1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程.pdf

年年20192019 年全国高中数学联赛试题分类汇编年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分函数与方程部分a8a2019A12019A1、已知正实数已知正实数a满足满足a 9a，则，则loga3a的值为的值为答案：答案：91618916解析：解析：由条件知由条件知9a a，故，故3a 9aa a，所以，所以loga3a(9。162019A2019A二、二、（本题满分本题满分 4040 分）分）设整数设整数a1,a2,2f a12a2,a2019满足满足1 a1 a2 a2019 99记记2a2019a1a3a2a4a3a5a2017a2019，求，求f的最小值的最小值f0并确并确定使定使f f0成立的数组成立的数组a1,a2,a2019的个数的个数22018解析：解析：由条件知由条件知2 f a a a2122a22019ai12017i2ai 2由于由于a1,a2及及ai2ai（i 1,2,2 a2且且2016）均为非负整数，故有）均为非负整数，故有a12 a1,a2ai2ai2 ai2ai于是于是2016i1a21a22ai2ai a1a2ai2aia2017a2018i1220161010 分分】22由、得由、得2 f a2017a2018a2019a2017a2018，结合，结合a2019 2019及及a20192a2018 a2017 0，可知，可知f 12222a201799a2017a2017992a2017497400 7400 20202 a19201，a19202k1 a19202k k（k 1,2,分分另一方面，另一方面，令令a1 a2,49），a2019 99此时验证知上述所有不等式均取到等号，此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而从而f的最小值的最小值f0 7400 3030 分分以下考虑的取等条件此时以下考虑的取等条件此时a2018 a2017 49，且中的不等式均取等，且中的不等式均取等，即即a1 a21，ai2ai0,1（i 1,2,）2016）。）。a2018 49，且对每个，且对每个k（1 k 49），），a1,a2,因此因此1 a1 a2,a2018中至少有中至少有两项等于两项等于k易验证知这也是取等的充分条件易验证知这也是取等的充分条件对每个对每个k（1 k 49），设设a1,a2,且且1n11n2整数解整数解n1,n2,a2018中等于中等于k的项数为的项数为nk1，则则nk为正整数，为正整数，n491969，该方程的正该方程的正1n49 2018，即即n1n248，且每组解唯一对应一个使取等的数组，且每组解唯一对应一个使取等的数组,n49的组数为的组数为C196848个个4040,a2019有有C1968a1,a2,分分,a2019，故使，故使f f0成立的数组成立的数组a1,a2,2019B2019B 10.10.（本题满分（本题满分 2020 分）设分）设a,b,c均大于均大于1，满足，满足值。值。lgalogbc 3，求，求lgalgc的最大的最大lgblog c 4a解析：解析：设设x lga，y lgb，z lgc，由，由a,b,c 1，可知，可知x,y,z 0。由条件及换底公式得由条件及换底公式得xzz 3，y 4，即，即xy z 3y 4x，由此令，由此令x 3t,y 4tyx2（t 0），则，则z 4x xy 12t 12t 0，得，得0t 1。所以。所以t t 22t162lgalgc 3t12t1t18t2t18，当且仅当，当且仅当t 22t，333216即即t 时取得等号，相应的时取得等号，相应的a 100,b c 103，所以，所以lgalgc的最大值为的最大值为。332018A2018A 5 5、设设f(x)是定义在是定义在R上的以上的以2为周期的偶函数，在区间为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足上严格递减，且满足8 1 x 2f()1，f(2)2，则不等式组，则不等式组的解集为的解集为1 f(x)2答案：答案：2,82(解析：解析：由由f(x)为偶函数及在区间为偶函数及在区间0,1上严格递减知，上严格递减知，f(x)在在1,0上递增，结合周期性上递增，结合周期性知，知，f(x)在在1,2上递增，又上递增，又f(2)f()1，f(82)f(2)f(2)2，所以不等式等价于所以不等式等价于f(2)f(x)f(82)，又，又1282 2所以所以2 x 82，即不等式的解集为，即不等式的解集为2,822018A2018A，B 9B 9、（本题满分（本题满分 1616 分）分）log3x 1,0 x 9f(x)已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)为为，设，设a,b,c是三个互不是三个互不,x 94 x相同的实数，满足相同的实数，满足f(a)f(b)f(c)，求，求abc的取值范围。