数基本关系式sin2cos21；tan .sin cos 6诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限体系构建2题型探究象限角及终边相同的角已知800°.(1)把改写成2k(kZ,Z,02)的形式，并指出是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且.( 2，2)解 (1)800°3×360°280°，280°，14 9800°(3)×2.14 9与角终边相同，是第四象限角14 9(2)与终边相同的角可写为 2k，kZ Z 的形式，而与的终边相同，14 92k，kZ Z.14 9又，2k，kZ Z，( 2，2) 214 9 2解得k1，2.14 94 9规律方法 1.灵活应用角度制或弧度制表示角(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为，角度数为n，则rad°，n°rad.(·180 )(n· 180)32象限角的判定方法(1)根据图象判定利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系(2)将角转化到 0°360°范围内在直角坐标平面内，0°360°范围内没有两个角终边是相同的跟踪训练1若角与角终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_. 8 5 4【导学号：84352139】， 由题意，得2k(kZ Z)，(kZ Z)2 59 107 519 108 5 42 5k 2又0,2，所以k0,1,2,3，. 4 42 59 107 519 10弧度制下扇形弧长及面积公式的计算(1)如图 1­1，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A、B、C，如果AB1，那么曲线CDEF的长是_图 1­1(2)一扇形的圆心角为 2 弧度，记此扇形的周长为c，面积为S，则的最大值为c1 S_(1)4 (2)4 (1)弧的长是，120 × 1 1802 3弧的长是：，120 × 2 1804 3弧的长是：2，120 × 3 180则曲线CDEF的长是：24.2 34 3(2)设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角大小为 2 弧度，则l2r，可求：cl2r2r2r4r，4扇形的面积为Slrr2×2r2，1 21 2所以2c1 S4r1 r2(1 r)4 r244.(1 r2)r 时等号成立，所以的最大值为 4.1 2c1 S规律方法 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略1明确弧度制下弧长公式l|r，扇形的面积公式是Slr |r2其中l1 21 2是扇形的弧长，是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.跟踪训练2如图 1­2，已知扇形AOB的圆心角为 120°，半径长为 6，求弓形ACB的面积. 【导学号：84352140】图 1­2解 120° ，120 1802 3l6× 4，的长为 4.2 3S扇形OABlr ×4×612，1 21 2如图所示，作ODAB，有SOAB ×AB×OD ×2×6cos 30°×39.1 21 23S弓形ACBS扇形OABSOAB129.3弓形ACB的面积为 129.3任意角三角函数的定义5(1)若一个角的终边上有一点P(4，a)，且 sin ·cos ，则a34的值为( )A4 B±433C4或 D.34 333(2)已知角的终边经过点P(12m，5m)(m0)，求 sin ，cos ，tan 的值. 【导学号：84352141】(1 1)C C (1)因为角的终边上有一点P(4，a)，所以 tan ，a 4所以 sin cos ，sincos sin2cos2tan tan21a4(a 4)2134整理得a216a160，(a4)(a4)0，所以a4或.333334 33(2)r13|m|，12m25m2若m0，则r13m，为第四象限角，sin ，y r5m 13m5 13cos ，x r12m 13m12 13tan .y x5m 12m5 12若m0，则r13m，为第二象限角，sin ，y r5m 13m5 13cos ，x r12m 13m12 13tan .y x5m 12m5 12规律方法 利用定义求三角函数值的两种方法1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.2取角的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角的正弦值sin ，余弦值 cos ，正切值 tan .当角的终边上点的坐ba2b2aa2b2b a标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.6跟踪训练3如果点P(sin ·cos ，2cos )位于第三象限，试判断角所在的象限. 【导学号：84352142】解 因为点P(sin ·cos ，2cos )位于第三象限，所以 sin ·cos 0,2cos 0，即Error!所以角在第二象限.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用(1)已知 sin()2cos(3)0，则_.sin cos sin cos (2)已知f().sin2·cos2·tan sin·tan3化简f()；若f() ，且，求 cos sin 的值；1 8 4 2若，求f()的值. 【导学号：84352143】47 4思路探究 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值(1) (1)由已知得sin 2cos 0，故 tan 2，1 3则 .sin cos sin cos tan 1 tan 121 211 3(2)f()sin ·cos .sin2·cos ·tan sin tan 由f()sin ·cos 可知，1 8(cos sin )2cos22sin ·cos sin212sin ·cos 12× ，1 83 4又，cos sin ， 4 2即 cos sin 0，cos sin .326×2，47 4 4fcos·sin(47 4)(47 4)(47 4)7cos·sin(6 × 2 4)(6 × 2 4)cos·sin× . 4 422221 2母题探究：1.将本例(2)中“ ”改为“8” “”改为“0”求1 8 4 2 4cos sin .解 因为0，所以 cos 0，sin 0 且|cos |sin |， 4所以 cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 12× ，(1 8)3 4所以 cos sin .322将本例(2)中的用 tan 表示.1 fcos2解 1 fcos21 sin cos cos2.sin2cos2 sin cos cos2tan21 tan 1规律方法 1.牢记两个基本关系式 sin2cos21 及tan ，并能应sin cos 用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知 sin ±cos 的值，可求 cos sin .注意应用(cos ±sin )21±2sin cos .2诱导公式可概括为 k· ±(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不2变，符号看象限