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概率论与数理统计习题及答案 1-4 章最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除概率论与数理统计习题及答案概率论与数理统计习题及答案习题习题 一一1略.见教材习题参考答案.2.设 A，B，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C 都不发生；（2）A与 B发生，C 不发生；（3）A，B，C 都发生；（4）A，B，C 至少有一个发生；（5）A，B，C 都不发生；（6）A，B，C 不都发生；（7）A，B，C 至多有 2个发生；（8）A，B，C至少有 2个发生.【解】【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC(5)ABC=ABC (6)ABC(7)ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC(8)ABBCCA=ABCABCABCABC3.略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（AB）.【解】【解】P（AB）=1P（AB）=1P(A)P(AB)=10.70.3=0.65.设 A，B是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（1）在什么条件下 P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下 P（AB）取到最小值？【解】【解】（1）当 AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2）当 AB=时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求 A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=11113+=4431247.从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？5332【解】【解】p=C13C13C13C13/C13528.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】【解】（1）设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A1）=115=（）（亦可用独立性求解，下同）775（2）设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故6565P（A2）=5=()77(3)设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P(A1)=1(9.略.见教材习题参考答案.15)710.一批产品共 N 件，其中 M件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示.3021P 260422.从（0，1）中随机地取两个数，求：6的概率；51（2）两个数之积小于的概率.4（1）两个数之和小于【解】【解】设两数为 x,y，则 0 x,y1.6.51 4 417p112 5 5 0.681251(2)xy=.4（1）x+y精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除p21111dxdy11ln24x442123.设 P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求 P（BAB）【解】【解】P(B AB)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.70.510.70.60.5424.在一个盒中装有 15 个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出 3 个球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率.【解】【解】设 Ai=第一次取出的 3 个球中有 i 个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的 3 球均为新球由全概率公式，有P(B)P(B Ai)P(Ai)i03323213C3C9C1C8C9C6C3C9C369C676 0.08933333333C15C15C15C15C15C15C15C1525.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则A=被调查学生是不努力学习的.由题意知 P（A）=0.8，P（A）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知P(A)P(B A)P(AB)（1）P(A B)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B A)0.20.11 0.027020.80.90.20.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)P(A B)P(A)P(B A)P(AB)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B A)0.80.14 0.30770.80.10.20.913即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除26.将两信息分别编码为A和 B 传递出来，接收站收到时，A被误收作 B 的概率为 0.02，而B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 21.若接收站收到的信息是 A，试问原发信息是 A的概率是多少？【解】【解】设 A=原发信息是 A，则=原发信息是 BC=收到信息是 A，则=收到信息是 B由贝叶斯公式，得P(A C)P(A)P(C A)P(A)P(C A)P(A)P(C A)2/30.98 0.994922/30.981/30.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】【解】设 Ai=箱中原有 i 个白球（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知1,i=0,1,2.又设3P(A1B)P(B A1)P(A1)P(A1B)2P(B)P(B Ai)P(Ai)i02/31/311/31/32/31/311/3328.某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】【解】设 A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得P(A B)P(A)P(B A)P(AB)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B A)0.960.98 0.9980.960.980.040.