的取值范围。解析：解析：不妨设不妨设a b c，由于，由于f(x)在在0,3上递减，在上递减，在3,9上递增，在上递增，在9,上递减，且上递减，且f(3)0，f(9)1，结结 合合 图图 像像 知知：a0,3，b3,9，c9,，且且f(a)f(b)f(c)0,1。由由f(a)f(b)得得log3alog3b 2，即，即ab 9，此时，此时abc 9c，又又f(c)4c，由，由0 4c 1得得c9,16，所以，所以abc 9c81,144。2018B2018B 7 7、设设f(x)是定义在是定义在R上的以上的以2为周期的偶函数，在区间为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足上严格递减，且满足 0 x 1的解集为的解集为f()1，f(2)0，则不等式组，则不等式组0 f(x)1答案：答案：26,4解析：解析：由由f(x)为偶函数及在区间为偶函数及在区间1,2上严格递减知，上严格递减知，f(x)在在 2,1上递增，结合周期上递增，结合周期性知，性知，f(x)在在0,1上递增，又上递增，又f(4)f()1，f(26)f(2)0，所以不等，所以不等式等价于式等价于f(26)f(x)f(4)，又，又0 26 41，即不等式的解集为，即不等式的解集为26,4.2017A12017A1、设设f(x)是定义在是定义在R上函数，对任意的实数上函数，对任意的实数x有有f(x 3)f(x 4)1，又当，又当0 x 7时，时，f(x)log2(9 x)，则，则f(100)的值为的值为:答案：答案：1211 f(5)2x解析：解析：由条件知，由条件知，f(x 7)f(x)1，即即f(x 7)f(x 14)1，故故f(x)f(x 14)，即函数即函数f(x)的周期为的周期为14，所以，所以f(100)f(2)2017B 32017B 3、设设f(x)是定义在是定义在R上的函数，上的函数，若若f(x)x是奇函数，是奇函数，f(x)2是偶函数，是偶函数，则则f(1)的值为的值为答案：答案：2742解析：解析：由条件知，由条件知，f(1)1(f(1)(1)f(1)1，f(1)2 f(1)两式相加消去两式相加消去f(1)，可知：，可知：2 f(1)3 1，217，即，即f(1).24w均不等于均不等于1，v，logvu logwv 3，2016A 32016A 3、正实数正实数u，若若loguvw logvw 5，则则logwu的值为的值为答案：答案：45解析：解析：令令loguv a，logvw b，则，则11，logwv，loguvw loguv loguvlogvw a abab115条件化为条件化为a abb 5，3，由此可得，由此可得ab，因此，因此ab44logwu logwvlogvu 5logvu 2016A2016A 1010、（本题满分（本题满分 2020 分）已知分）已知f(x)是是R上的奇函数，上的奇函数，f(1)1，且对任意，且对任意x 0，均有，均有x1111111)xf(x)。求。求f(1)f()f()f()f()f()f()f()的值。的值。x 110029939850511解析：解析：设设an f()(n=1=1，2 2，3 3，），），则，则a1 f(1)1n1xx1k1，及及f(x)为奇函为奇函在在f()xf(x)中取中取x (k N*)，注意到注意到1x 1k 1x 1k1kf(数可知数可知11111)f()f()5 5 分分k 1kkkkn1ak11ak1n111，从而，从而an a1即即1010 分分akkak(n 1)!k1k1kf(因此因此.a aii150101i4911(i 1)!(100 i)!i!(99i)!i1i050149i149i1129899i99(C99C99)22020 分分C9999!99!i099!299!i02015A12015A1、设设a、b为两不相等的实数，若二次函数为两不相等的实数，若二次函数f(x)x ax b满足满足f(a)f(b)，则，则答案：答案：4。