牛吃草讲义及练习答案.pdf

.牛吃草问题教学目标：1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的 普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”“牛吃草”问题主要涉及三个量：“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定“牛吃草”问题是小学应用题中的难点解“牛吃草”问题的主要依据：解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变；每头牛每天的食草量不变；草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”板块一、一块地的“牛吃草问题”【例【例 1 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】【解说】题目翻译过来是：题目翻译过来是：一牧场长满青草，一牧场长满青草，2727 头牛头牛 6 6 个星期可以吃完，个星期可以吃完，或者或者 2323 头牛头牛 9 9 个星期可以吃完。个星期可以吃完。若是若是 2121 头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，27 头牛吃 6 周共吃了276 162份；23 头牛吃 9 周共吃了239 207份第二种吃法比第一种吃法多吃了207162 45份草，这 45 份草是牧场的草96 3周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，那么原有草量为：162615 72供 21 头牛吃，若有 15 头牛去吃每周生长的草，剩下 6 头牛需要726 12(周)可将原有牧草吃完，即它可供 21 头牛吃 12 周27头牛6个星期23头牛9个星期3个星期21头牛？个星期【巩固】【巩固】牧场上长满牧草，牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长每天牧草都匀速生长 这片牧场可供这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天，天，可供可供 15 头牛吃头牛吃 10 天天 供供Word资料.25 头牛可吃几天？头牛可吃几天？【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了1020 200份；15 头牛吃 10 天共吃了1510 150份第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这 50 份草是牧场的草2010 10天 生 长 出 来 的，所 以 每 天 生 长 的 草 量 为50105，那 么 原 有 草 量 为：200520100供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要10020 5(天)可将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天【例【例 2 2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供牧场上有一片匀速生长的草地，可供2727 头牛吃头牛吃 6 6 周，或供周，或供 2323 头牛吃头牛吃 9 9 周，那么它可供多少头周，那么它可供多少头牛吃牛吃 1818 周？周？【解析】【解析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为(27 15)6 72，可供72181519（头）牛吃 18 周【巩固】【巩固】有一块匀速生长的草场，可供有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃头牛吃 25 天，或可供天，或可供 24 头牛吃头牛吃 10 天那么它可供几头牛吃天那么它可供几头牛吃20 天？天？【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么2510 15天生长的草量为12252410 60，所以每天生长的草量为6015 4；原有草量为：24 410 20020 天里，草场共提供草200420 280，可以让28020 14头牛吃 20 天【巩固】【巩固】一牧场放牛一牧场放牛 58 头，头，7 天把草吃完；若放牛天把草吃完；若放牛50 头，则头，则9 天吃完假定草的生长量每日相等，每头天吃完假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6 天可以把草吃完天可以把草吃完?【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22，原有草量为：509229 252，(252 226)6 64(头)【巩固】【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，林子里有猴子喜欢吃的野果，2323 只猴子可在只猴子可在 9 9 周内吃光，周内吃光，2121 只猴子可在只猴子可在 1212 周内吃光，问如果周内吃光，问如果要要 4 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15，原有的野果为(2315)9 72，如果要 4 周吃光野果，则需有7241533只猴子一起吃【例【例 3 3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供草可供 20 头牛吃头牛吃 5 天，或可供天，或可供 15 头牛吃头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃天照此计算，可以供多少头牛吃10 天？天？【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：20105 150；10 天吃完需要牛的头数是：15010105(头)【巩固】【巩固】由于天气逐渐冷起来，由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可如果某块草地上的草可供供 2525 头牛吃头牛吃 4 4 天，或可供天，或可供 1616 头牛吃头牛吃 6 6 天，那么可供多少头牛吃天，那么可供多少头牛吃1212 天天？【解析】【解析】设 1 头牛 1 天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(6 4)2；原来牧场有草(25 2)4 108，12 天吃完需要牛的头数是：108122 7(头)或(108122)12 7（头）。【例【例 4 4】一块匀速生长的草地，可供一块匀速生长的草地，可供1616 头牛吃头牛吃 2020 天或者供天或者供 100100 只羊吃只羊吃 1212 天如果一头牛一天吃草量天如果一头牛一天吃草量等于等于 5 5 只羊一天的吃草量，那么这块草地可供只羊一天的吃草量，那么这块草地可供1010 头牛和头牛和 7575 只羊一起吃多少天？