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30；如果“谨慎的”被保险人占 20%，“一般的”占 50%，“冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】【解】设 A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的”，C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P(A|D)P(AD)P(A)P(D|A)P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.20.05 0.0570.20.050.50.150.30.3精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】【解】设 Ai=第 i道工序出次品（i=1,2,3,4）.P(4i1Ai)1 P(A1A2A3A4)1P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)10.980.970.950.97 0.12431.设每次射击的命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9?【解】【解】设必须进行 n 次独立射击.1(0.8)n 0.9即为(0.8)n 0.1故n11至少必须进行 11次独立射击.32.证明：若 P（AB）=P(AB)，则 A，B相互独立.【证】【证】P(A|B)P(A|B)即P(AB)P(AB)P(B)P(B)亦即P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)1 P(B)P(A)P(AB)P(B)因此P(AB)P(A)P(B)故 A 与 B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.【解】【解】设 Ai=第 i人能破译（i=1,2,3），则111，求将此密码破译出534P(Ai)1 P(A1A2A3)1 P(A1)P(A2)P(A3)i13134.423 0.6534甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】【解】设 A=飞机被击落，Bi=恰有 i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得P(A)P(A|Bi)P(Bi)i03精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，且规定若 10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】【解】（1）p110Ck0k103k10(0.35)k(0.65)10k 0.5138(2)p236.Ck4(0.25)k(0.75)10k 0.2241一架升降机开始时有 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.24C69（1）P(A)，也可由 6重贝努里模型：10621294P(A)C6()()1010（2）6个人在十层中任意六层离开，故6P10P(B)610（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能结果，再从2六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4 人中有 3 个人在同一层离开，另一人在311其余 8 层中任一层离开，共有C19C4C8种可能结果；4 人同时离开，有C9种可能结果；4 个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故2131146P(C)C110C6(C9C4C8C9P9)/104（4）D=B.故6P10P(D)1 P(B)1610精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果 n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】【解】（1）p1(2)p2(3)p11n13!(n3)!,n 3(n1)!(n1)!13!(n2)!;p2,n 3n!nn!38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】【解】设这三段长分别为x,y,axy.则基本事件集为由0 xa,0ya,0axy乙正）=（甲反1+乙反）=（甲反乙反）由对称性知 P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此 P(甲正乙正)=46.12证明“确定的原则”（Surething）：若 P（A|C）P(B|C),P(A|C)P(B|C)，则 P（A）P(B).【证】【证】由 P（A|C）P(B|C),得P(AC)P(BC),P(C)P(C)即有P(AC)P(BC)同理由P(A|C)P(B|C),得P(AC)P(BC),故P(A)P(AC)P(AC)P(BC)P(BC)P(B)47.一列火车共有 n 节车厢，有 k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】【解】设 Ai=第 i节车厢是空的，（i=1,n）,则(n1)k1kP(Ai)(1)knn2P(AiAj)(1)knP(Ai1Ai2Ain1)(1n1k)n其中 i1,i2,in1是 1，2，n 中的任 n1个.显然 n 节车厢全空的概率是零，于是精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除11kS1P(Ai)n(1)k C1(1)nnni1S22k2P(A A)C(1)ijnn1i jnnSn1Sn 01i1i2in1nP(Ai1Ai2n1Ain1)Cn(1n1k)nP(Ai)S1S2S3i1n(1)n1Sn1(1)nCnn(1 Cn(1)Cn(1)故所求概率为n11nk22nkn1k)nn1k)n1k2i21 P(Ai)1C1n(1)Cn(1)i1nn1(1)n1Cnn(148.设随机试验中，某一事件 A 出现的概率为0.试证明：不论0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1.【证】【证】在前 n 次试验中，A至少出现一次的概率为1(1)n1(n)49.袋中装有 m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷 r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】【解】设 A=投掷硬币 r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知P(B)mn,P(B)mnmn1P(A|B)r,P(A|B)12则由贝叶斯公式知P(B|A)P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)m1rmmn 2rm1n1m2 nrmn 2mn50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r 根的概率又有多少？精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除【解】【解】以 B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)P(B2)1.