2019高中数学 第二章 2.1 椭圆 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1.doc

1第第 1 1 课时课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点，难点)自 主 预 习·探 新 知1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(a>b>0)y2 a2x2 b2范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a) 顶点 B1(0，b)，B2(0，b)B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率c a(2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于 1 时，椭圆越扁；当e越接近于 0时，椭圆就越接近于圆思考：(1)离心率e能否用 表示？b a(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示 (1)e21，所以e.c2 a2a2b2 a2(b a)2(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同基础自测1思考辨析2(1)椭圆1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b.( )x2 a2y2 b2(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆( )(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称( )答案 (1)× (2)× (3)2椭圆 6x2y26 的长轴的端点坐标是( )A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0)66D(0，)，(0，)66D D 椭圆方程可化为x21，则长轴的端点坐标为(0，±)y2 663椭圆 25x29y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) 【导学号：97792060】A5,3,0.8 B10,6,0.8C5,3,0.6 D10,6,0.6B B 椭圆方程可化为1，则a5，b3，c4，e ，故 B.x2 9y2 25259c a4 5合 作 探 究·攻 重 难根据椭圆的方程研究其几何性质设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴的长和短轴的1 2长、焦点坐标及顶点坐标解 椭圆方程可化为1.x2 4y2 m(1)当 0m4 时，a2，b，c，e ，m3，b，c1，椭圆的长轴的m4mc a4m21 23长和短轴的长分别是 4,2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A23(1，0)(1，0)(2，0)，B1(0，)，B2(0，)(2，0)33(2)当m4 时，a，b2，c，e ，解得m，amm4c am4m1 216 3，c，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F24 332 338 33(0，2 33)，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)(0，2 33)(0，4 33)(0，4 33)3规律方法 用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍跟踪训练1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭x2 100y2 64圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解 (1)由椭圆C1：1 可得其长半轴长为 10，短半轴长为 8，焦点坐标x2 100y2 64(6,0)，(6,0)，离心率e .3 5(2)椭圆C2：1.y2 100x2 64性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e .3 5利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；63(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆1 有相同离心率的椭圆的标准方程. x2 12y2 6【导学号：97792061】思路探究 (1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待定系数法求解4法二：设与椭圆1 有相同离心率的椭圆方程为k1(k1>0)或x2 12y2 6x2 12y2 6k2(k2>0)y2 12x2 6解 (1)若焦点在x轴上，则a3，e ，c，c a636b2a2c2963.椭圆的方程为1.x2 9y2 3若焦点在y轴上，则b3，e ，解得a227.c a1b2a219 a263椭圆的方程为1.y2 27x2 9所求椭圆的方程为1 或1.x2 9y2 3y2 27x2 9(2)设椭圆方程为1(ab0)x2 a2y2 b2如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.x2 32y2 16(3)法一：由题意知e21 ，所以 ，即a22b2b2 a21 2b2 a21 2设所求椭圆的方程为1 或1.x2 2b2y2 b2y2 2b2x2 b2将点M(1,2)代入椭圆方程得1 或11 2b24 b24 2b21 b2解得b2 或b23.9 2故所求椭圆方程为1 或1.x2 9y2 9 2y2 6x2 35法二：设所求椭圆方程为k1(k1>0)或k2(k2>0)，将点M的坐标代入可x2 12y2 6y2 12x2 6得 k1或 k2，解得k1 ，k2 ，故 或 ，即所求椭圆的1 124 64 121 63 41 2x2 12y2 63 4y2 12x2 61 2标准方程为1 或1.x2 9y2 9 2y2 6x2 3规律方法 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e 等c a2在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k1>0，焦点在x2 a2y2 b2x2 a2y2 b2x轴上)或k2(k2>0，焦点在y轴上)y2 a2x2 b2跟踪训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )A.1 B.1x2 9y2 16x2 25y2 16C.1 D.1x2 16y2 25x2 16y2 9B B 由题意，得Error!解得Error!因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.x2 25y2 16(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为 6，且 cosOFA ，则椭圆的标准方程是_2 31 或1 因为椭圆的长轴长是 6，cosOFA ，所以点A不是长轴x2 9y2 5x2 5y2 92 36的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以 ，所以c2，b232225，c 32 3所以椭圆的方程是1 或1.x2 9y2 5x2 5y2 9求椭圆的离心率探究问题1已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示：如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)x2 a2y2 b2OPAB，PFOBOA， ，c am b又P(c，m)在椭圆上，1.c2 a2m2 b2将代入，得1，2c2 a2即e2 ，e.1 2222已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a，0)，B(0，b)是两个x2 a2y2 b2顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.b7提示：由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB ，b a故AB所在的直线方程为ybx，b a即bxayab0.又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，|bcab|a2b2b7·(ac).7a2b2又b2a2c2，整理，得 8c214ac5a20，7即 814 50.(c a)2c a8e214e50，e 或e (舍去)1 25 4综上可知，椭圆的离心率e .1 2已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是_. 【导学号：97792062】思路探究 ABF2为正三角形AF2F130°把|AF1|，|AF2|用C表示解析 不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在 RtAF1F2中，AF2F130°，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|x2c，再由椭圆的定义，可知|AF2|2|AF1|23|AF1|AF2|2a3x，所以e.2c 2a3x3x33答案 33规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e 求解若已知a，b或b，c可借助于c aa2b2c2求出c或a，再代入公式e 求解c a(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围跟踪训练3(1)椭圆1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边x2 a2y2 b2三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )A.1 B2 C.1 D23322(2)椭圆1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平x2 a2y2 b2分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_(1)A (2)1 (1)如图，设F(c,0)，由OAF是等边三角形，38得A，因为点A在椭圆上，所以有1 ，在(c 2，3c2)c2 4a23c2 4b2椭圆中有a2b2c2 ，联立，得c2(42)a2，即3c(1)a，则其离心率e 1.3c a3(2)法一 如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，|F1F2|2|NF2|24c2c23由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，3e 1.c a2313法二 注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230°，NF2F160°，F1NF290°，则由离心率的三角形式，可得e1.sinF1NF2 sinNF1F2sinNF2F1sin 90° sin 30°sin 60°11 2323当 堂 达 标·固 双 基1已知椭圆1(ab0)与椭圆1 有相同的长轴，椭圆x2 a2y2 b2x2 25y2 161(ab0)的短轴长与1 的短轴长相等，则( ) x2 a2y2 b2y2 21x2 9Aa215，b216Ba29，b225Ca225，b29 或a29，b225Da225，b29D D 由题意得，椭圆1 的焦点在x轴上，且a225，b29.x2 a2y2 b22已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 ，则C的方程是( )1 2A.1 B.1x2 3y2 4x2 4y23C.1 D.1x2 4y2 2x2 4y2 3D D 右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为 ，c a1 29故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.x2 4y2 33若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.4 53 52 51 5B B 由题意得：2bac，4b2(ac)2，又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即 3a22ac5c20，32· 5·0，c a(c a)2即 5·2· 30，(c a)2c ae .c a3 54若焦点在y轴上的椭圆1 的离心率为 ，则m的值为_x2 my2 21 2由题意知 0b>0)的两焦点为F1(0，c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e，y2 a2x2 b232焦点到椭圆上点的最短距离为 2，求椭圆的方程. 3解 由题意知Error!解得Error!所以b2a2c21，所以所求椭圆的方程为x21.y24