福州市普通高中毕业班综合测试理科数学.pdf

2016 年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：（完卷时间：120120 分钟；满分：分钟；满分：150150 分）分）本试卷分第卷和第卷两部分第卷1 至 2 页，第卷 3 至 4 页，满分 150 分考生注意：考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知全集为 R R，集合M 1,1,2,4,N x|x2 2x 3，则M(R RN)（2）（3）（4）（A）1,1,2（B）1,2（C）4（D）x 1x2复数 z 满足z(1i)|1i|，则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（5）函数f(x)Asin(x)（A0）在x 处取得最小值，则3（6）（A）f(x)是奇函数（B）f(x)是偶函数33（7）（C）f(x)是奇函数（D）f(x)是偶函数33（8）在ABC中，AB AC 5,BABC 4，则AB（9）（A）9（B）3（C）2（D）1（10）已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量 X（单位：mm）对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率P如下表所示：降水量 X工期延误天数 Y概率 P（11）（12）（13）（14）051530在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（A）0.1（B）0.3（C）0.42（D）0.5x 10,若x,y满足约束条件x y 20,且x 2y 20,目标函数z ax y取得最大值的点有无数个，则z的最小值（15）（16）（A）2等于3（B）2（D）1（C）212（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）（25）执行右面的程序框图，若输入n值为 4，则输出的结果为（A）8（C）345（B）21（D）551 2x 2的展开式中，x的系数为x（A）45（B）60（C）90（D）120正项等比数列an满足a11,a2a6 a3a5128，则下列结论正确的是（A）nN N*，anan1an2（B）nN N*，an an2 2an1（D）nN N*，an an3 an1 an2（C）nN N*，Sn an1x2y2双曲线E:221(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是E左支上一点，abPF1 F1F2，直线PF2与圆x2 y2 a2相切，则E的离心率为（26）（27）棱锥的体积等于（28）（29）（30）（A）54（B）35（C）3（D）2 33一个三棱锥的三视图如图所示，则该三21（A）2（C）设4 33（B）4 2322正视图侧视图（D）3俯视图mR R，函数f(x)(x m)2(e2x 2m)2若存在x0使得f(x0)1成立，则m 53（C）5（D）（31）1（A）5（B）2545第卷本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置x 1,0 x2,（32）已知函数f(x)若gx fx ax,x2,2为偶函数，则实数a 1,2x0.（33）所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于（34）抛物线C:y2 4x的准线与x轴交于点M，过焦点F作倾斜角为60的直线与C交于A,B两点，则tanAMB=（35）数列an的前n项和为Sn已知a1 2,Sn1(1)nSn 2n，则S100_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（36）（本小题满分 12 分）tan A2c（37）ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知1tanBb（38）（）求A；（39）（）若BC边上的中线AM 2 2，高线AH 3，求ABC的面积（40）（本小题满分 12 分）（41）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30 名男生和20 名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含 80 分)（42）（43）（）（i）请根据图示，将 22 列联表补充完整；男生女生优分非优分总计总计50（44）（45）（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学（46）科成绩与性别有关”？（47）（）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3 名学生的成绩，求至少 2 名学生的成绩为优分的概率（48）附：（49）0.1002.70620.0503.8410.0106.6350.00110.828（50）K2n(ad bc)(ab)(cd)(ac)(bd)（51）（本小题满分 12 分）（52）如图所示，四棱锥P ABCD的底面是梯形，且AB/CD,AB平面PAD，E是PB中点，1CD PD AD ABP2（53）（）求证：CE 平面PAB；CED（54）（）若CE 3，AB4，求直线CE与平面PDC所成角的大小（55）（本小题满分 12 分）AB（56）在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B的坐标分别为2,0,2,0直线AP,BP相交于点P，且它们的斜率之积是1记点P的轨迹为4（57）（）求的方程；（58）（）已知直线AP,BP分别交直线l:x 4于点M,N，轨迹在点P处的切线与线段MN交于点MQ的值Q，求NQ（59）（本小题满分 12 分）（60）已知aR，函数f(x)ex1 ax的图象与x轴相切（61）（）求f(x)的单调区间；（62）（）当x 1时，f(x)m(x 1)ln