（1）发现一盒已2空，另一盒恰剩 r 根，说明已取了 2nr 次，设 n 次取自 B1盒（已空），nr 次取自B2盒，第 2nr+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2nr次火柴视作 2nr重贝努里试验，则所求概率为1n1nr11np1 2Cn()()C2nrnr22222rr式中 2 反映 B1与 B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2）前 2nr1次取火柴，有 n1 次取自 B1盒，nr 次取自 B2盒，第 2nr次取自 B1盒，故概率为1n11nr112nr1n1n1p2 2C2()()C()nr12nr1222251.求 n重贝努里试验中 A 出现奇数次的概率.【解】【解】设在一次试验中 A出现的概率为 p.则由0n1n122n2(q p)n C0Cnp qnp q Cnpq0n1n122n2(q p)n C0p q C pqCnnnp qn0Cnnp q 1n0(1)nCnp qn以上两式相减得所求概率为n13n3p1 C1C3npqnp q11(q p)n211(12p)n2若要求在 n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得1p21(12p)n.252.设 A，B是任意两个随机事件，求P（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）的值.【解】【解】因为（AB）（AB）=ABAB（AB）（AB）=ABAB所求(A B)(A B)(A B)(A B)(AB 故所求值为 0.AB)(AB AB)53.设两两相互独立的三事件，A，B和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2，且 P（ABC）=9/16，求 P（A）.【解】【解】由P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 3P(A)3P(A)故P(A)29161311或,按题设 P（A）,故 P（A）=.244454.设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1/9，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生A 不发生的概率相等，求P（A）.【解】【解】P(AB)P(A1B)1 P(AB)9P(AB)P(AB)故P(A)P(AB)P(B)P(AB)故P(A)P(B)由 A,B的独立性，及、式有11 P(A)P(B)P(A)P(B)912P(A)P(A)21 P(A)2故1 P(A)故P(A)即 P（A）=1324或P(A)（舍去）332.355.随机地向半圆 0y0,P(A|B)=1,试比较 P(AB)与 P(A)的大小.(2006研考)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除解：解：因为P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(A B)P(B)所以P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A).习题二习题二1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律.【解】【解】X 3,4,5P(X 3)P(X 4)1 0.1C353 0.3C35C24P(X 5)3 0.6C5故所求分布律为XP30.140.350.62.设在 15 只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1只，作不放回抽样，以 X表示取出的次品个数，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；(3)133PX,P1 X,P1 X,P1 X 2.222【解】【解】精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除X 0,1,2.3C1322P(X 0)3.C15352C1122C13P(X 1)3.C1535C11P(X 2)13.3C1535故 X 的分布律为XP01222351235135（2）当 x0时，F（x）=P（Xx）=0当 0 x1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)=22353435当 1x2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=当 x2 时，F（x）=P（Xx）=1故 X 的分布函数x 0 0,22,0 x 135F(x)34,1 x 2351,x 2(3)1122P(X)F(),2235333434P(1 X)F()F(1)02235353312P(1 X)P(X 1)P(1 X)2235341P(1 X 2)F(2)F(1)P(X 2)1 0.35353.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中 2次的概率.【解】【解】设 X 表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3.精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除P(X 0)(0.2)3 0.0082P(X 1)C130.8(0.2)0.096P(X 2)C(0.8)0.2 0.384P(X 3)(0.8)3 0.512XP故 X 的分布律为00.008分布函数10.09620.38423230.512x 00,0.008,0 x 1F(x)0.104,1 x 20.488,2 x 3x 31,P(X 2)P(X 2)P(X 3)0.8964.（1）设随机变量 X的分布律为PX=k=akk!，其中 k=0，1，2，0为常数，试确定常数 a.（2）设随机变量 X 的分布律为PX=k=a/N，k=1，2，N，试确定常数 a.【解】（1）由分布律的性质知1P(X k)ak0k0kk!a e故a e(2)由分布律的性质知1P(X k)k1k1NNa aN即a 1.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求：（1）两人投中次数相等的概率;精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】【解】分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1)P(X Y)P(X 0,Y 0)P(X 1,Y 1)P(X 2,Y 2)P(X 3,Y 3)212(0.4)3(0.3)3C130.6(0.4)C30.7(0.3)+22C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3 0.32076(2)P(X Y)P(X 1,Y 0)P(X 2,Y 0)P(X 3,Y 0)P(X 2,Y 1)P(X 3,Y 1)P(X 3,Y 2)23223 C10.6(0.4)(0.3)C(0.6)0.4(0.3)3322(0.6)3(0.3)3C3(0.6)20.4C130.7(0.3)2322(0.6)3C130.7(0.3)(0.6)C3(0.7)0.3=0.2436.