2f(2)的值为的值为解析：解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得aba，即，即2ab 0，所以，所以22f(2)42ab 42015A 92015A 9、（本题满分本题满分 1616 分）若实数分）若实数a,b,c满足满足2 4 2，4 2 4，求，求c的最小值。的最小值。解析：解析：将将2,2,2分别记为分别记为x,y,z，则，则x,y,z 0 2222222224由条件知，由条件知，x y z,x y z，故，故z y x (z y)z 2y z y8 8 分分因此，结合平均值不等式可得，因此，结合平均值不等式可得，abcabcabcy4 y111133221 132y z(2y)321212 分分22y4yy4y y41133，即，即y 时，时，z的最小值为的最小值为32（此时相应的（此时相应的x值为值为32，符合要求），符合要求）3y44235由于由于c log2z，故，故c的最小值的最小值log2(32)log231616 分分43当当2y 2 2016B 42016B 4、已知已知f(x),g(x)均为定义在均为定义在R上的函数，上的函数，f(x)的图像关于直线的图像关于直线x 1对称，对称，g(x)的的图像关于点图像关于点(1,2)中心对称，且中心对称，且f(x)g(x)9 x 1，则，则f(2)g(2)的值为的值为答案：答案：2016解析：解析：由条件知由条件知f0 g0 2,f2 g28181 90.【由由fx,gx图像的对称性，可得图像的对称性，可得f0 f2,g0 g2 4,结合知，结合知，f2 g2 4 f0 g0 2.x3由、解得由、解得f2 48,g2 42,从而从而f2g2 4842 2016.另解：因为另解：因为fx gx 9x x31，所以所以f2 g2 90.因为因为fx的图像关于直线的图像关于直线x 1对称，所以对称，所以fx f2 x.又又因因为为gx的的图图像像关关于于点点1,2中中心心对对称称，所所以以函函数数hx gx 1 2是是奇奇函函数数，hx hx，gx12 gx12，从而，从而gx g2 x 4.将、代入，再移项，得将、代入，再移项，得f2 x g2 x 9x x35.在式中令在式中令x 0，得，得f2 g2 6.由、解得由、解得f2 48,g2 46.于是于是f2g2 2016.2014A12014A1、若正数若正数a、b满足满足2 log2a 2 log3b log6(a b)，则，则答案：答案：108 11的值为的值为abk2k3k解析：解析：设设2 log2a 3 log3b log6(a b)k，则，则a 2，b 3，a b 6，11a b6kk2 2233108。从而从而k3abab23 a x2015B12015B1、已知函数已知函数f(x)xalog2x0,3x(3,)，其中其中a为常数，为常数，如果如果f(2)f(4)，则则a的的取值范围为取值范围为答案：答案：2,解析：解析：f(2)a2,f(4)2a，所以，所以a2 2a，解得：，解得：a 22015B 22015B 2、已知已知y f(x)x为偶函数，且为偶函数，且f(10)15，则，则f(10)的值为的值为答案：答案：20153解析：解析：由己知得由己知得f(10)(10)f(10)10，即，即f(10)f(10)2000=2015=2015 332014A 32014A 3、若函数若函数f(x)x a|x 1|在在0,)上单调递增，则实数上单调递增，则实数a的取值范围为的取值范围为答案：答案：2,0解析：解析：在在1,)上，上，f(x)x ax a单调递增，单调递增，等价于等价于22a1，即即a 2。在在0,1上，上，2f(x)x2 ax a单调递增，等价于单调递增，等价于;a 0，即，即a 0，因此实数，因此实数a的取值范围是的取值范围是2,02,、2014B12014B1、若函数若函数f(x)的图像是由依次连接点的图像是由依次连接点(0,0)，(1,1)，(2,3)的折线，则的折线，则f答案：答案：1(2)32 32 32解析：解析：可求得直线可求得直线y 2与函数图像的交点为与函数图像的交点为,2，即，即f 2，根据反函数的性质知，根据反函数的性质知f1(2)3。22014B 82014B 8、设设g(x)x(1 x)，是定义在区间，是定义在区间0,1上的函数，则函数上的函数，则函数y xg(x)的图的图像与像与x轴所围成图形的面积为轴所围成图形的面积为答案：答案：16解析：解析：显然显然g(x)的图像与的图像与x轴围成一个半圆，我们用轴围成一个半圆，我们用A表示表示xg(x)与与x轴围成的图形。