线性代数公式大全——最新修订(突击必备).pdf

线性代数公式大全1、行列式1.n n行列式共有n n个元素，展开后有n n!项，可分解为2行列式；2.代数余子式的性质：、A A和a a的大小无关；2n nij ijij ij、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A A；3.代数余子式和余子式的关系：MM(1)A A4.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；i i j jij ijij ijA Aij ij(1)i i j jMMij ij、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)、上、下三角行列式（n n(n n1)2n n(n n1)2；）：主对角元素的乘积；A AB BO OO OA AB BC C(1)m mgn nA A B B、和：副对角元素的乘积(1)、拉普拉斯展开式：A AC CO OB BA AC CO OB B A A B B、C C、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；5.对于n n阶行列式A A，恒有：E E A A(1)n nk k1n nk kS Sk kn nk k，其中S S为k k阶主子式；k k6.证明A A 0的方法：、A A A A；、反证法；、构造齐次方程组AxAx 0，证明其有非零解；、利用秩，证明r r(A A)n n；、证明 0 是其特征值；2、矩阵1.A A是n n阶可逆矩阵：A A 0（是非奇异矩阵）；r r(A A)n n（是满秩矩阵）A A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组AxAx 0有非零解；b bR Rn n，AxAx b b总有唯一解；1A A与E E等价；0；A A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A A的特征值全不为A AT TA A是正定矩阵；A A的行（列）向量组是R Rn n的一组基；A A是R Rn n中某两组基的过渡矩阵；2.对于n n阶矩阵A A：AAAA A A A A A A E E无条件恒成立；3.(A A)(A A)(A A)(A A)(A A)(A A)(ABAB)B B A A(ABAB)B B A A(ABAB)B B A A*1*11 T T*T T1*T TT T*1T TT TT T*114.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A A、B B可逆：A A1若A A A A2O，则：A As s、A A A A1A A2LA As s1A A2；A As s1 A A11、A A11O A A1 A AO O、O OB BO OO OA A O O、1B BO OA A A A1 A AC C、O OB BO O111O O；（主对角分块）B B1B B1；（副对角分块）O OA A1CBCB1；（拉普拉斯）B B1O O；（拉普拉斯）B B1A A1 A AO O、C CB B11B B CACA3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m mn n矩阵A A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：E EO OF F；r rO OO Om mn n等价类：所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A A、B B，若r r(A A)r r(B B)A A:B B；2.行最简形矩阵：2、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(A A,E E):(E E,X X)，则A A可逆，且X X A A；、对矩阵(A A,B B)做初等行变化，当A A变为E E时，B B就变成A A B B，即：r r11(A A,B B)(E E,A A1B B)；c c、求解线形方程组：对于n n个未知数n n个方程AxAx b b，如果(A A,b b):(E E,x x)，则A A可逆，且x x A A b b；1r r4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1、，左乘矩阵A A，乘A A的各行元素；右乘，乘A A的各列i ii in n2O元素；11、对调两行或两列，符号E E(i i,j j)，且E E(i i,j j)1 E E(i i,j j)，例如：11；111、倍 乘 某 行 或 某 列，符 号1111k kk k1E E(i i(k k)，且1E E(i i(k k)1 E E(i i()k k，例 如：(k k 0)；1、倍 加 某 行 或 某 列，符 号k kk k1111(k k 0)；111E E(ij ij(k k),且E E(ij ij(k k)1 E E(ij ij(k k)，如：5.