2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质（二）作业2 北师大版选修1-1.doc

12.2.22.2.2 抛物线的简单性质（二）抛物线的简单性质（二）A.基础达标1抛物线yax21 与直线yx相切，则a等于( )A. B. 1 81 4C. D11 2解析：选 B.由消去y整理得ax2x10，由题意a0，(1)yax21， yx)24a0.所以a .1 4 2已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4 与C交于A，B两点，则 cosAFB( )A. B.4 53 5C D3 54 5解析：选 D.由得或y24x， y2x4，) x1， y2) x4， y4.) 令B(1，2)，A(4，4)，又F(1，0)， 所以由两点间距离公式，得 |BF|2，|AF|5，|AB|3，5所以 cosAFB|BF|2|AF|2|AB|2 2|BF|·|AF| .42545 2 × 2 × 54 53A，B是抛物线x2y上任意两点(非原点)，当·最小时， ，所在两条直线OAOBOAOB的斜率之积kOA·kOB( )A. B1 21 2 C. D33 解析：选 B.由题意可设A(x1，x)，B(x2，x)，2 12 2(x1，x)，(x2，x)，OA2 1OB2 2·x1x2(x1x2)2OAOB(x1x2 )2 ，1 21 41 4当且仅当x1x2 时·取得最小值1 2OAOB此时kOA·kOB·x1x2 .1 2 4设抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆 过点(0，2)，则C的方程为( ) Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x2Dy22x或y216x 解析：选 C.设M(x0，y0)，A(0，2)，MF的中点为N.由y22px，F( ，0)，p 2所以N点的坐标为(，)x0p2 2y0 2由抛物线的定义知，x0 5，p 2所以x05 .p 2所以y0 .2p（5p2）所以|AN| ，所以|AN|2.|MF| 25 225 4所以()2(2)2.x0p2 2y0 225 4即.（5p2p 2）2 4(2p（5p2）22)225 4所以 20.2p（5p2）2 整理得p210p160. 解得p2 或p8. 所以抛物线方程为y24x或y216x.5已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，1)和点B(t，3)的直线与抛物线C没1 2 有公共点，则实数t的取值范围是( ) A(，1)(1，)B(，)(，)2222 C(，2)(2，)22 D(，)(，)22解析：选 D.当AB的斜率不存在时，x0，其与x2y有公共点，不满足要求；当AB1 2的斜率存在时，可设AB所在直线的方程为ykx1，代入x2y，整理得1 22x2kx10，(k)24×22 得t(，)(，)22 6过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线 上的射影为A1、B1，则A1FB1等于_ 解析：如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1，又 AA1FA1FO，3所以AFA1A1FO， 同理BFB1B1FO， 于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1. 故A1FB190°. 答案：90° 7已知抛物线x24y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB 为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_ 解析：由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在， 故AB所在的直线方程可写为ykx1，代入x24y， 整理得x24kx40， x1x24k，由ykx1 可得 y1y2kx11kx214k22，|AB|y1y2p4k24， 故所截弦长222，当k0 时弦长取最小（2k22）2（2k21）24k233 值 答案：23 8已知定长为 3 的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，则 M点到y轴的最短距离为_解析：如图所示，抛物线y22x的准线为l：x ，过点1 2 A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l，垂足分别为A、B、M.由 抛物线定义知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得|MM| (|AA|BB|) (|FA|FB|)1 21 2 |AB| ×3 ，则M到y轴的距离d 1(当且仅当AB过抛物1 21 23 23 21 2 线的焦点时取“”)，所以dmin1，即M点到y轴的最短距离为 1. 答案：1 9已知抛物线y212x和点P(5，2)，直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点，O 为坐标原点 (1)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程； (2)当直线l的斜率为 1 时，求OAB的面积 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为A、B在抛物线上， 所以y12x1，y12x2，2 12 2 两式相减，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2) 因为P为线段AB的中点， 所以x1x2，又y1y24，所以k3，y1y2 x1x212 y1y2 所以直线l的方程为y23(x5)，即 3xy130. 经验证适合题意 (2)由题意知l的方程为y21·(x5)即yx3.由得x218x90.yx3， y212x)4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x218，x1x29. 