直轴围成的图形。直线线2x 1是半圆的对称轴，它将是半圆的对称轴，它将A分成左右两个部分。我们知道：分成左右两个部分。我们知道：xg(x)(1 x)g(1 x)xg(x)(1 x)g(x)g(x)（0 x 下图所示：下图所示：1），这个式子的几何意义如这个式子的几何意义如2根据祖暅原理的二维形式，根据祖暅原理的二维形式，A的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。11即我们要求的面积是即我们要求的面积是。42162014B2014B 二、二、（本题满分（本题满分 4040 分）在同一直角坐标系中，函数分）在同一直角坐标系中，函数f(x)函数函数y f12ax 4（a 0）与其反）与其反(x)的图像恰有三个不同的交点的图像恰有三个不同的交点.求实数求实数a的取值范围，并证明你的结论。的取值范围，并证明你的结论。121解析：解析：由题意可得其反函数由题意可得其反函数f(x)x 4，记，记f(x)与其反函数与其反函数f1(x)的交点坐标的交点坐标au2 av 4为为u,v，则，则2，两式子相减得，两式子相减得u vu v a 0，得，得u v或或u v a 0，v au 4若若a 0，显然两个函数的图像都在第一象限，所以，显然两个函数的图像都在第一象限，所以u v a 0，联立，联立u v和和,u2 av4，得到一个交点（另一个是负数），得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相符，故，与题目要求三个交点不相符，故a 0a a216 a a2162；,当当a 0时，联立时，联立u v和和u av4，得交点，得交点22 a 3a216 a 3a2162,联立联立u v a 0和和u av4，得交点，得交点22 a 3a216 a 3a216，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故,或或224 3163a2 04 3 a 2,2解得解得，即所求的范围为，即所求的范围为。233a 163a 0：2013A 52013A 5、设设a,b为实数，函数为实数，函数f(x)ax b满足：对任意满足：对任意x0,1，都有，都有f(x)1，则，则ab的最大值为的最大值为答案：答案：14解析：解析：由题意得由题意得a f(1)f(0)，b f(0)（21111所所以以ab f(0)f(1)f(0)f(0)f(1)f2(1)f2(1)，当当且且仅仅当当24441112 f(0)f(1)1，即，即a b 时，时，ab，故所求最大值为，故所求最大值为。2442013A 72013A 7、若实数若实数x,y满足满足x4 y 2 x y，则实数，则实数x的取值范围为的取值范围为答案：答案：04,20 解析：解析：令令y a，x y b，显然，显然a 0，b 0，且，且x a2b2，x4 y 2 x y即为即为a2b2 4a 2b，亦为亦为a 2b 1 5（a 0，b 0），以，以a,b为坐标为坐标22作图如图示，在平面作图如图示，在平面aOb内，内，a,b的轨迹为如图所示的轨迹为如图所示的实线部分含原点的实线部分含原点O，因此，因此a2b20 2,2 5，22即即x a b 04,20。2013A 112013A 11、（本题满分本题满分 2020 分）设函数分）设函数f(x)ax b，求所有的正实数对，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意，使得对任意的实数的实数x,y均有均有f(xy)f(x y)f(x)f(y)。解析：解析：已知即可变为：已知即可变为：ax y b ax yb ax b ay b.先寻找先寻找a,b所满足的必要条件。所满足的必要条件。222222式中，令式中，令y 0，的对任意的，的对任意的x都有都有1bax b2b 0，由于，由于a 0，故，故ax可以取可以取2到任意大的正值，因此必有到任意大的正值，因此必有1b 0，即，即0 b 1。