经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式.pdf

几个经典不等式的关系几个经典不等式的关系一一 几个经典不等式几个经典不等式（1 1）均值不等式）均值不等式设a1,a2,an 0是实数a1a2111+a1a2an其中ai0,i 1,2,n.当且仅当a1 a2nna a an12nan2a12a2n2an an时，等号成立.（2 2）柯西不等式）柯西不等式设a1,a2,an,b1,b2,bn是实数，则2anb12b222bna1b1a2b2a（3 3）排序不等式）排序不等式设a1 a2则212a2anbn2当且仅当bi0(i 1,2,n)或存在实数k，使得ai kbi(i 1,2,n)时，等号成立.an，b1 b2 bn为两个数组，c1，c2，cn是b1，b2,，bn的任一排列，ancn a1bna2bn1anb1a1b1a2b2当且仅当a1 a2（4 4）切比晓夫不等式）切比晓夫不等式对于两个数组：a1 a2anbn a1c1a2c2 an或b1 b2 bn时，等号成立.bn，有 an，b1 b2a1b1a2b2n当且仅当a1 a2 a a an b1b2bn12nn an或b1 b2 bn时，等号成立.anbna1bna2bn1nanb1二二 相关证明相关证明（1 1）用排序不等式证明切比晓夫不等式）用排序不等式证明切比晓夫不等式证明证明：由a1b1a2b2nanbn na1b1a2b2而 a a an b1b2bn12nnanbna1a2anb1b2bnanb1b2anbnanb1anb2anb3anbn2a1a2 a1b1a2b2a1b2a2b3a1b3a2b4a1b4a2b5a1bn1a2bnbna1bna2b1anbn1根据“顺序和乱序和”（在n1个部分同时使用），可得na1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn即得a1b1a2b2anbn a1a2nn同理，根据“乱序和反序和”，可得 a1a2an b1b2bnnn综合即证an b1b2na1bna2bn1nbnanb1（2 2）用排序不等式证明“几何算数平均不等式”）用排序不等式证明“几何算数平均不等式”：na1a2证明证明：构造两个数列：ana1a2nana aaa1a a,x2122,xn12nn1ccc1c1c21cny1,y2,yn1x1a1x2a1a2xna1a2anx1其中c na1a2an.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：x1y1 x2y2总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和”，总有xnynxnynx1yn x2y1于是xnyn1 x1y1 x2y2a1a2cc即an11can n1a1a2c即证a1a2nan c na1a2ana a2（3 3）用切比晓夫不等式证明“算数开方平均不等式”）用切比晓夫不等式证明“算数开方平均不等式”：1n证明证明：不妨设a1 a2 an，a1a2nan2a12a2n2anan2a12a2n2an a a 12nan a1a2n2ana12a2n2an.由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.（4 4）用切比晓夫不等式证明“调和算数平均不等式”）用切比晓夫不等式证明“调和算数平均不等式”n11+a1a21ana1a2nan证明证明：n11+a1a21ana1a2nan1 111 11+a a a 12na1a2ana1a2an a1a2an.1nnn111，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.不妨设a1 a2 an，则anan1a1（5 5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明证明：不妨设a1 a2由切比晓夫不等式，有 an，b1 b2 bna1b1a2b2n由均值不等式，有anbn a a 12nan b1b2n2anbn.a1a2nb1b2n所以anbn2a12a2n.b b n2an2122b2na1b1a2b2n两边平方，即得a1b1a2b2anbn22anbna12a22a12a2n2anb12b222b12b2n2bn2bn.即证.（6 6）补充“调和几何平均不等式”的证明）补充“调和几何平均不等式”的证明证明证明：将na1a2两边取倒数，即得ana1a2nn1anan中的ai换成11 1，有naia1a2111a1a2ann1an.11+a1a2na1a2an.