矩阵秩的基本性质：、0 r r(A A)min(m m,n n)；m mn n、r r(A AT T)r r(A A)；、若A A:B B，则r r(A A)r r(B B)；、若P P、Q Q可逆，则r r(A A)r r(PAPA)r r(AQAQ)r r(PAQPAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）3、max(r r(A A),r r(B B)r r(A A,B B)r r(A A)r r(B B)；（）、r r(A A B B)r r(A A)r r(B B)；（）、r r(ABAB)min(r r(A A),r r(B B)；（）、如果A A是m mn n矩阵，B B是n n s s矩阵，且ABAB 0，则：（）、B B的列向量全部是齐次方程组AXAX 0解（转置运算后的结论）；、r r(A A)r r(B B)n n、若A A、B B均为n n阶方阵，则r r(ABAB)r r(A A)r r(B B)n n；6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1a ac c、型如01b b的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式：(a a b b)n nn n C C a a C C a a0n nn n1n nn n11b b L C C a am mn nn nm mb b L C Cm mn n11n n1n na a b bm mm mn nm mC C b b C Cn na a b bn nn nn nm m0n n；注：、(a a b b)展开后有n n1项；mn、Cn(n1)L L(nm1)n!1g2g 3g L gmm!(nm)!mn0nCn Cn1、组合的性质：C CnmnCmn1 CCmnm1nCr0nrn 2nrr1rCn nCn1；、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：n n、伴随矩阵的秩：r r(A A*)10r r(A A)n nr r(A A)n n1；r r(A A)n n1、伴随矩阵的特征值：、A A*A A(AXAX X X,A A*A A A A1 A A*X X A AX X)；A A A A1、A A*A An n18.关于A A矩阵秩的描述：、r r(A A)n n，A A中有n n阶子式不为 0，n n1阶子式全部为 0；（两句话）、r r(A A)n n，A A中有n n阶子式全部为 0；、r r(A A)n n，A A中有n n阶子式不为 0；9.线性方程组：AxAx b b，其中A A为m mn n矩阵，则：、m m与方程的个数相同，即方程组AxAx b b有m m个方程；、n n与方程组得未知数个数相同，方程组AxAx b b为n n元方程；410.线性方程组AxAx b b的求解：、对增广矩阵B B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n n个未知数m m个方程的方程组构成n n元线性方程：a a11x x1a a12x x2L a a1n nx xn n b b1a a x x a a x x L a ax x b b2112222n nn n2、L L L L L L L L L L La am m1x x1a am m2x x2L a anmnmx xn n b bn n a a11a a12a a21a a22、MMa am m1a am m2n n个未知数）；LLOLa a1n n x x1 b b1a a2n nx x2b b2 AxAx b b（向量方程，A A为m mn n矩阵，m m个方程，M M M a amnmnx xm mb bm m、a a1a a2L x x1x xa an n2 M x xn nb b1b b2（全部按列分块，其中）；M b bn n、a a x x11a a2x x2L a an nx xn n（线性表出）4、向量组的线性相关性、有解的充要条件：r r(A A)r r(A A,)n n（n n为未知数的个数或维数）1.m m个n n维列向量所组成的向量组A A：1,2,L,m m构成n nm m矩阵A A (1,2,L,m m)；1T TT T T TT TT Tm m个n n维行向量所组成的向量组B B：1,2,L,m m构成m mn n矩阵B B 2；M T Tm m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关 AxAx 0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 AxAx b b是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AXAX B B是否有解；（矩阵方程）3.矩阵A A与B B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AxAx 0和BxBx 0同解；(P P101例 14)4.r r(A A A A)r r(A A)；(P P101例 15)5.n n维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0；m mn nl ln nT T、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；56.线性相关与无关的两套定理：若,L,线性相关，则,L,必线性相关；12s s12s ss s1若,L,线性无关，则,L,必线性无关；（向量的个数加加减减，12s s12s s1二者为对偶）若r r维向量组A A的每个向量上添上n n r r个分量，构成n n维向量组B B：若A A线性无关，则B B也线性无关；反之若B B线性相关，则A A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组A A（个数为r r）能由向量组B B（个数为s s）线性表示，且A A线性无关，则r r s s(二版P P74定理 7)；向量组A A能由向量组B B线性表示，则r r(A A)r r(B B)；（P P86定理 3）向量组A A能由向量组B B线性表示 AXAX B B有解；r r(A A)r r(A A,B B)（P P85定理 2）向量组A A能由向量组B B等价 r r(A A)r r(B B)r r(A A,B B)（P P85定理 2 推论）8.