式式 中中，令令y x，得得ax4b b ax2ba ax24 2abx2 2b b2 0g(x)a a2x4 2abx2 2b b22，即即 对对 任任 意意 实实 数数x，有有，即即记记bb22a bg(x)a a x2 1a1a22 a a2 0要要g(x)0恒成立，则恒成立，则b，即，即0 a 1，0 b 1，2a b 22 2a b 01 a下面证明对满足的任意实数对下面证明对满足的任意实数对a,b及任意实数及任意实数x,y，总有成立，总有成立，222222令令h(x,y)(a a)x y a(1b)(x y)2axy (2b b)0恒成立，恒成立，b222 2a b 0，a a2 0，事实上，事实上，在成立时，在成立时，有有a(1b)0，又又x y 2xy，1 a222222可得可得h(x,y)(a a)x y a(1b)(x y)2axy (2b b)(a a2)x2y2 a(1b)(2xy)2axy (2b b2)(a a2)x2y2 2abxy (2b b2)2bb22a b(a a)xy 1a1a综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的(a,b)为为a,b0 b 1,0 a 1,2a b 2。22013B 22013B 2、设设i 1为虚数单位，则为虚数单位，则i 2i23i3】答案：答案：10061007i解析：解析：因为因为i 2i23i3 2013i20131005项 2013i20132 4682010 20121357 2011 2013i 10061007i 1006项2013B 52013B 5、在区间在区间0,中，方程中，方程sin12x x的解的个数为的解的个数为$答案：答案：4解析：解析：因为当因为当x 1时，时，sin12x 1 x，方程无解；当，方程无解；当x0,1时，时，312 4，做出，做出y sin12x及及y x的图像即可得到。的图像即可得到。2013B 62013B 6、定义在实数上的函数定义在实数上的函数fx答案：答案：、sinx1 x x2xR的最小值是的最小值是2 33212 3133解析：解析：因为因为x2 x 1 x ，sinx 1，知，知f(x)，24433412 32 31又当又当x 时，时，f()，所以所求最小值为，所以所求最小值为。23322013B2013B 7 7、设设a,b为实数，函数为实数，函数fx axb满足：对任意满足：对任意x0,1，fx1，则，则ab的的最大值为最大值为答案：答案：、解析：解析：由题意得由题意得a f(1)f(0)，b f(0)141111所所以以ab f(0)f(1)f(0)f(0)f(1)f2(1)f2(1)，当当且且仅仅当当24441112 f(0)f(1)1，即，即a b 时，时，ab，故所求最大值为，故所求最大值为。2442012A 32012A 3、设设x,y,z0,1，则，则M|x y|y z|z x|的最大值为的最大值为答案：答案：2 1解析：解析：不妨设不妨设0 x y z 1,则则M 2yx z y zx.因为因为yx z y 2(yx)(z y)2(zx).1时上式等号同时成立时上式等号同时成立.故故Mmax2 1.2所以所以M 2(zx)zx(2 1)zx 2 1.当且仅当当且仅当y x z y,x 0,z 1,y%22012A2012A 6 6、设函数设函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x 0时，时，f(x)x.若对任意的若对任意的xa,a 2，不等式，不等式f(x a)2 f(x)恒成立，则实数恒成立，则实数a的取值范围是的取值范围是答案：答案：2,).2x(x 0)解析：解析：由题设知由题设知f(x),则则2 f(x)f(2x).因此因此,原不等式等价于原不等式等价于2x(x 0)f(x a)f(2x).因为因为f(x)在在R上是增函数上是增函数,所以所以x a 2x,即即a (2 1)x.又又xa,a2,所以当所以当x a2时时,(2 1)x取得最大值取得最大值(2 1)(a 2).因此因此,a (2 1)(a 2),解得解得a 2.故故a的取值范围是的取值范围是 2,).解析：解析：令令t sin x，则，则1 t 1，函数，函数f(x)即为即为g(t)t at a 23，由，由f(x)0a3g(1)1 0a即即g(t)0对任意对任意1 t 1恒成立，即恒成立，即，解得，解得0 a 1，3g(1)1 2a 0a故所求实数故所求实数a的取值范围为的取值范围为0,1a因为因为a 2，所以，所以g(t)的对称轴的对称轴x 1，有，有g(t)在在1,1上递增，上递增，2333所以所以g(t)的最小值为的最小值为g(1)1，即即f(x)的最小值为的最小值为1，由由1 0，解得解得0 a 3，aaa又又a 2，故所求实数，故所求实数a的取值范围为的取值范围为2,3|2011A 22011A 2、函数函数f(x)答案：答案：(,x21的值域为的值域为x 12(1,)2解析：解析：提示：设提示：设x