x，求实数m的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号DA（63）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲（64）如图所示，ABC内接于圆 O，D是BAC的中点，BAC的平 分 线O分别交BC和圆O于点E,F（65）（）求证：BF是ABE外接圆的切线；CBEF（66）（）若AB3,AC 2，求DB2DA2的值（67）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x 2 2cos,（68）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半y 2sin轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系（69）（）写出C1的极坐标方程；1x2x x,（70）（）设曲线C2:y21经伸缩变换2后得到曲线C3，射线（0）分别与C1和43y yC3交于A,B两点，求|AB|（71）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲（72）已知不等式|x 3|2x 1的解集为x|x m（73）（）求m的值；1（74）（）设关于x的方程|x t|x|m（t 0）有解，求实数t的值t20162016 年福州市普通高中毕业班综合质量检测年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学试题答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分 60 分（1）A（2）D（3）B（4）B（5）D（6）C（7）C（8）D（9）C（10）C（11）A（12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5 分，满分 20 分1（13）（14）8（15）4 3（16）1982三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分12 分tan A2csin AcosB2sinC解：（）因为1，所以1，2 分tanBbsinBcosAsinBsin(A B)2sin C即，sinBcosAsinB因为sin(A B)sinC 0，sinB 0，1所以cos A，4 分2又因为A(0,)，所以A 5 分31（）由M是BC中点，得AM(AB AC)，22221即AM(AB AC 2AB AC)，4所以c2b2bc 32，7 分11由S AH BC AB ACsin A，223 9 分bc 3a，即bc 2a，2又根据余弦定理，有a2b2c2bc，10 分bc联立，得()2322bc，2解得bc 81所以ABC的面积S bcsin A 2 3 12 分2（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想满分12 分解：（）根据图示，将22 列联表补充完整如下：得男生女生总计 2 分假设H0：该学科成绩与性别无关，n(ad bc)250(991121)2 3.125，K的观测值k(a b)(c d)(a c)(b d)20302030因为3.125 2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关6 分（）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率20 7 分f 0.4视作概率50设从高三年级中任意抽取 3 名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B(3,0.4)，2优分91120非优分21930总计302050 9 分2233所求概率P P(X 2)P(X 3)C30.4 0.6C30.4 0.352 12 分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分12 分（）证明：取AP的中点F，连结DF,EF，如图所示因为PD AD，所以DF AP 1 分因为AB 平面PAD，DF 平面PAD，所以AB DF又因为APAB A，所以DF 平面PAB3 分因为点E是PB中点，AB所以EF/AB，且EF 4 分2AB又因为AB/CD，且CD，2所以EF/CD，且EF CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE/DF，所以CE 平面PAB 6 分（）解：设点 O，G 分别为 AD，BC 的中点，连结OG，则OG/AB，因为AB 平面PAD，AD平面PAD，所以AB AD，所以OG AD 7 分因为EC 3，由（）知，DF 3,又因为AB4，所以AD2，所以AP 2AF 2 AD2 DF2 2 223 2,所以APD为正三角形，所以PO AD，因为AB 平面PAD，PO 平面PAD，所以AB PO又因为ADAB A，所以PO 平面ABCD8 分故OA,OG,OP两两垂直，可以点 O 为原点，分别以OA,OG,OP的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz，如图所示13P(0,0,3)，C(1,2,0),D(1,0,0)，E(,2,)，2233所以PD (1,0,3)，PC (1,2,3)，EC (,0,)，9 分22设平面PDC的法向量n n (x,y,z)，n nPD 0,x 3z 0,则所以n nPC 0,x 2y 3z 0,取z 1，则n n (3,0,1)，10分设EC与平面PDC所成的角为，31|，则sin|cos n n,EC|11分232因为0,，所以，62所以EC与平面PDC所成角的大小为 12分6（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等满分12 分解法一：（）设点P坐标为x,y，则y（x 2）；x 2y直线BP的斜率kBP（x 2）2分x 2yy1由已知有，3分（x 2）x 2x 24x2化简得点P的轨迹的方程为 y21（x 2）4分4（注：没写x 2或x 2扣 1 分）2x02（）设Px0,y0（x0 2），则 y0 