2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题强化训练 新人教A版选修2-1.doc

1第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何专题强化训练专题强化训练( (三三) )(建议用时：45 分钟)基础达标练一、选择题1如图 3­8，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )图 3­8A0 0EBBFEHGHB0 0EBFCEHGEC0 0EFFGEHGHD0 0EFFBCGGHB B ，易证四边形EFGH为平行四边形，故EBFCEBBFEFEHGEGH0 0，故选 BEFGH2已知a a(1,2,3)，b b(2,1,2)，c c(1,1,2)，且向量p pc c，则当(p pa a)·(p pb b)取得最小值时，向量p p的坐标为( )A B(1 2，3 4，1 3)(1 2，2 3，3 4)C D(4 3，4 3，8 3)(4 3，4 3，7 3)C C 设p pc c，则p pa ac ca a(1，2,23)，p pb bc cb b(2，1,22)，所以(p pa a)·(p pb b)2(3285)2，所以当 时，(p pa a)·(p pb b)取得最小值，此时p pc c，3(4 3)21 34 3(4 3，4 3，8 3)故选 C3已知平面，是两个不重合的平面，其法向量分别为n n1，n n2，给出下列结论：2若n n1n n2，则；若n n1n n2，则；若n n1·n n20，则；若n n1·n n20，则.其中正确的是( )ABCDA A 由平面的法向量的定义知，正确4已知平面的一个法向量为n n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为( )A B C D 6 4 3 2B B y轴的一个方向向量s s(0,1,0)，cosn n，s s，即y轴与平面n n·s s |n n|·|s s|22所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.22 45如图 3­9，已知E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC的中点，设为二面角D1­AE­D的平面角，则 cos ( ) 【导学号：46342186】图 3­9A B C D2 353232 23A A 以A为坐标原点， ， ，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系ABADAA1(图略)，令正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为 2，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，设平面AED1的法向量为m m(x，y，z)，则AEAD1由Error!，得Error!，令x1，则y2，z2，故m m(1，2,2)又(0,0,2)为AA13平面AED的一个法向量，为二面角D1­AE­D的平面角，所以 cos ，故AA1·m m|AA1|m m|2 3选 A二、填空题6已知向量a a(2,4，x)，b b(2，y,2)，若|a a|6，且a ab b，则xy_.1 或3 由a a(2,4，x)且|a a|6，得 6，x±4，由a ab b，得2242x244y2x0，得Error!或Error!，则xy1 或3.7在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz6AB的法向量的夹角的正弦值为_设平面xOz的法向量为n n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以 cosn n， 74AB6AB，因为n n， 0，所以 sinn n， .n n·AB|n n|·|AB|3t 4|t|ABAB748已知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BHOA，则点H的坐标为_. 【导学号：46342187】设H(x，y，z)，则(x，y，z)，(x，y1，z1)，(1 2，1 2，0)OHBH(1,1,0)因为BHOA，所以·0，即xy10 ，又点H在直线OAOABHOA上，所以，即Error! ，联立解得Error!OAOH所以点H的坐标为.(1 2，1 2，0)三、解答题9如图 3­10，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论图 3­10解 在棱C1D1上存在点F，当F为C1D1的中点时，B1F平面A1BE.证明如下：4以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 2，则B(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，(2,2,1)，(2,0,2)BEBA1设平面A1BE的法向量为m m(x，y，z)，则m m·2x2yz0，且m m·2x2z0，取x1，则z1，y ，BEBA11 2m m是平面A1BE的一个法向量(1，1 2，1)假设在棱C1D1上存在一点F，使B1F平面A1BE，设F(x0,2,2)(0x02)，则(x02,2,0)，B1F则m m·x02 ×21×00，解得x01，B1F1 2当F为C1D1的中点时，B1F平面A1BE.10如图 3­11，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为 2，D为CC1的中点图 3­11(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角A­A1D­B的余弦值的大小. 【导学号：46342188】解 (1)取BC的中点O，连接AO.ABC为正三角形，AOBC在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点， ，的方向分别为x，y，z轴的正方向，OBOO1OA建立如图所示的空间直角坐标系5则B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)33(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)AB13BDBA13·2200，·1430，AB1BDAB1BA1，AB1平面A1BDAB1BDAB1BA1(2)设平面A1AD的法向量为n n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)，AD3AA1Error!，即Error!，令z1，得n n(，0,1)为平面A1AD的一个法向量3由(1)知AB1平面A1BD，为平面A1BD的一个法向量AB1cosn n，AB1n n·AB1|n n|AB1| 3 32 × 2 264二面角A­A1D­B的余弦值为.64能力提升练1在空间四边形ABCD中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，点E，F分ABCD别为线段BC，AD的中点，则的坐标为( )EFA(2,3,3) B(2，3，3)C(5，2,1)D(5,2，1)B B 取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则，ME1 2AB(3 2，5 2，1)MF1 2CD， 所以(2，3，3)，故选 B(7 2，1 2，2)EFMFME2如图 3­12，正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是( )6图 3­12A30° B45°C60°D75°A A 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，(a，a,0)，(0，a 2，a 2)CAAP(a，a 2，a 2)CB设平面PAC的一个法向量为n n，可取n n(0,1,1)，则 cos，n nCB ，所以，n n60°，所以直线BC与平面PAC的夹角为CB·n n|CB|·|n n|a2a2· 21 2CB90°60°30°.3已知向量e e1，e e2，e e3是三个不共面的非零向量，且a a2e e1e e2e e3，b be e14e e22e e3，c c11e e15e e2e e3，若向量a a，b b，c c共面，则_. 【导学号：46342189】1 因为a a，b b，c c共面，所以存在实数m，n，使得c cma anb b，则11e e15e e2e e3(2mn)e e1(m4n)e e2(m2n)e e3，则Error!，解得Error!.4已知平面经过点A(0,0,2)，且平面的一个法向量为n n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_(2,0,0) 设交点为M(x,0,0), 则(x,0，2)，平面的一个法向量AMn n(1，1，1)，则n n·0，解得x2，故x轴与平面的交点坐标是AM(2,0,0)5如图 3­13，在三棱锥A­BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面ABC是等边三角形37图 3­13(1)求证：ADBC(2)在线段AC上是否存在一点E，使直线ED与平面BCD的夹角为 30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由解 (1)作AH平面BCD于点H，连接BH，CH，DH，则四边形BHCD是正方形，且AH1.以D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(1,1,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，BCDA·0，则ADBCBCDA(2)存在满足条件的点E，点E到点C的距离为 1.设E(x，y，z)，则xz>0，y1.又平面BCD的一个法向量为n n(0,0,1)，(x,1，x)，若ED与平面BCD的夹角为DE30°，则与n n的夹角为 60°，DEcos，n ncos 60° ，DEDE·n n|DE|n n|x12x21 2则 2x，解得x或x(舍去)，即E.12x22222(22，1，22)又|1，故线段AC上存在满足条件的点E，点E到点C的距离为 1.CE