tan,22，且，且4，则，则2 sin()412(1,)且且u 0，所以，所以f(x)(,u2;2011A 32011A 3、设设a,b为正实数，为正实数，答案：答案：1解析：解析：由由211f(x)costan1sincos1 设设u 则则2 u 1，2 sin()，411 2 2，(a b)2 4(ab)3，则，则logab ab11 2 2，得，得ab 2 2abab2332又又(ab)4ab(ab)4ab4(ab)42 ab(ab)8(ab)，即，即ab 2 2ab于是于是ab 2 2ab 再由不等式中等号成立的条件，得再由不等式中等号成立的条件，得ab 1与联立解得与联立解得故故logab 12011A 92011A 9、（本题满分（本题满分 1616 分）分）a 2 1,b 2 1,或或a 2 1,b 2 1,，已已 知知 函函 数数f(x)|lg(x 1)|，实实 数数a,b（a b）满满 足足f(a)f(求实数求实数a,b的值。的值。b 1)，b 2f(10a 6b 21)4lg2.b1b11所以所以|lg(a1)|lg()，1)|lg()|lg(b2)|，b2b2b2所所 以以a1 b2或或(a1)(b2)1，又又 因因 为为a b，所所 以以a1 b2，所所 以以(a1)(b2)1又由又由f(a)|lg(a 1)|有意义知有意义知0 a1，从而，从而0 a1 b1 b2，于是于是0 a11 b2解析：解析：因为因为f(a)f(101b21010|lg6(b2)从而从而f(10a6b21)|lg6(b2)b2b210又又f(10a6b21)4lg2，所以，所以lg6(b2)4lg2，b210116解得解得b 或或b 1（舍去）（舍去）故故6(b2)3b212把把b 代入代入(a1)(b2)1解得解得a 35所以所以(10a6b21)110(a1)6(b2)6(b2)所以所以a 21，b 532011B 32011B 3、若正实数若正实数答案：答案：解析：解析：由，得由，得又又，即，即 满足，则满足，则.于是于是再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或，再由不等式中等号成立的条件，得与联立解得或，故故 2011B 92011B 9、（本题满分（本题满分 1616 分）分）已知实数满足：，已知实数满足：，.求实数的取值范围求实数的取值范围.解析：解析：令，由得，代入得令，由得，代入得由方程有实根，得，解得。由方程有实根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，综上可得，由方程及可得，又，所以，即，解得，综上可得，即，所以实数的取值范围为。即，所以实数的取值范围为。：2011B2011B 三、三、（本题满分（本题满分 5050 分）设实数，且满足分）设实数，且满足，求的最大值，求的最大值.解析：解析：由已知等式可得，由已知等式可得，令，则，则式等价于令，则，则式等价于易知易知.令，则。令，则。设，则设，则￥。当时，由平均不等式得当时，由平均不等式得所以，从而，整理得，所以，从而，整理得，即，所以。即，所以。式中等号成立的条件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大值为。式中等号成立的条件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大值为。2010AB12010AB1、函数的值域为函数的值域为答案：答案：解析：解析：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.2010AB 22010AB 2、已知函数的最小值为，则实数的取值范围为已知函数的最小值为，则实数的取值范围为答案：答案：解析：解析：令，则原函数化为，即令，则原函数化为，即.由，由，及及 知知 即即.（1 1）当时（当时（1 1）总成立；对；对）总成立；对；对.从而可知从而可知|2010AB 52010AB 5、函数（，且）在区间上的最大值为，则它在这个区间上的最小值为函数（，且）在区间上的最大值为，则它在这个区间上的最小值为答案：答案：解析：解析：令则原函数化为令则原函数化为,在上是递增的在上是递增的.当时，当时，,，;所以所以；当时，当时，所以所以.综上在上的最小值为综上在上的最小值为.&2010AB 92010AB 9、（本题满分（本题满分 1616 分）分）已知函数，已知函数，（）（），当时，求实数的最大值。，当时，求实数的最大值。解析：解析：解法一：解法一：由由 得得.