2019高中数学 第三章3.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修1-1.doc

13.1.33.1.3 导数的几何意义导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别(难点、易混点)自 主 预 习·探 新 知1导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0)，Pn(xn，f(xn)是曲线yf(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k limx0f(x0)fxnfx0 xnx0(2)导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率，在点P处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？提示 不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线2导函数的概念从求函数f(x)在xx0处导数的过程看到，当xx0时，f(x0)是一个确定的数；当x变化时，f(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)y .limx0fxxfx x基础自测1思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点( )(3)若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处无切线( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)与导函数f(x)之间是有区别的( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)2设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线( )A不存在 B与x轴平行或重合2C与x轴垂直 D与x轴斜交B B 由f(x0)0 知，曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为 0，所以切线与x轴平行或重合3如图 3­1­5 所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)( ) 【导学号：97792127】图 3­1­5A B11 2C2 D0C C 由题意知f(5)1，f(5)583，则f(5)f(5)2.合 作 探 究·攻 重 难求曲线的切线方程(1)y 在点处的切线方程是( )1 x(1 2，2)Ayx2 Byx1 2Cy4x4 Dy4x2(2)已知曲线yx3x2，则曲线过点P(1,2)的切线方程为_思路探究 (1)先求y|x ，即切线的斜率，然后写出切线方程1 2(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P(1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程解析 (1)先求y 在x 处的导数：y .1 x1 21 1 2x1 1 24x 12xy|x 4.1 2limx0y xlimx04 12x所以切线方程是y24，即y4x4.(x1 2)(2)设切点为(x0，xx02)，则得y|xx03 03 limx0x0x3x0x2x3 0x02 x (x)23x0x3x1)3x1.limx02 02 0所以切线方程为y(xx02)(3x1)(xx0)3 02 0将点P(1,2)代入得：2(xx02)(3x1)(1x0)，3 02 0即(x01)2(2x01)0，所以x01 或x0 ，1 2所以切点坐标为(1,2)或，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y22(x1)，(1 2，19 8)即 2xy0，当切点为时，切线方程为yx ，(1 2，19 8)19 81 41 2即x4y90，所以切线方程为 2xy0 或x4y90.答案 (1)C (2)2xy0 或x4y90规律方法 1.求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线yf(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)(2)求f(x0)，写出切线方程yy0f(x0)(xx0)(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f(x0)(4)写出切线方程跟踪训练1(1)曲线yf(x) 在点(2，1)处的切线方程为_2 xx2y40 y limx0fxxfx xlimx02 xx2 x x ，limx02·x xxx x2 x24因此曲线f(x)在点(2，1)处的切线的斜率k .2 221 2由点斜式可得切线方程为y1 (x2)，即x2y40.1 2(2)试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程. 【导学号：97792128】解 设所求切线的切点为A(x0，y0)点A在曲线yx2上，y0x，又A是切点，2 0y 2x.limx0y xlimx0xx2x2 x过点A的切线的斜率y|xx02x0.所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，其斜率为.y05 x03x2 05 x032x0，x2 05 x03解得x01 或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010.所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)，即y2x1和y10x25.求切点坐标在曲线yx2上求一点，使得在该点处的切线：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线 2x6y50；(3)倾斜角为 135°.分别求出满足上述条件的点的坐标思路探究 先求出函数的导函数f(x)，再设切点(x0，y0)，由导数的几何意义知切点(x0，y0)处的切线的斜率为f(x0)，然后根据题意列方程，解关于x0的方程即可求出x0，又点(x0，y0)在曲线yx2上，易得y0.解 设yf(x)，则f(x) limx0fxxfx xlimx05 (2xx)2x.设P(x0，y0)是满足条件的点xx2x2 xlimx0(1)因为切线与直线y4x5 平行，所以 2x04，解得x02，所以y04，即P(2,4)(2)因为切线与直线 2x6y50 垂直，且直线 2x6y50 的斜率为 ，所以1 32x0· 1，解得x0 ，所以y0 ，即P.1 33 29 4(3 2，9 4)(3)因为切线的倾斜角为 135°，所以切线的斜率为1，即 2x01，解得x0 ，1 2所以y0 ，即P.1 4(1 2，1 4)规律方法 解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.跟踪训练2已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解 设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0·x2(x)22 04x02xy xy|xx0 (4x02x)4x0.limx0y xlimx0(1)抛物线的切线平行于直线 4xy20，斜率为 4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(2)抛物线的切线与直线x8y30 垂直，斜率为 8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)导数几何意义的应用探究问题61函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大2函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小如图 3­1­6，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的( )图 3­1­6思路探究 根据面积S增加的快慢情况判断Sf(x)的图象形状解析 函数的定义域为(0，)，当x0,2时，在单位长度变化量 x内面积变化量 S越来越大，即斜率f(x)在0,2内越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量 x内面积变化量 S越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量 x内面积变化量 S为 0，即斜率f(x)在3，)内为常数 0，此时，函数图象为平行于x轴的射线故选 D.答案 D规律方法 函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.跟踪训练3已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图 3­1­7 所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为_(请用“>”连接)7图 3­1­7k1>k3>k2 由导数的几何意义可得k1>k2，又k3表示割线AB的斜率，f2f1 21所以k1>k3>k2.当 堂 达 标·固 双 基1如果曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么( )Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在B B 由x2y30 知，斜率k ，1 2f(x0) 0.1 22已知曲线y2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )A2 B4C66x2(x)2 D6D D y2x3，y limx0y xlimx02xx32x3 x2 limx0x33xx23x2x x2 (x)23xx3x26x2.limx0yError!6.点A(1,2)处切线的斜率为 6.3已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为 16，则P点坐标为_(3,30) 设点P(x0,2x4x0)，2 0则f(x0) limx0fx0xfx0 x 4x04，limx02x24x0·x4x x令 4x0416，得x03，P(3,30)4曲线yx22x2 在点(2,2)处的切线方程为_. 【导学号：97792129】2xy20 y(2x)22(2x)2(222×22)2x(x)2，2x.y xy|x2 (2x)2.limx08曲线在点(2,2)处的切线斜率为 2.切线方程为y22(x2)，即 2xy20.5函数f(x)的图象如图 3­1­8 所示，试根据函数图象判断 0，f(1)，f(3)，的大小关系f3f1 2图 3­1­8解 设x1，x3 时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示则kAB，f(3)kBQ，f(1)kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于f3f1 31直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQkABkAT，0f(3)f(1)f3f12