图形的平移及旋转.pdf
-第十讲第十讲图形的平移与旋转图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，假设仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换如图 1，假设把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，那么由的变换叫平移变换平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等如图 2，假设把平面图 Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，那么由 Fl到 F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等通过平移或旋转，把局部图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决注合同变换、等积变换、相似变换是根本的几何变换等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变而相似变换，只保存线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变例题求解例题求解【例 1】如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA：PB：PC1：2：3，那么APD=思路点拨思路点拨通过旋转，把 PA、PB、PC 或关联的线段集中到同一个三角形【例 2】如图，在等腰 RtABC 的斜边 AB 上取两点 M，N，使M=45，记 AMm，MN=x，DN=n，那么以线段 x、m、n 为边长的三角形的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随 x、m、n 的变化而改变思路点拨思路点拨把A 绕 C 点顺时针旋转 45，得CBD，这样ACM+B=45就集中成一个与M 相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为DNB，只需判定DNB 的形状即可注以下情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60、90；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合【例 3】如图，六边形 ADCDEF 中，ANDE，BCEF，CDAF，对边之差 BCEFEDABAFCD0，求证：该六边形的各角相等(全俄数学奥林匹克竞赛题).z.-思路点拨思路点拨设法将复杂的条件 BCFF=EDAB=AFCD0 用一个根本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决【例4】如图，在等腰ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF BC=2，求证：EF1(XX市竞赛题)思路点拨思路点拨本例实际上就是证明 2EFBC，不便直接证明，通过平移把 BC 与 EF集中到同一个三角形中注三角形中的不等关系，涉及到以下根本知识：(1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角【例 5】如图，等边ABC 的边长为a 2512 3，点 P 是ABC 内的一点，且 PA2+PB2PC2，假设 PC=5，求 PA、PB 的长(希望杯邀请赛试题)思路点拨思路点拨题设条件满足勾股关系 PA2+PB2PC2的三边 PA、PB、PC 不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键学历训练学历训练1如图，P 是正方形 ABCD 内一点，现将ABP 绕点 B 顾时针方向旋转能与CBP重合，假设 PB=3，那么 PP=2如图，P 是等边ABC 内一点，PA6，PB=8，PC10，那么APB3如图，四边形 ABCD 中，ABCD，D=2B，假设 AD=a，AB=b，那么 CD 的长为4如图，把ABC 沿 AB 边平移到ABC的位置，它们的重叠局部(即图中阴影局部)的面积是ABC 的面积的一半，假设 AB=2，那么此三角形移动的距离AA是()A2 1B12ClD(2002 年荆州市中考题)225如图，ABC 中，AB=AC，BAC=90，直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE、PF 分别交 AB、AC 于点 C、F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF 是等腰直角三角形；SEF=AP当EPF 在ABC 内绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合)，上述结论中始终正确的有().z.四边形 AEPF=1SABC；2-A1 个B2 个C 3 个D4 个(2003 年 XX 省 XX 市中考题)6如图，在四边形ABCD 中，ABBC，ABC=CDA=90，BEAD 于 E，S四边形 ABCDd=8，那么BE的长为()A2B3C3D2 2(2004 年 XX 市选拔赛试题)7如图，正方形 ABCD 和正方形 EFGH 的边长分别为2 2和2，对角线 BD、FH 都在直线l上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线l上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化(1)计算：O1D=，O2F=；(2)当中心 O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=；(3)随着中心 O2在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化并求出相对应的中心距的值或取值 X 围(不必写出计算过程)(XX 市中考题)8图形的操做过程此题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为 b：在图 a 中，将线段 A1A2向右平移 1 个单位到 B1B2,得到封闭图形 A1A2B1B2即阴影局部；在图 b 中，将折线 A1A2A3向右平移 1 个单位到 B1B2B3，得到封闭图形 A1A2A3B1B2B3即阴影局部；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影局部后剩余局部的面积：S1=，,S2=，S3=；（3）联想与探索：如图 d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路小路任何地方的水平宽度都是1 个单位，请你猜测空白局部表示的草地面积是多少？并说明你的猜测是正确的(2002 年 XX 省中考题)9如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形，求证：ANBM说明及要求：此题是几何第二册几 15 中第 13 题，现要求：(1)将ACM 绕 C 点按逆时针方向旋转 180，使 A 点落在 CB 上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保存作图痕迹)(2)在所得的图形中，结论ANBM是否还成立假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由(3)在得到的图形中，设MA 的延长线与 BN 相交于 D 点，请你判断ABD 与四边形 MDNC 的形状，并证明你的结论10如图，在RtABC 中，A90，AB3cm，AC=4cm，以斜边 BC 上距离 B 点 3cm 的点 P 为中心，.z.-把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF，那么旋转前后两个直角三角形重叠局部的面积是cm211如图，在梯形ABCD 中，ADBC，D=90，BC=CD=12，ABE=45，点E 在 DC 上，AE、BC的延长线交于点 F，假设 AE=10，那么 SADE+SCEF的值是(XX 市中考题)12 如图，在ABC 中，BAC=120，P 是ABC 内一点，那么 PA+PB+PC 与 AB+AC 的大小关系是()APA+PB+PCAB+ACBPA+PB+PCDC15如图，P 为等边ABC 内一点，PA、PB、PC 的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n 为大于 5的实数，满m2n30m9n 5m26mn45，求ABC 的面积16如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l1l2表示小河甲，l3l4表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸 图中的尺寸是：甲河宽8 米，乙河宽10 米，A 到甲河垂直距离为 40 米，B 到乙河垂直距离为 20 米，两河距离 100 米，A、B 两点水平距离(与小河平行方向)120 米，为使 A、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D 两点间来往的路程是多少米(五羊杯竞赛题)17如图，ABC 是等腰直角三角形，C=90，O 是ABC 内一点，点O 到ABC 各边的距离都等于1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45，得A1BlC1，两三角形公共局部为多边形KLMNPQ(1)证明：AKL、BMN、CPQ 都是等腰直角三角形；(2)求ABC 与A1BlC1公共局部的面积(XX 省竞赛题)18(1)操作与证明：如图 1，O 是边长为 a 的正方形 ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖局部的总长度为定值(2)尝试与思考：如图 2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖局部的总长度也为定值a(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正 n 边形的中心 O 点处，并将纸板绕 O 点旋转当扇形纸板的圆心角为时，正n 边形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值 a；这时正.z.-n 边形被纸板覆盖局部的面积是否也为定值假设为定值，写出它与正 n 边形面积 S 之间的关系；假设不是定值，请说明理由(XX 省 XX 市中考题).z.