只羊一起吃多少天？【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，所以 100 只羊吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天那么每天生长的草量为1620 2012201210，原有草量为：161020 12010 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有 10 头牛去Word资料.吃每天生长的草，那么剩下的 15 头牛需要120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10 头牛和 75 只羊一起吃 8 天巩固：有一片草场，草每天的生长速度相同。若巩固：有一片草场，草每天的生长速度相同。若1414 头牛头牛 3030 天可将草吃完，天可将草吃完，7070 只羊只羊 1616 天也可将天也可将草吃完草吃完(4(4 只羊一天的吃草量相当于只羊一天的吃草量相当于 1 1 头牛一天的吃草量头牛一天的吃草量)。那么，。那么，1717 头牛和头牛和 2020 只羊多少天可将只羊多少天可将草吃完草吃完?【解析】【解析】“4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么 14头牛 30 天吃了14430 1680单位草量，而70 只羊 16 天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增加了(16801120)(3016)40草量，原来的草量为11204016 480草量，所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即每天食草 88 草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。【巩固】【巩固】一片牧草，一片牧草，每天生长的速度相同。每天生长的速度相同。现在这片牧草可供现在这片牧草可供 2020 头牛吃头牛吃 1212 天，天，或可供或可供 6060 只羊吃只羊吃 2424 天。天。如果如果 1 1 头牛的吃草量等于头牛的吃草量等于4 4 只羊的吃草量，那么只羊的吃草量，那么1212 头牛与头牛与 8888 只羊一起吃可以吃几天？只羊一起吃可以吃几天？【解析】【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头牛 的 吃 草 量，所 以 草 的 生 长 速 度 为(15242012)(24 12)10，原 有 草 量 为(20 10)12 120，12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃120(12 2210)5（天）模块二、“牛吃草问题”的变形模块二、“牛吃草问题”的变形【例【例 5 5】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果如果 1010 人淘水，人淘水，3 3 小时淘完；如小时淘完；如5 5 人淘人淘水，水，8 8 小时淘完小时淘完.如果要求如果要求 2 2 小时淘完，要安排多少人淘水？小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】【解析】设 1 人 1 小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2，原有水量(102)3 24，要求2小时淘完，要安排242214人淘水【巩固】【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3 人淘水人淘水 40 分钟可以淘完；分钟可以淘完；6 人淘水人淘水 16 分钟可以把水淘完，那么，分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？人淘水几分钟可以把水淘完？【解析】【解析】设 1 人 1 分钟淘出的水量是“1”，4016 24分钟的进水量为340616 24，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：3140 805 人淘水需要8051 20(分钟)把水淘完【例【例 6 6】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过台阶，那么他走过 2020 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过3030 级台阶到达级台阶到达地面从站台到地面有地面从站台到地面有级台阶级台阶【解析】【解析】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010阶，电梯的速度为105 2阶/秒，扶梯长度为20(1 2)60（阶）。【巩固】【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 3 级梯级，女孩每秒可走级梯级，女孩每秒可走 2 2 级梯级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100100 秒，女孩走了秒，女孩走了 300300 秒。问：该扶梯共有多少级秒。问：该扶梯共有多少级梯级？梯级？【解析】【解析】本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间）（女孩走的时间男孩走的时间）(23003100)(300100)1.5，自动扶梯的梯级总数女孩每Word资料.秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间 23001.5300 600450150（级）所以自动扶梯共有150 级的梯级。【例【例 7 7】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【解析】【解析】设一个排水阀 1 分钟排水量为“1”，那么进水阀 1 分钟进水量为130 2103010 0.5，水池原有水量为10.530 15关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要1535(分钟)才能排完水池的水【巩固】【巩固】一个蓄水池有一个蓄水池有 1 个进水口和个进水口和 15 个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开开 9 个出水口，个出水口，9 小时可以把水排空如果打开小时可以把水排空如果打开 7 个出水口，个出水口，18 小时可以把水排空如果是一小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过满池水，打开全部出水口放水，那么经过时时分水池刚好被排空分水池刚好被排空【解析】【解析】本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5，半池水的量为：(95)9 36，所以一池水的量为 72如果打开全部 15 个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2小时，即7 小时 12 分钟课后练习：课后练习：1 1、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用天用 4 4 辆汽车，则辆汽车，则9 9 天恰好运完；如果每天用天恰好运完；如果每天用5 5 辆汽车，则辆汽车，则6 6 天恰好运完。