初二数学动点问题练习含答案.pdf
动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想 转化思想1、如图 1，梯形 ABCD 中，AD BC，B=90，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动，点Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动，如果P，Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。当 t=时，四边形是平行四边形；6当 t=时，四边形是等腰梯形.82、如图2，正方形ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 5，B 60，BC 2点O是AC的中点，过3、如图，在RtABC中，ACB 90点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D 过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为（1）当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由解：（1）30，1；60，1.5；0（2）当=90 时，四边形EDBC是菱形.0=ACB=90，BC/ED.CE/AB,四边形EDBC是平行四边形000在 RtABC中，ACB=90，B=60,BC=2,A=30.EODCOA（备用图）BlCAB1AC03AB=4,AC=2.AO=2=3.在 RtAOD中，A=30，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形4、在ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E.MMCCMDCDENEA图 1B图 2ABENAND图 3B(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DE=ADBE；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）ACD=ACB=90CAD+ACD=90 BCE+ACD=90CAD=BCE AC=BCADCCEBADCCEBCE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE(2)ADC=CEB=ACB=90ACD=CBE 又AC=BCACDCBE CE=AD，CD=BEDE=CE-CD=AD-BE(3)当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE，BE=AD+DE 等)ADC=CEB=ACB=90ACD=CBE，又AC=BC，ACDCBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF 90，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由D解：（1）正确AD证明：在AB上取一点M，使AM EC，连接MEABM BEBME 45，AME 135MCF是外角平分线，DCF 45，ECF 135AME ECFBECAEBBAE 90，AEBCEF 90，BAE CEFAE EFAMEBCF（ASA）（2）正确证明：在BA的延长线上取一点N使AN CE，连接NENBN BEN PCE 45A四边形ABCD是正方形，ADBEDAE BEANAE CEFANEECF（ASA）AE EFBFGFBGAEC图 1DFBAEC图 2DGFDFC EGB图 3C EG6、如图,射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从 M 沿射线 MB方向以 1 个单位/秒的速度移动，设 P 的运动时间为 t.求（1）PAB 为等腰三角形的 t 值；（2）PAB 为直角三角形的 t 值；（3）若 AB=5 且ABM=45，其他条件不变，直接写出 PAB 为直角三角形的 t 值7、如图 1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点FAB4，BC 6，B 60.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MNAB交折线ADC于点N，连结PN，设EP x.当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图 3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由AEB图 1AEB图 4（备用）DFCB图 5（备用）DFCBAEPNDFC B图 2DFCAEPDNFCMM图 3（第 25 题）AE解（1）如图 1，过点E作EG BC于点GE为AB的中点，BE 1AB 22在RtEBG中，B 60，BEG 30即点E到BC的距离为3BG 1BE 1，EG 221232AEBDFC图 1AEBPHG M图 2CNDF（2）当点N在线段AD上运动时，PMN的形状不发生改变PM EF，EG EF，PM EGEFBC，EP GM，PM EG 3同理MN AB 4如图 2，过点P作PH MN于H，MNAB，G13NMC B 60，PMH 30PH PM 22335MH PM cos30 则NH MN MH 4222 5322在RtPNH中，PN NH PH722PMN的周长=PM PN MN 3 7 422当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形当PM PN时，如图 3，作PR MN于R，则MR NR3MN 2MR 3MNC是等边三角形，MC MN 32此时，x EP GM BC BGMC 613 2类似，MR AEBPRGM图 3CBG图 4MDNFAEPDFNCBAEF（P）NCMDG图 5当MP MN时，如图 4，这时MC MN MP 3此时，x EP GM 613 53当NP NM时，如图 5，NPM PMN 30则PMN 120，又MNC 60，PNM MNC 180因此点P与F重合，PMC为直角三角形MC PM tan30 1此时，x EP GM 611 4综上所述，当x 2或 4 或53时，PMN为等腰三角形8、如图，已知ABC中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D为AB的中点(1）如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）t 1秒，BP CQ 31 3厘米，AB 10厘米，点D为AB的中点，BD 5厘米又PC BC BP，BC 8厘米，PC 835厘米，PC BD又AB AC，B C，BPDCQPDAQPCBvP vQ，BP CQ，又BPDCQP，B C，则BP PC 4，CQ BD 5，点P，点Q运动的时间t BP433秒，vQCQ51544t3厘米/秒。1580 x x 3x2103秒（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得4，解得803803点P共运动了厘米 80 22824，点P、点Q在AB边上相遇，80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，11S四边形AECFSABCBCAHBC AB2BH24 3。22由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大1SCEF=S四边形AECFSAEF 4 3 2 322 33223。CEF的面积的最大值是3。【考点】【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF=60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S面积就会最大。10、如图，在AOB 中，AOB=90，OA=OB=6，C 为 OB 上一点，射线 CDOB 交 AB 于点 D，OC=2点P 从点 A 出发以每秒个单位长度的速度沿 AB 方向运动，点Q 从点 C 出发以每秒 2 个单位长度的速度四边形AECFSAEF，则CEF的沿 CD 方向运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 到达到点 B 时停止运动，点 Q 也随之停止 过点 P 作 PEOA于点 E，PFOB 于点 F，得到矩形 PEOF 以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边 MNOB，且 MN=QC设运动时间为 t（单位：秒）（1）求 t=1 时 FC 的长度（2）求 MN=PF 时 t 的值（3）当QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与 t 的函数关系式（4）直接写出QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t 的值考点：相似形综合题分析：（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将 t=1 代入求出 FC 的长度；（2）根据 MN=PF，可得关于 t 的方程 6t=2t，解方程即可求解；（3）分三种情况：求出当1t2 时；当 2t 时；当 t3 时；求出重叠（阴影）部分图形面积 S 与 t 的函数关系式；（4）分 M 在 OE 上；N 在 PF 上两种情况讨论求得QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时t 的值解答：解：（1）根据题意，AOB、AEP 都是等腰直角三角形，OF=EP=t，当 t=1 时，FC=1；（2）AP=MN=QC=2t6t=2t解得 t=2故当 t=2 时，MN=PF；（3）当 1t2 时，S=2t 4t+2；当 2t 时，S=22t，AE=t，PF=OE=6tt+30t32；2当 t3 时，S=2t+6t；（4）QMN 的边与矩形 PEOF 的边有三个公共点时 t=2 或 点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度
