2019高中数学 第一章 空间几何体 1.3.2 球的体积和表面积练习 新人教A版必修2.doc
11.3.21.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积【选题明细表】 知识点、方法题号球的表面积、体积1,3,7,9 与球有关的“切” “接”问题2,4,5,6,8,10,111.两个球的表面积之差为 48,它们的大圆周长之和为 12,这两个球的半径之差为( C )(A)4(B)3(C)2(D)1 解析:令 S球 1=4R2,S球 2=4r2, 由题可知 4R2-4r2=48, 又 2R+2r=12, 得 R-r=2. 2.(2018·河南平顶山高一期末)长方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点落在球 O 的表面上,已知 AB=3,AD=4,BB1=5,那么球 O 的表面积为( D )(A)25 (B)200 (C)100 (D)50 解析:由长方体的体对角线为外接球的直径, 设球半径为 r,则 2r=5,则 r=,4r2=4×()2=50.3.已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8,它们位于球心的同一侧,且相距为 1,那 么这个球的半径是( B )(A)4(B)3(C)2(D)5 解析:BD=,AC=2, CD=OD-OC=-=-=1.解得 R=3. 4.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相 同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是( D )2(A) cm (B)2 cm (C)3 cm (D)4 cm 解析:设球的半径为 r, 则 V水=8r2,V球=4r3, 加入小球后,液面高度为 6r, 所以 r2·6r=8r2+4r3,解得 r=4.故选 D. 5.已知圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上,则该圆柱的体 积是( D )(A)(B)(C)(D)6 解析:如图所示,圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上,所以该圆柱底面圆周半径为r=,所以该圆柱的体积为 V=Sh=·()2·2=6.故选 D. 6.(2018·湖南郴州二模)底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥 P ABCD 的五 个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为 4,侧棱长为 2,则这个球的表面积为 .解析:正四棱锥 P ABCD 外接球的球心在它的高 PO1上,记为 O,OP=OA=R,PO1=4,OO1=4-R, 或 OO1=R-4(此时 O 在 PO1的延长线上). 在 RtAO1O 中,R2=8+(R-4)2得 R=3, 所以球的表面积 S=36. 答案:36 7.如图所示(单位:cm)四边形 ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.3解: S球= ×4×22=8(cm2),S圆台侧=(2+5)=35(cm2),S圆台下底=×52=25(cm2), 即该几何体的表面积为 8+35+25=68(cm2).又 V圆台= ×(22+2×5+52)×4=52(cm3),V半球= ××23=(cm3).所以该几何体的体积为 V圆台-V半球=52-=(cm3).8.(2018·南昌八一中学高一测试)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是,那么这个三棱柱的体积是( D ) (A)96(B)16 (C)24(D)48解析:设球的半径为 R,由 R3=,得 R=2.所以正三棱柱的高为 h=4,设其底面边长为 a,得 ×a=2,a=4.所以 V=×(4)2×4=48.9.某街心花园有许多钢球(钢的密度为 7.9 g/cm3),每个钢球重 145 kg,并且外径等于 50 cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,请你计算出它的内径( 取 3.14,结果精确到 1 cm,2.24311.240 98).解:由于外径为 50 cm 的钢球的质量为 7.9× ×()3516 792(g), 街心花园中钢球的质量为 145 000 g, 而 145 000<516 792, 所以钢球是空心的. 设球的内径为 2x cm,那么球的质量为 7.9× ×()3- x3=145 000. 解得 x311 240.98, 所以 x22.4,2x45(cm). 即钢球是空心的,其内径约为 45 cm. 10.(2018·陕西咸阳二模)已知一个三棱锥的所有棱长均为,求该三棱锥的内切球的体积. 解:如图,AE平面 BCD,设 O 为正四面体 A-BCD 内切球的球心,4则 OE 为内切球的半径,设 OA=OB=R,又正四面体 A BCD 的棱长为,在等边BCD 中,BE=,所以 AE=.由 OB2=OE2+BE2,得 R2=(-R)2+ ,解得 R=,所以 OE=AE-R=,即内切球的半径是,所以内切球的体积为 ×()3=.11.据说伟大的阿基米德死了以后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个 如图所示的图案,图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上 底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比.解:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 V圆柱=r2h,由已知知圆锥的底面半径为 r,高为 h,所以 V圆锥= r2h,球的半径为 r,所以 V球= r3.又 h=2r,所以 V圆锥V球V圆柱=( r2h)( r3)(r2h)=( r3)( r3)(2r3) =123.