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】【解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 Xb(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有P(X N)0.01即利用泊松近似kN1C200k200(0.02)k(0.98)200k 0.01 np 2000.02 4.P(X N)e44k 0.01kN1k!查表得 N9.故机场至少应配备 9 条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】【解】设 X表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001）P(X 2)1 P(X 0)P(X 1)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1e0.10.1e0.18.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足 PX=1=PX=2，求概率 PX=4.【解】【解】设在每次试验中成功的概率为p，则4223C15p(1 p)C5p(1 p)故p 134所以P(X 4)C5()134210.32439.设事件 A在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A发生不少于 3次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】【解】（1）设 X表示 5次独立试验中 A发生的次数，则 X6（5，0.3）kP(X 3)C5(0.3)k(0.7)5k 0.16308k35(2)令 Y 表示 7次独立试验中 A 发生的次数，则 Yb（7，0.3）kP(Y 3)C7(0.3)k(0.7)7k 0.35293k3710.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午 12时至下午 3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午 12时至下午 5时至少收到 1 次呼救的概率.【解】【解】（1）P(X 0)e3252 (2)P(X 1)1P(X 0)1ek2k11.设 PX=k=C Ck,k=0,1,22p(1 p)m4mPY=m=C Cm,m=0,1,2,3,4p(1 p)4分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知PX1=【解】【解】因为P(X 1)5，试求 PY1.954，故P(X 1).992而P(X 1)P(X 0)(1 p)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除故得(1 p)即p 24,91.34从而P(Y 1)1 P(Y 0)1(1 p)65 0.802478112.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中恰有 5册错误的概率.【解】【解】令 X为 2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,np 20000.001 2e225 0.0018得P(X 5)5!13.进行某种试验，成功的概率为31，失败的概率为.以 X 表示试验首次成功所需试验的44次数，试写出 X的分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】【解】X 1,2,k,13P(X k)()k144P(X 2)P(X 4)P(X 2k)1 313313()()2k14 44444131441(1)25414.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】【解】以“年”为单位来考虑.（1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为250012=30000元.设 1年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X 30000)P(X 15)1 P(X 14)由于 n 很大，p 很小，=np=5，故用泊松近似，有精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除e55kP(X 15)1 0.000069k!k014(2)P(保险公司获利不少于10000)P(300002000X 10000)P(X 10)e55k 0.986305k!k010即保险公司获利不少于 10000元的概率在 98%以上P（保险公司获利不少于20000）P(300002000X 20000)P(X 5)e55k 0.615961k!k05即保险公司获利不少于 20000元的概率约为 62%15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae|x|,x+,求：（1）A值；（2）P0X1;(3)F(x).【解】（1）由f(x)dx 1得1Ae|x|dx 2Aexdx 2A01.211x11(2)p(0 X 1)e dx(1e)202x11exdx ex(3)当 x0时，F(x)22x101x1e|x|dx exdxexdx当 x0 时，F(x)22021x1e2故A 1xe,2故F(x)11ex2x 0 x 016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X的密度函数为精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除100,x 100,f(x)=x2x 100.0,求：（1）在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】【解】1001dx.100 x2328p1P(X 150)3()3327411 22(2)p2 C3()3 39（1）P(X 150)150(3)当 x100时 F（x）=0当 x100时F(x)xf(t)dtf(t)dt100 xf(t)dt x100100100dt 1100t2x100,x 1001故F(x)xx 00,17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】【解】由题意知 X0,a，密度函数为1,0 x af(x)a其他0,故当 xa时，F（x）=1即分布函数xf(t)dt f(t)dt 0 xx01xdt aa0,xF(x),a1,x 00 x ax a18.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除值大于 3的概率.【解】【解】XU2,5，即1,2 x 5f(x)3其他0,P(X 3)故所求概率为5312dx 3323202221p C3()C3()33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求 PY1.