仓库里原有的存货若用天恰好运完。仓库里原有的存货若用1 1 辆汽辆汽车运则需要多少天运完？车运则需要多少天运完？【解析】【解析】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为(9456)(96)2，原有存货为(42)9 18，仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要18118（天）2 2、一片茂盛的草地，一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，每天的生长速度相同，现在这片青草现在这片青草 1616 头牛可吃头牛可吃 1515 天，天，或者可供或者可供 100100 只羊吃只羊吃 6 6 天，天，而而 4 4 只羊的吃草量相当于只羊的吃草量相当于l l 头牛的吃草量，那么头牛的吃草量，那么 8 8 头牛与头牛与 4848 只羊一起吃，可以吃多少天只羊一起吃，可以吃多少天?【解析】【解析】设头牛天的吃草量为“”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析16 头牛15 天1615240：原有草量15 天生长的草量100 只羊（25 头牛）6 天256150：原有草量6 天生长的草量从上易发现：1 天生长的草量10；那么原有草量：15010690；8 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中10 头牛去吃新生草，那么剩下的10 头牛吃原有草，90 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天。3 3、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5 5 台抽水机连续台抽水机连续 2020 天抽干，天抽干，6 6 台同样的抽水机连续台同样的抽水机连续 1515天可抽干，若要天可抽干，若要 6 6 天抽干，要多少台同样的抽水机？天抽干，要多少台同样的抽水机？【解析】【解析】设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(205156)(2015)2，原有水量为205202 60，若要 6 天抽干，要6062 12台同样的抽水机4 4、某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派、某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙，个工人砌砖墙，6 天可以天可以把砖用完，如果派把砖用完，如果派160 个工人，个工人，10 天可以把砖用完，现在派天可以把砖用完，现在派120 名工人砌了名工人砌了 10 天后，又增加天后，又增加5 名工人一名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当 于“牛 在 吃 草”所 以 设 1 名 工 人 1 天 砌 砖 数 量 为“1”，那 么 每 天 运 来 的 砖 为16010 2506106 25，原有砖的数量为：250 256 1350Word资料.如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩1350950 400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125 25 4(天)5 5、一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库、一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续台抽水机连续 20 天可抽干；天可抽干；6 台同样的抽水机连续台同样的抽水机连续 15天可抽干天可抽干.若要求若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？天抽干，需要多少台同样的抽水机？【解析】【解析】水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽1 天？205100(台).水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽1 天？61590(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1 天？(10090)(20 15)2(台).原有的水可供多少台抽水机抽1 天？100202 60(台).若 6 天抽完，共需抽水机多少台？6062 12(台).设立几个检票口55511(个)6 6、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走向上走 1 1 梯级，梯级，女孩每女孩每 3 3 秒钟走秒钟走 2 2 梯级。梯级。结果男孩用结果男孩用 5050 秒到达楼上，秒到达楼上，女孩用女孩用 6060 秒到达楼上。秒到达楼上。该楼梯共有该楼梯共有多少级？多少级？【解析】【解析】该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：(5016032)(6050)1。自动扶梯的梯级总数：50(11)100(级)7 7、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派 5 5 个工人加工食品个工人加工食品 3030 天可以把天可以把面粉用完，如果派面粉用完，如果派4 4 个工人，个工人，4040 天可以把面粉用完，现在派天可以把面粉用完，现在派4 4 名工人加工了名工人加工了 3030 天后，又增加了天后，又增加了2 2 名工人名工人一起干，还需要几天加工完？一起干，还需要几天加工完？【分析】【分析】开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”设 1 名工人 1 天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为44053040301，原有面粉量为：5130 120如果4 名工人干 30 天，那么将会加工掉30 天新运来的面粉量以及 90 原有的面粉量，原有还剩12090 30未加工，而后变成 6 名工人，还需要3061 6(天)可以加工完Word资料