多面体的截面的作法.pdf

多面体的截面用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交 集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点.作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求 得截面.作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行.(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.主要画法是交线法.即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，其延长线)与此交线的交点.再找出各有关截线(或例 1 1 如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD,上，求作过E、F、G三点的截面.作法：(1 1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线 交于L、M.(2 2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K.(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H.(4)连结KE、FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.有时为了便于作截面，还须引进辅助面作 为作图的中介.例 2 2 如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F在两条棱上，G在底面A1C1内，求过E、F、G的截面.作法：(1 1)在底面A1C1内，过G作PQ/B1C1，交棱于P、Q两点.(2)作辅助面PC，在此面内，过G、F作直线交BP的延长线于M(3)在侧面A1B内，连结ME，交A3于K.(4)在底面A1C1内，连结KG，延长交B1C1于H.(5)连结HF.(6)在底面AC内，作FL/HK，交AB于L.(7)连结EL.则五边形ELFHK为所求的截面.此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解.例 3 3 如图，五棱锥P ABCD中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面.作法：(1 1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P BST.(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K.(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L.(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N.(5)连结FN、MH则五边形FGHMN即为所求的截面.