【解】【解】依题意知X E()，即其密度函数为x15 e,x 0f(x)50,x01515该顾客未等到服务而离开的概率为x15P(X 10)edx e2105Y b(5,e2),即其分布律为kP(Y k)C5(e2)k(1e2)5k,k 0,1,2,3,4,5P(Y 1)1P(Y 0)1(1e)0.51672 520.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从 N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从 N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则 x406040P(X 60)P(2)0.977271010精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除若走第二条路，XN（50，42），则 X 506050P(X 60)P(2.5)0.9938+44故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若 XN（40，102），则 X 404540P(X 45)P(0.5)0.69151010若 XN（50，42），则 X 504550P(X 45)P(1.25)441(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，22），（1）求 P2X5，P4X10，PX2，PX3;（2）确定 c使 PXc=PXc.【解】（1）P(2 X 5)P 23X 3532221 1(1)(1)122 0.841310.6915 0.5328 43X 3103P(4 X 10)P222 77 0.999622P(|X|2)P(X 2)P(X 2)X 323 X 323 P P222215 1 5112222 0.691510.9938 0.6977P(X 3)P(X 33-3)1(0)0.522精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除(2)c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在 10.050.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】【解】P(|X 10.05|0.12)P X 10.050.120.060.061(2)(2)21(2)0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160，2），若要求 P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】【解】P(120 X 200)P120160X 160200160 40 40 40 21 0.840 31.251.29故24.设随机变量 X分布函数为A Bext,x 0,F（x）=(0),x 0.0,（1）求常数 A，B；（2）求 PX2，PX3；（3）求分布密度 f（x）.lim F(x)1A1x【解】【解】（1）由得lim F(x)lim F(x)B 1x0 x0（2）P(X 2)F(2)1e2P(X 3)1F(3)1(1e3)e3ex,x 0(3)f(x)F(x)x 00,25.设随机变量 X的概率密度为精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 x,f（x）=2 x,0,0 x 1,1 x 2,其其他他.求 X 的分布函数 F（x），并画出 f（x）及 F（x）.【解】【解】当 x0时 F（x）=0当 0 x1时F(x)xf(t)dt 0f(t)dt f(t)dt0 xx2tdt 02x当 1x0;bx,1(2)f(x)=2,x0,【解】（1）由0 x 1,1 x 2,其其他他.|x|试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.f(x)dx 1知1aedx 2aexdx 02a故a 2精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除xe,x 02即密度函数为f(x)exx 02当 x0 时F(x)当 x0时F(x)1xxf(x)dx 01exdx ex22xf(x)dx 2e dxxx20exdx1xe2故其分布函数1x1e,x 02F(x)1ex,x 02(2)由1f(x)dx bxdx01211b1dx 2x22得 b=1即 X 的密度函数为0 x 1x,1f(x)2,1 x 2x其他0,当 x0时 F（x）=0当 0 x1时F(x)xf(x)dx 0f(x)dxf(x)dx0 xx0 x2xdx 2当 1x0时，FY(y)P(Y y)P(e y)P(X ln y)xln yfX(x)dxdFY(y)111ln2 y/2fx(ln y)e,y 0dyyy2故fY(y)2(2)P(Y 2X 11)1精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除当 y1 时FY(y)P(Y y)0当 y1时FY(y)P(Y y)P(2X21 y)y 12y 1 P X PX22y 12(y1)/2(y1)/2fX(x)dx2y1y1 fXfXy122d1故fY(y)FY(y)dy41221(y1)/4e,y 1y12(3)P(Y 0)1当 y0 时FY(y)P(Y y)0当 y0时FY(y)P(|X|y)P(y X y)yyfX(x)dxdFY(y)fX(y)fX(y)dy2y2/2e,y 02故fY(y)31.设随机变量 XU（0,1），试求：（1）Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z=2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1）P(0 X 1)1故P(1Y e e)1当y 1时FY(y)P(Y y)0当 1ye时FY(y)P(e y)P(X ln y)XXln y0dx ln y精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除当 ye 时FY(y)P(eX y)1即分布函数y 10,FY(y)ln y,1 y e1,y e故 Y 的密度函数为 11 y efY(y)y,0,其他（2）由 P（0X0时，FZ(z)P(Z z)P(2ln X z)P(ln X )P(X ez2z/2)1z/2edx 1ez/2即分布函数z 00,FZ(z)-z/21-e,z 0故 Z的密度函数为1z/2e,z 0fZ(z)2z 00,32.设随机变量 X的密度函数为2x,0 x ,f(x)=2其他.0,试求 Y=sinX 的密度函数.【解】P(0 Y 1)1当 y0 时，FY(y)P(Y y)0当 0y1时，FY(y)P(Y y)P(sin X y)精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 P(0 X arcsin y)P(arcsin y X )arcsin y02x2xdxdx22arcsin y11222（arcsin y）12（arcsin y）2arcsin y当 y1 时，FY(y)1故 Y 的密度函数为12,0 y 12fY(y)1 y0,其他33.设随机变量 X的分布函数如下：1,F(x)1 x2(2),试填上(1),(2),(3