所以所以，所以所以.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.解法二：解法二：.设，则当时，设，则当时，.设设，则，则.容易知道当时，容易知道当时，.从而当时，从而当时，即，即，￥从而从而,，由，由 知知.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.2010A 112010A 11、（本题满分（本题满分 2020 分）证明：方程恰有一个实根，且存在唯一严格递增的正整数数列，分）证明：方程恰有一个实根，且存在唯一严格递增的正整数数列，使得。使得。证明：证明：令，则，所以是严格递增的令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根又，故有唯一实数根.所以，所以，即即.故数列是满足题设要求的数列故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列和满足若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的这里，所有的与都是不同的.*不妨设，则，不妨设，则，矛盾矛盾.故满足题设的数列是唯一的故满足题设的数列是唯一的.%2009*12009*1、函数，且，则函数，且，则答案：答案：解析：解析：由题意得，由题意得，.故故.,2009*62009*6、若关于的方程仅有一个实根，则实数的取值范围为若关于的方程仅有一个实根，则实数的取值范围为答案：答案：或或解析：解析：由题意，方程等价于，当且仅当由题意，方程等价于，当且仅当（1 1）；（；（2 2）；（3 3）对（对（3 3）由求根公式得）由求根公式得（4 4）又或又或当时，由（当时，由（3 3）得，所以同为负根。）得，所以同为负根。又由（又由（4 4）知，所以原方程有一个解。）知，所以原方程有一个解。当时，原方程有一个解当时，原方程有一个解】当时，由（当时，由（3 3）得，所以同为正根，且，不合题意。）得，所以同为正根，且，不合题意。综上可得或为所求。综上可得或为所求。2009*112009*11、（本题满分（本题满分 1515 分）求函数的最大和最小值。分）求函数的最大和最小值。解析：解析：函数的定义域为。因为函数的定义域为。因为当时等号成立。故的最小值为当时等号成立。故的最小值为 又由柯西不等式得又由柯西不等式得所以所以 1010 分分由由 柯柯 西西 不不 等等 式式 等等 号号 成成 立立 的的 条条 件件，得得 解解 得得.故故 当当 时时 等等 号号 成成 立立。因因 此此 的的 最最 大大 值值 为为11.11.1515 分分2008AB12008AB1、函数在上的最小值为（函数在上的最小值为（）A.A.B.B.C.C.D.D.，答案：答案：C C解析：解析：当时，因此当时，因此，当且仅当时取等号而此方程有解，因此在上的最小值为，当且仅当时取等号而此方程有解，因此在上的最小值为 2 22008A 72008A 7、设，其中为实数，若，则设，其中为实数，若，则、答案：答案：解析：解析：由题意知，由得，因此，由题意知，由得，因此，2008B 72008B 7、设，其中为实数，若，则设，其中为实数，若，则答案：答案：解析：解析：由题意知，由题意知，由得，因此，由得，因此，因此因此2008AB 82008AB 8、设的最小值为，则实数设的最小值为，则实数答案：答案：！解析：解析：，(1)(1)时，当时取最小值；时，当时取最小值；(2)(2)时，当时取最小值时，当时取最小值 1 1；(3)(3)时，当时取最小值时，当时取最小值又或时，的又或时，的 c c 不能为，故，不能为，故，解得，解得，(舍去舍去)2008A 112008A 11、设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则答案：答案：解析：解析：方法一：由题设条件知方法一：由题设条件知：，因此有，故因此有，故；方法二：方法二：令，则令，则，【即，故，得是周期为即，故，得是周期为 2 2 的周期函数，所以的周期函数，所以2008B 112008B 11、设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则答案：答案：解析：解析：解法一解法一 由题设条件知由题设条件知，因此有，故因此有，故；解法二解法二 令，则令，则，即，即，故，故，得是周期为得是周期为 2 2 的周期函数，所以的周期函数，所以2008A B142008A B14、解不等式解不等式解析：解析：方法一：由，且在上为增函数，故原不等式等价于方法一：由，且在上为增函数，故原不等式等价于即即分组分解得分组分解得.