2019高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1.1 简单形式的柯西不等式活页作业8 北师大版选修4-5.doc

1活页作业活页作业( (八八) ) 简单形式的柯西不等式简单形式的柯西不等式一、选择题1已知a，b(0，)，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的大小关系是( )APQ BPQ解析：设m m(x，y)，n n(，)，abab则|axby|m·n|m|n|m·n|m|n|·ax2by2a2b2·，ax2by2abax2by2(axby)2ax2by2，即PQ.答案：A2设x>0，y>0，m>0，n>0，且 1，则uxy的最小值是( )m xn yA()2 BmnmC D(mn)2n解析：根据柯西不等式，得xy(xy)2()2，(m xn y)(x·mxy·ny)mn当且仅当时，等号成立，xmyn这时u取最小值为()2.mn答案：A3已知x，y(0，)，且xy1，则的最小值为( )(11 x)(11 y)A4 B2 C1 D1 4解析：(11 x)(11 y)12(1x)212(1y)222224.(1 × 11x·1y)(11xy)答案：A4已知R R，则 4cos 的最大值是( )2sin222A2 B3 36C D636解析：4cos ·3，2sin2242 22 2sin22cos26当且仅当 4cos ，即 sin ±，cos 时等号成立22sin26333答案：B二、填空题5若x2y5，则x2y2的最小值为_.解析：由柯西不等式，得(x2y2)(1222)(x2y)2，当且仅当x 时取等号所以y 25(x2y2)25.所以x2y25.答案：56已知a2b24，则|acos bsin |的最大值是_.解析：因为(acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2)4，当且仅当asin bcos 时等号成立，所以|acos bsin |2.答案：2三、解答题7已知函数y34，求函数的定义域和最大值x56x解：易知函数的定义域为5,6，且y>0.y34x56x·5，3242x52 6x2当且仅当 34，即x时取等号6xx5134 25故函数的定义域为5,6，最大值为 5.8若 00)时等号成立，xx44y10.xy由Error!得x ，符合x>0.2 5x44y的最大值为 10.xy答案：10三、解答题5已知a1，a2，b1，b2为正实数求证：(a1b1a2b2)(a1a2)2.(a1 b1a2 b2)证明：(a1b1a2b2)(a1 b1a2 b2)a1b12a2b22(a1 b1)2(a2 b2)22(a1a2)2.(a1b1·a1 b1a2b2·a2 b2)6已知x，y为正实数，且xy1，1y21x2求x2y2的值解：法一 依题意，有 00)，则有t(2t)1，即t22t10(t1)20.t>0，t10，即 t1.x2y21.