5分1 46yy0直线AP的方程为y 6分x 2，令x 4，得点M纵坐标为yM0；x0 2x0 2直线AP的斜率kAP直线BP的方程为y y02y 7分x 2，令x 4，得点N纵坐标为yN0；x02x0 2设在点P处的切线方程为y y0 kx x0，y kx x0 y0,222由2得 8分1 4kx 8k y kxx 4 y kx4 000002x 4y 4,22由 0，得64k2y0kx0161 4k2y0kx01 0，22 2kx0y0 k2x01 4k2整理得y02x x0 x22将y 1,x0代入上式并整理得2y0k 0 0，解得k 0，9分 41 y024y40 x所以切线方程为y y0 0 x x04y0202令x 4得，点Q纵坐标为yQ y0 x04 x04y02241 x01 x04y04x0 x04y04y0y0 10 分设MQ QN，所以yQ yMyN yQ，2y01 x06y01 x0 11 分 y0 x0 2x 2y0022y01 x0 x0 21 x0 x0 26y02所以y0 x0 2y0 x0 2所以2x0 xx将y 1代入上式，2+0(2+0)，422MQ1 解得1，即 12 分NQ20解法二：（）同解法一2x02（）设Px0,y0（x0 2），则 y0 5 分146yy0直线AP的方程为y 6 分x 2，令x 4，得点M纵坐标为yM0；x0 2x0 2直线BP的方程为y y02y 7 分x 2，令x 4，得点N纵坐标为yN0；x02x0 2设在点P处的切线方程为y y0 kx x0，y kx x0 y0,222由2得 8 分1 4kx 8k y kxx 4 y kx4 000002x 4y 4,22由 0，得64k2y0kx0161 4k2y0kx01 0，22 2kx0y0 k2x01 4k2整理得y02x x0 x222将y01,x0代入上式并整理得2y0k 0 0，解得k 0，9 分 41 y024y40 x所以切线方程为y y0 0 x x04y02令x 4得，点Q纵坐标为yQ y0 x04 x04y02241 x01 x04y04x0 x04y04y0y0 10 分8x01y08x01y06y02y01 x0 2 2yQ，所以yM yN 11分22x0 2x0 2x0 44y0y0所以Q为线段MN的中点，即MQNQ1 12 分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分12 分解：（）f x ex1 a，设切点为(x0,0)，1 分x 1 f(x0)0,e0ax0 0,依题意，即x 10 f(x)0,0ea 0,x 1,解得0 3 分a 1,所以f x ex11当x 1时，f x 0；当x 1时，f x 0故fx的单调递减区间为(,1)，单调递增区间为(1,)5 分（）令g(x)f(x)m(x 1)ln x，x 0 x 1则g(x)ex1m(lnx)1，x11令h(x)g(x)，则h(x)ex1m(2)，6 分xx1（）若m，211因为当x 1时，ex11，m(2)1，所以h(x)0，xx所以h(x)即g(x)在(1,)上单调递增又因为g(1)0，所以当x 1时，g(x)0，从而g(x)在1,)上单调递增，而g(1)0，所以g(x)0，即f(x)m(x 1)ln x成立 9 分1（）若m，211可得h(x)ex1m(2)在(0,)上单调递增xx11因为h(1)12m 0，h(1ln(2m)2mm 0，1ln(2m)1ln(2m)2所以存在x1(1,1 ln(2m)，使得h(x1)0，且当x(1,x1)时，h(x)0，所以h(x)即g(x)在(1,x1)上单调递减，又因为g(1)0，所以当x(1,x1)时，g(x)0，从而g(x)在(1,x1)上单调递减，而g(1)0，所以当x(1,x1)时，g(x)0，即f(x)m(x 1)ln x不成立1纵上所述，k的取值范围是(,12分2请考生在第（请考生在第（2222）,（2323）,（2424）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号题号（22）选修41：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分10 分解：（）设ABE外接圆的圆心为O，连结BO并延长交圆O于G点，连结GE，则BEG 90，BAE BGE因为AF平分BAC，所以BF=FC，所以FBEBAE，2 分所以FBG FBEEBG BGEEBG180BEG 90，所以OB BF，所以BF是ABE外接圆的切线 5 分G G（）连接DF，则DF BC，所以DF是圆O的直径，D D因为BD2 BF2 DF2，DA2 AF2 DF2，A A2222所以BD DA AF BF 7 分OOO O因为AF平分BAC，所以ABFAEC,ABAF所以，所以AB AC AE AF (AF EF)AF,B BC CE EAEACF F因为FBE BAE，所以FBEFAB，从而BF2 FE FA，所以AB AC AF2 BF2，所以BD2 DA2 AB AC 6 10分（23）选修44；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等满分10 分x 2 2cos,解：（）将消去参数，化为普通方程为(x 2)2 y2 4，y 2sin即C1:x2 y2 4x 0，2 分x cos,将代入C1:x2 y2 4x 0，得2 4cos，4 分y sin所以C1的极坐标方程为 4cos 5 分x 2x,（）将代入C2得x2 y21，y y所以C3的方程为x2 y21 7 分C3的极坐标方程为1，所以|OB|1又|OA|4cos 2，3所以|AB|OA|OB|1 10 分（24）选修45：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解：（）由|x 3|2x 1得，x3,x 3,或 2 分x 3 2x 1,(x 3)2x 1,解得x 2依题意m 2 5 分1111（）因为x t x x tx t t，tttt1当且仅当x tx t0时取等号，7 分1因为关于x的方程|x t|x|2（t 0）有实数根，t1所以t 8 分2t另一方面，t 所以t 1t2，1 9 分 2，t所以t 1或t 1 10 分