2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元测试2 北师大版选修1-1.doc

1第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程(时间：100 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆1 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 3，则P到另一焦点的距x2 25y2 16 离为( ) A2 B3 C5 D7 解析：选 D.设另一个焦点为F，由椭圆定义知 3|PF|10，|PF|7. 2抛物线yx2的焦点坐标为( )A(0， ) B( ，0)1 81 4C(0， ) D(0， )1 41 2解析：选 C.方程化为标准形式为x2y，故其焦点坐标为(0， )1 4 3双曲线x2y21 的顶点到其渐近线的距离等于( )A. B.1 222 C1 D.2 解析：选 B.双曲线x2y21 的顶点坐标为(±1，0)，渐近线为y±x，x±y0，顶点到渐近线的距离为d.| ± 1 ± 0|222 4已知抛物线y2px2(p>0)的准线与圆x2y24y50 相切，则p的值为( ) A10 B6C. D.1 81 24解析：选 C.抛物线方程可化为x2y(p>0)，由于圆x2(y2)29 与抛物线的准线1 2py相切，32，p .1 8p1 8p1 8 5已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )5Ay±2x By±x52Cy±x Dy±x1 26解析：选 C.由题意知双曲线的渐近线方程为y±x，a be21( )25， 2，故渐近线方程为y±x.c2 a2b ab a1 2 6若直线l过点(3，0)与双曲线 4x29y236 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条2解析：选 C.双曲线方程可化为1，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求x2 9y2 4 的直线l有 3 条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行) 7已知定直线l与平面成 60°角，点P是平面内的一动点，且点P到直线l 的距离为 3，则动点P的轨迹是( ) A圆 B椭圆的一部分 C抛物线的一部分 D椭圆 解析：选 D.以l为轴底面半径为 3 的圆柱被与l成 60°的平面所截，截线为椭 圆8设P为双曲线x21 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若y2 3 |PF1|PF2|53，则PF1F2的面积是( ) A4 B62 C7 D8解析：选 B.a1，c2，|PF1|PF2|2， ，|PF1| |PF2|5 3 由得|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|4， PF2F190°，故SPF1F2 |PF2|F1F2| ×3×46.1 21 2 9已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛 物线准线的距离之和的最小值为( )A. B3172C. D.59 2解析：选 A.如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x 的距离d等于点P到焦1 2 点的距离|PF|.因此点P到点M(0，2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点M(0，2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0，2)到点F的距离，则(1 2，0)距离之和的最小值为 .41417210椭圆1(a>b>0)的内接矩形的最大面积的取值范围是3b2，4b2，则该椭x2 a2y2 b2 圆的离心率e的取值范围是( )A， B，33225332C， D，22533332 解析：选 B.由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行x轴，y轴，设矩形在第一 象限的顶点坐标为(x，y)(x>0，y>0)，3S矩形4xy2ab(2 · )2ab()2ab3b2，4b2，x ay bx2 a2y2 b23b22ab4b2，即 ，e21( )2 ， ，故e，1 2b a2 3c2 a2b a5 93 45332 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中横线上)11椭圆1 的一个焦点为(0，1)，则m_x2 m2y2 3m 解析：由题意a23m，b2m2，又c1，12a2b23mm2，即 m2m20， m2 或m1，均满足 3m>m2. 答案：2 或 1 12如图，共顶点的椭圆，与双曲线，的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其 大小关系为_解析：对椭圆，离心率越小，椭圆越圆，00)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m的取值 范围是_ 解析：设P(x，y)为抛物线上任一点，则|PM|2(xm)2y2x22(m1)xm2 x(m1)22m1. m>0，m1>1. 由于x0，且由题意知当x0 时，|PM|最小 则对称轴xm1 应满足1b>0)，由题意知：2a18，2a6c，所以解得x2 a2y2 b2a9，c3，故b2a2c272，所以椭圆C的方程是1，离心率e .x2 81y2 72c a3 91 3 17(本小题满分 10 分)k代表实数，讨论方程kx22y280 所表示的曲线4解：当k2 时，曲线1 为焦点在y轴上的椭圆y2 4x2 8 k 18(本小题满分 10 分)已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点 (1)求证：OAOB； (2)当OAB的面积等于时，求k的值10 解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2yk0.y2x， yk（x1）) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1·y21. A，B在抛物线y2x上， yx1，yx2.y·yx1x2.2 12 22 12 2kOA·kOB·1，y1 x1y2 x2y1y2 x1x21 y1y2 OAOB. (2)设直线AB与x轴交于点N，显然k0. 令y0，则x1，即N(1，0) SOABSOANSOBN |ON|y1| |ON|y2|1 21 2 |ON|·|y1y2|，1 2SOAB ·1·1 2（y1y2）24y1y2 .1 2(1 k)24 SOAB，10 ，101 21 k24解得k± .1 6 19(本小题满分 12 分)已知：双曲线x22y22 的左、右焦点分别为F1、F2，动点 P满足|PF1|PF2|4. (1)求：动点P的轨迹E的方程； (2)若M是曲线E上的一个动点，求|MF2|的最小值并说明理由 解：(1)F1(，0)，F2(，0)，33 且|PF1|PF2|4>2，3 P点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，5且a2，c，从而b1.动点P的轨迹方程为y21.3x2 4 (2)设M(x，y)，则|MF2|，（x 3）2y2y21，y21，|MF2|.x2 4x2 43 4x22 3x4（32x2）2|32x2|ME，x2，2，|MF2|2x，x2，232 显然|MF2|在2，2上为减函数， |MF2|有最小值 2.320(本小题满分 13 分)如图，F1、F2分别是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，x2 a2y2 b2 A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260°.(1)求椭圆C的离心率； (2)已知AF1B的面积为 40，求a，b的值3解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e .1 2 (2)法一：a24c2，b23c2， 直线AB的方程为y(xc)，3将其代入椭圆方程 3x24y212c2，得B，(8 5c，3 35c)所以|AB|·c.13|8 5c0|16 5由SAF1B |AF1|·|AB|·sinF1ABa·c·a240，1 21 216 5322 353 解得a10，b5.3 法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可 知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta.8 5由 SAF1B a· a·a240知，a10，b5.1285322 3533