方阵A A可逆存在有限个初等矩阵P P,P P,L,P P，使A A P PP P L P P；、矩阵行等价：A A B B PAPA B B（左乘，P P可逆）AxAx 0与BxBx 0同解、矩阵列等价：A AB B AQAQ B B（右乘，Q Q可逆）；、矩阵等价：A A B B PAQPAQ B B（P P、Q Q可逆）；9.对于矩阵A A与B B：、若A A与B B行等价，则A A与B B的行秩相等；、若A A与B B行等价，则AxAx 0与BxBx 0同解，且A A与B B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A A的行秩等于列秩；10.若A AB B C C，则：、C C的列向量组能由A A的列向量组线性表示，B B为系数矩阵；、C C的行向量组能由B B的行向量组线性表示，A A为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组BxBx 0的解一定是ABxABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABxABx 0只有零解 BxBx 0只有零解；、BxBx 0有非零解 ABxABx 0一定存在非零解；12.设向量组B B:b b,b b,L,b b可由向量组A A:a a,a a,L,a a线性表示为：（P P110题 19 结论）(b b,b b,L,b b)(a a,a a,L,a a)K K（B B AKAK）其中K K为s sr r，且A A线性无关，则B B组线性无关 r r(K K)r r；（B B与K K的列向量12l l12l lr rc cm mn nl ln nm ms ss sn nm mn nT Tn nr r12r rn ns s12s s12r r12s s6组具有相同线性相关性）（必要性：Q r r r r(B B)r r(AKAK)r r(K K),r r(K K)r r,r r(K K)r r；充分性：反证法）注：当r r s s时，K K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵A A，存在Q Q，AQAQ E E r r(A A)m m、Q Q的列向量线性无关；（P P87）、对矩阵A A，存在P P，PAPA E E r r(A A)n n、P P的行向量线性无关；14.,L,线性相关存在一组不全为 0 的数k k,k k,L,k k，使得k k k k L k k 0成立；（定义）m mn nn nm mm mm mn nn nm mn n12s s12s s1122s ss s x x1x x(1,2,L,s s)2 0有非零解，即AxAx 0有非零解；M x xs sr r(1,2,L,s s)s s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15.设m mn n的矩阵A A的秩为r r，则n n元齐次线性方程组AxAx 0的解集S S的秩为：r r(S S)n nr r；16.若为AxAx b b的一个解，,L,为AxAx 0的一个基础解系，则,L,线性无关；（P P111题 33 结论）5、相似矩阵和二次型*12n nr r12n nr r1.正交矩阵 A A A A E E或A A A A（定义），性质：、A A的列向量都是单位向量，且两两正交，即a aT T1T TT Ti i1a aj j0i i j ji i j j(i i,j j 1,2,L n n)；、若A A为正交矩阵，则A A A A也为正交阵，且A A 1；、若A A、B B正交阵，则ABAB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2.施密特正交化：(a a,a a,L,a a)b b a a；1T T12r r11b b2 a a2b b1,a a2gb b1b b1,b b1L L Lb b1,a ar rb b,a a b b,a a gb b12r rgb b2L r r1r rgb br r1;b b1,b b1b b2,b b2b br r1,b br r1b br r a ar r3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A A与B B等价A A经过初等变换得到B B；PAQPAQ B B，P P、Q Q可逆；r r(A A)r r(B B)，A A、B B同型；、A A与B B合同 C C ACAC B B，其中可逆；x x AxAx与x x BxBx有相同的正、负惯性指数；、A A与B B相似 P P APAP B B；T TT TT T175.相似一定合同、合同未必相似；若C C为正交矩阵，则C C ACAC B BA A:B B，（合同、相似的约束条件不同，相似T T的更严格）；6.A A为对称阵，则A A为二次型矩阵；7.n n元二次型x xT TAxAx为正定：A A的正惯性指数为n n；A A与E E合同，即存在可逆矩阵C C，使C CT TACAC E E；A A的所有特征值均为正数；A A的各阶顺序主子式均大于 0；a aii ii 0,A A 0；(必要条件)8