2019高中数学 第四章 导数应用 4.2.1 实际问题中导数的意义作业 北师大版选修1-1.doc

14.2.14.2.1 实际问题中导数的意义实际问题中导数的意义基础达标1.做直线运动的物体，从时刻t到tt时，物体的位移为 s，那么 为limt0s t ( ) A从时刻t到tt时，物体的平均速度 B该物体在t时刻的瞬时速度 Ct时刻时，该物体的速度 D从时刻t到tt时，位移的平均变化率解析：选 B. 表示运动的物体在t时刻位移的导数，也即该时刻的瞬时速limt0s t 度2.自由落体的运动公式是sgt2(g为重力加速度)，则物体在下落 3 s 到 4 s 之间的1 2 平均变化率是(取g10 m/s2)( ) A30 B32 C35 D40解析：选 C.vg35.s t1 2g× 4212g× 32437 2 3.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华想：如果向杯子 中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于 时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )解析：选 B.由于圆口杯的形状是“下细上粗” ，则开始阶段饮料的高度增加较快，以 后高度增加得越来越慢，仅有 B 符合 4.国际环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测 结果如图，(其中W1、W2分别表示甲、乙的排污量)下列说法正确的是( ) A甲企业治污效果好2B乙企业治污效果好 C甲、乙两企业治污效果相同 D无法判定 解析：选 A.由图可知甲企业治污快，效果好 5.细杆AB的长为 20 cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方 成正比，当AM2 cm 时，AM的质量为 8 g，那么当AMx cm 时，M处的细杆线密度(x) 为( ) A2x B3x C4x D5x 解析：选 C.当AMx cm 时，设AM的质量为f(x)kx2，因为f(2)8，所以k2， 即f(x)2x2，故细杆线密度(x)f(x)4x，故选 C. 6.人体血液中药物的质量浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若 f(2)0.3，则f(2)表示 _ _. 答案：服药 2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟 0.3 mg/mL 的速度增加 7.将 1 kg 铁从 0 加热到t 需要的热量为Q(单位：J)：Q(t)0.000 297t20.440 9t. (1)当t从 10 变到 20 时函数值Q关于t的平均变化率是_，它的实际意义是 _ (2)Q(100)_，它的实际意义是 _ 解析：(1)当t从 10 变到 20 时，函数值Q关于t的平均变化率为0.449 8，它表示在铁块的温度从 10 增加到 20 的过程中，平均Q（20）Q（10） 2010 每增加 1 ，需要吸收热量约为 0.449 8 J. (2)Q(t)0.000 594t0.440 9，则Q(100)0.500 3，它表示在铁块的温度为 100 这一时刻每增加 1 ，需要吸收热量 0.500 3 J. 答案：(1)0.449 8 它表示在铁块的温度从 10 增加到 20 的过程中，平均每增加 1 ，需要吸收热量约为 0.449 8 J (2)0.500 3 它表示在铁块的温度为 100 这一时刻每增加 1 ，需要吸收热量 0.500 3 J 8.已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)，将半径r表示为体积V的函数，有r(V)，则当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为_33V 4解析：r(V1)r(V2)33V1 433V2 4 . 平均膨胀率为：.r（V1）r（V2） V1V2答案： 9.水以 20 m3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深 30 m，上底面直径为 12 m，试 求当水深为 10 m 时，水面上升的速度解：设经过t min 后水深为H，则此时水面半径为 .H 5由等体积知，20t ··H.1 3(H 5)23H(t)5，H(t)·t .312t 5 3312 2 3水深 10 m 时水面上升的速度为H(10)(m/min)1 3315 10.路灯距地平面为 8 m，一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速度在地面上行走， 从路灯在地面上的射影点C出发，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速度v. 解：如图所示，路灯距地面的距离为DC8 m，人的身高为EB1.6 m.设人从C处运动到B处的路程CB为x m，时间为t s，AB为人影长度，设为y m.BECD，.AB ACBE CD，yx.y yx1.6 81 4 又84 m/min1.4 m/s，yxt(x1.4t)1 47 20y，即人影长度的变化速度v为 m/s.7 207 20 能力提升 1. 如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度 不超过 90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图像大致是( )解析：选 D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中 间时段相对增速较快 选项 A 表示面积的增速是常数，与实际不符； 选项 B 表示最后时段面积的增速较快，与实际不符； 选项 C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，也与实际不符；选项 D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际2.将半径为R的球加热，若半径从R1 到Rm(m>1)时球的体积膨胀率为，则m28 3 的值为_解析：Vm3×13(m31)，4 34 34 34.m2m17.m2 或m3(舍)V R4 3（m31）m128 3 答案：2 3.设生产某种产品的总成本函数c(万元)与产量q(万件)之间的函数关系为c(q) 1004q0.2q20.01q3.求生产水平为q10 万元时的平均成本和边际成本，并从降低 成本角度看继续提高产量是否合算？ 解：当q10 时，总成本c(10) 1004×100.2×1020.01×103100402010130(万元) 平均成本 130÷1013(元/件)， 边际成本c(q)40.4q0.03q2， c(10)40.4×100.03×1024433(元/件) 因此在生产水平为 10 万元时每增产一个产品，总成本增加 3 元，比当前的平均成本 13 元低，从降低成本角度看，应继续提高产量 4学习曲线是 1936 年美国康乃尔大学 T.P.Wright 博士在飞机制造过程中，通过对大 量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)×100%(f(t)为该学习任务已掌握的程度，t为学习时间)，且3 4a·2t 这类学习任务中的某项任务满足f(2)60%. (1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；(2)已知 2x>xln 2 对任意x>0 恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习f（t） t 效率指数研究表明，当学习时间t(1，2)时，学习效率最佳，则当学习效率最佳时， 求学习效率指数相应的取值范围解：(1)f(t)×100%(t为学习时间)，且f(2)3 4a·2t60%，×100%60%，解得a4.3 4a× 22f(t)×100%×100%(t0)，3 4a·2t3 4（12t）f(0)×100%37.5%，f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程3 4（120） 度为 37.5%.(2)令学习效率指数y，则f（t） ty(t>0)现研究函数g(t)t的单调性，由于f（t） t3 4t（12t）34（tt 2t）t 2tg(t)(t>0)，又已知 2x>xln 2 对任意x>0 恒成立，即 2ttln 2>0 对任2ttln 21 2t 意t>0 恒成立，则g(t)>0 恒成立，g(t)在(0，)上为增函数，且g(t)为正数y在(0，)上为减函数，而 yf（t）t34（tt2t）|t1f（1）112，y|t2f（2）2，即当 t(1，2)时，y(， )，故所求学习效率指数的取值范围是(， )310f（t）t3101231012