所以|AB|1k2 （x1x2）24x1x2 ·24.232436又点O到直线xy30 的距离d，32所以SOAB |AB|·d ×24×18.1 21 2322 10如图，设抛物线C：x24y的焦点为F，P(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中 x00)，过P点的切线交y轴于Q点(1)若P(2，1)，求证：|FP|FQ|；(2)已知M(0，y0)，过M点且斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点，若x0 2(>1)，求的值AMMB解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|y012， 设过P点的切线方程为y1k(x2)，由得x24kx8k40，y1k（x2）， x24y)令16k24(8k4)0 得k1， 可得PQ所在直线方程为yx1， 所以得Q点坐标为(0，1)， 所以|QF|2，即|PF|QF|. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M点坐标为(0，y0)，所以AB方程为yxy0，x0 2由得x22x0x4y00.x24y，yx02xy0)所以x1x22x0，x1x24y0x，2 0由得：(x1，y0y1)·(x2，y2y0)，AMMB所以x1x2，由知得(1)2x4x，由x00 可得x20，2 22 2 所以(1)24，又>1，解得32.2 B.能力提升 1已知抛物线y22px(p>0)与圆(xa)2y2r2(a>0)有且只有一个公共点，则( ) Arap Brap Cr0)与抛 物线y22px(p>0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当r>a时，易知圆 与抛物线有两个交点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有 且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.故 选 B.52如图，已知抛物线的方程为x22py(p>0)，过点A(0，1)作直线l与抛物线相交 于P，Q两点，点B的坐标为(0，1)，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于 M，N两点如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为3，则MBN的大小等于( )A. B. 2 4C. D.2 3 3解析：选 D.由题意设P(x1，)，Q(x2，)(x1x2)，设PQ所在直线方程为 ykx1 代入x22py，整理得：x22kpx2p0，则kQB，kPB，x1x22kp， x1x22p.)可得kQBkPB0，又因为kQB·kPB3，所以kQB，kPB，即BNM，BMN，33 3 3所以MBNBNMBMN. 3 3设抛物线y24x的焦点为F，过点M(2，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线交于点C，|BF| ，则_.3 2SBCF SACF解析：因为|BF| ，所以B的横坐标为 ，不妨设B的坐标为( ，)，所以AB的3 21 21 22方程为y(x2)，2 23代入y24x，得 2x217x80，解得x 或 8，故点A的横坐标为 8.故A到准线的1 2 距离为 819. .SBCF SACF|BC| |AC|B到准线的距离 A到准线的距离3 2 91 6答案：1 6 4抛物线y22px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为|MN| |AB| _ 解析：由余弦定理，得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|·|BF|cos 120° |AF|2|BF|2|AF|·|BF|，过A，B作AA，BB垂直于准线，则|MN| (|AA|BB|) (|FA|FB|)，1 21 2所以|MN| |AB|FA|FB| 2|AB|FA|FB|2 |AF|2|BF|2|FA|·|FB|61 2|AF|2|BF|2|FA|·|FB| （|AF|BF|）21 2（|AF|BF|）2|AF|·|BF| （|AF|BF|）2，1 21|AF|·|BF| （|AF|BF|）21 21（|AF|BF|2）2（|AF|BF|）233 当且仅当|AF|BF|时，等号成立答案：33 5已知抛物线C：y22px(p>0)经过点P(2，4)，直线l：yx2交C于A、B33 两点，与x轴相交于点F.(1)求抛物线方程及其准线方程； (2)已知点M(2，5)，直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、k2、k3 成等差数列 解：(1)因为抛物线C：y22px(p>0)经过点P(2，4)， 所以 422p×2，所以p4， 所以抛物线的方程是y28x， 所以抛物线准线方程是x2. (2)因为直线l：yx2与x轴相交于点F，33 所以F(2，0)因为M(2，5)，所以k2 .50 225 4设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由方程组得y 3x2 3， y28x)3x220x120.法一：x1x2，x1x24.20 3所以k1，y15 x123x12 35x12k3，y25 x223x22 35x22 所以k1k37（x22）（ 3x12 35）（x12）（ 3x22 35）（x12）（x22）2 3x1x25（x1x2）8 320x1x22（x1x2）42 3 × 4203× 58 32042 ×20 34 ，5 2 所以k1k32k2， 所以k1、k2、k3成等差数列法二：x16， y14 3，)x223，y24 33，)即A(6，4)、B( ，)，32 34 33所以k1，k3，y15 x124 358y25 x224 3352 324 3158所以k1k3 ，5 2 所以k1k32k2， 所以k1、k2、k3成等差数列 6(选做题)已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F(2，0)， (1)求抛物线方程； (2)过点T(t，0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N 分别为线段AB，CD的中点，求TMN的面积最小值 解：(1)由题意知，p4，故所求抛物线方程为 y28x. (2)根据题意得AB，CD的斜率存在，故设直线AB：xmyt，直线CD：xyt，1 m A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由得y28my8t0.xmyt， y28x)所以4m4m2tM(4m2t，4m)，y1y2 2x1x2 2同理可得N(t， )，4 m24 m所以|TN|，16 m416 m24 |m|2m21 |TM|4|m|，16m416m2m21所以STMN |TM|TN|8(|m|)16.1 21 |m| 当且仅当|m|1 时，面积取到最小值 16.8