，所以，即。所以，即。解得故原不等式解集为解得故原不等式解集为】方法二：方法二：由，且在上为增函数，故原不等式等价于由，且在上为增函数，故原不等式等价于即，即，令，则不等式为，令，则不等式为，显然在上为增函数，由此上面不等式等价于显然在上为增函数，由此上面不等式等价于，即，解得，故原不等式，即，解得，故原不等式解集为解集为,2008A2008A 二、二、（本题满分（本题满分 5050 分）设是周期函数，和是的周期且，证明：分）设是周期函数，和是的周期且，证明：若为有理数，则存在素数，使是的周期；若为有理数，则存在素数，使是的周期；若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，（）（）,且每个（）都是的周期。且每个（）都是的周期。证明：证明：（1 1）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得 于是是的周期又于是是的周期又因，从而设是的素因子，则，从而因，从而设是的素因子，则，从而 是的周期是的周期（2 2）若是无理数，令）若是无理数，令，则，且是无理数，令，则，且是无理数，令，由数学归纳法易知均为由数学归纳法易知均为 无理数且又，故，即因此是递减数列无理数且又，故，即因此是递减数列最后证：最后证：每个是的周期每个是的周期事实上，事实上，因因 1 1 和是的周期，和是的周期，故亦是的周期故亦是的周期假设是的周期，假设是的周期，则也是的则也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期周期由数学归纳法，已证得均是的周期2006*22006*2、设，则实数的取值范围为设，则实数的取值范围为A.A.B.B.，且，且C.C.D.D.答案：答案：B B解析：解析：因为，解得因为，解得.）由由,解得解得；或；或解得解得，所以的取值范围为，所以的取值范围为.2006*52006*5、设函数，则对于任意实数，是的设函数，则对于任意实数，是的A.A.充分必要条件充分必要条件B.B.充分而不必要条件充分而不必要条件C.C.必要而不充分条件必要而不充分条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A A解析：解析：显然为奇函数，且单调递增。于是显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有若，则，有，即，从而有.反之，若，则反之，若，则,推出推出，即，即。2006*152006*15、（本题满分（本题满分 2020 分）设分）设.记，集合对所有正整数，。证明：记，集合对所有正整数，。证明：证明：证明：（）如果，则，。（）如果，则，。,（）如果，由题意（）如果，由题意，,.,.则则 当当 时，（）时，（）.事实上，当时，事实上，当时，,设时成立（为某整数）设时成立（为某整数），则对，则对，.当当 时，（）时，（）.事实上，当时，事实上，当时，,设时成立（为某整数）设时成立（为某整数），则对，有，则对，有.注意到注意到 当时当时,总有，即总有，即.从而有从而有.由归纳法，由归纳法，推出推出。（3 3）当时，当时，记，记，则对于任意，且。则对于任意，且。对于任意，对于任意，,则。则。所以，。所以，。当时，当时，即。即。因此。因此。综合综合（）（）（）（）（）（），我们有。，我们有。:2005*82005*8、已知是定义在上的减函数，若成立，则实数的取值范围为已知是定义在上的减函数，若成立，则实数的取值范围为答案：答案：解析：解析：不等式等价为，解得或。不等式等价为，解得或。-2005*2005*二、二、（本题满分（本题满分 5050 分）分）设正数满足，求函数的最小值。设正数满足，求函数的最小值。解析：解析：由条件得，即由条件得，即 2 2，即，同理，即，同理，由于均为正数，由上式知，由于均为正数，由上式知，故以为边长可以构造一个锐角三角形，其中。故以为边长可以构造一个锐角三角形，其中。则问题等价于：锐角三角形中，则问题等价于：锐角三角形中，求函数求函数=的最小值的最小值.令则令则且且（+、同理，同理，（取等号当且仅当，此时，（取等号当且仅当，此时，综上可知综上可知2004*12004*1、设锐角使关于的方程有重根，则的弧度数为设锐角使关于的方程有重根，则的弧度数为A.A.B.B.或或C.C.或或D.D.答案：答案：B B解析：解析：由方程有