2021_2022学年高中数学第2章解析几何初步11.2直线的方程第1课时直线方程的点斜式学案北师大.pdf

.第第 1 1 课时课时直线方程的点斜式直线方程的点斜式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线方程的点斜式(重点)1.通过学习直线的点斜式、斜截式方程，培养数学抽象素养.2.通过求解直线的点斜式、斜截式方程，提升数学运算素养.y轴上截距的概念(易混点)3.了解斜截式与一次函数的关系(难点)1直线的点斜式和斜截式方程(1)直线的方程：如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上(2)直线的点斜式和斜截式方程名称条件点斜式点P(x0，y0)和斜率k斜截式斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程适用范围yy0k(xx0)斜率存在ykxb思考 1：直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？提示：不能不表示倾斜角为90的直线2直线l的截距(1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标(2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的横坐标思考 2：直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为 0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1过点P(2,0)，斜率是 3 的直线的方程是()Ay3x2Cy3(x2)答案D2直线方程为y22x2，那么()A直线过点(2，2)，斜率为 2B直线过点(2,2)，斜率为 21C直线过点(1，2)，斜率为2D直线过点(1，2)，斜率为 2D把直线方程写成点斜式方程y(2)2(x1)，故直线过点(1，2)，斜率为 2.3直线y2 3(x3)的倾斜角是_，在y轴上的截距是_12023 3因为直线斜率为 3，所以倾斜角为 120.又因为x0 时，y23 3，在y轴上的截距是 23 3.By3x2Dy3(x2)【例 1】根据条件写出以下直线方程的点斜式(1)经过点A(1,4)，倾斜角为 45；(2)经过原点，倾斜角为60；(3)经过点D(1,1)，倾斜角为 0.解(1)直线斜率为 tan 451，直线方程为y4x1.直线的点斜式方程(2)直线斜率为 tan 60 3，所求直线的方程为y0 3(x0)(3)直线斜率为 0，直线方程为y10(x1)1求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0)2点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但斜率不存在的直线除外1(1)过点(1,2)，且倾斜角为 135的直线方程为_下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(2)斜率为3，与x轴交点的横坐标为7 的直线的点斜式方程为_23(x7)(1)ktan 1351，由直线的点斜式方程得2(1)xy10(2)y0y2(x1)，即xy10.(2)由直线与x轴交点的横坐标为7，得直线过点(7,0)又斜率为3，2所以所求直线的点斜式方程为：y03(x7)2【例 2】根据条件写出以下直线的斜截式方程(1)斜率为 2，在y轴上的截距是 5；(2)倾斜角为 150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为 60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.直线方程的斜截式解(1)由直线方程的斜截式可知，所示直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 1503，33x2.3由斜截式可得方程为y(3)直线的倾斜角为 60，其斜率ktan 60 3，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3 或b3.所求直线方程为y 3x3 或y 3x3.1直线的斜率或直线与y轴的交点坐标时，常用斜截式写出直线方程2利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距2根据条件写出以下直线方程的斜截式(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为 2；下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(2)斜率与直线xy0 一样，在y轴的截距与直线y2x3 的一样解(1)法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为yk(x2)，点A(3,4)在直线上，k4，y4(x2)4x8，所求直线方程的斜截式为y4x8.法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，40那么直线的斜率k4，32由直线的点斜式方程得y04(x2)4x8，所求直线方程的斜截式为y4x8.(2)因为直线xy0 的方程可化为yx，斜率为1，直线y2x3 在y轴上的截距为 3，所以所求直线方程的斜截式为yx3.探究问题点斜式、斜截式的应用1直线l：yk(x1)2 不经过第二象限，如何求k的取值范围？提示：由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k，那么kOA2(O为坐标原点)，如下图，数形结合可知，k2 时满足条件32直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12，请求出4直线l的方程3提示：设直线l的方程为yxb，令x0，得yb；令y0，得x44b，345|b|bb12，解得b3，333所求的直线方程为yx3.4【例 3】直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程思路探究先判断直线的斜率一定存在，设出直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.解显然，直线l与两坐标轴不垂直，否那么不构成三角形，设其斜率为k(k0)，那么直线l的方程为y3k(x2)，令x0，得y2k3，3令y0，得x 2，k于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为132k3 24，2k3即(2k3)28.k3假设(2k3)28，k那么整理得 4k4k90，无解23假设(2k3)28，k那么整理得 4k20k90，19解之，得k 或k.221919所以直线l的方程为y3(x2)或y3(x2)，即yx2 或yx22226.1假设将本例中“直线l经过点P(2,3)改为“直线l的斜率为2”，其它条件不变，求直线l的方程解设直线方程为y2xb，那么令x0 得yb；令y0 得x；21b2由题意得，|b|4，即|b|16.22所以b4.所以直线l的方程为y2x4 或y2x4.2假设将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4”改为“且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程解依题意直线的斜率存在，设为k，直线方程为y3k(x2)，令x0 得纵截距为y2k3.2b下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.3令y0 得横截距为x 2，k3依题意得，2k3 2，k3解得k 或k1，23所以直线方程为yx或yx1.21直线方程的斜截式ykxb清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b.2一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法.1对直线的点斜式方程的认识(1)应用条件：一个定点P(x0，y0)；有斜率k.(2)局限性：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，这时直线方程为：xx00或xx0.(3)方程特点：当k取任意实数时，方程yy0k(xx0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线2对“截距概念的理解直线ykxb中的b叫直线在y轴上的截距，也可称为直线的截距，即当x0 时yb.所以直线在y轴上的截距为其与y轴的交点的纵坐标，不是直线与y轴的交点到坐标原点的距离3直线方程的斜截式与一次函数解析式的关系(1)斜截式方程中，k0 时，ykxb即为一次函数，k0 时，yb不是一次函数(2)一次函数ykxb(k0)一定可以看成一条直线的斜截式方程1思考辨析(1)点斜式yy1k(xx1)只适用于不平行于x轴且不垂直于x轴的任何直线()()()(2)斜截式ykxb适用于不垂直于x轴的任何直线(3)yy1k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线的方程xx1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.解析(1)，点斜式yy1k(xx1)适用于平行x轴的直线，所以(1)错(2)，正确(3)，yy1k中不含点P1(x1，y1)，所以不能表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线，xx1因此(3)错答案(1)(2)(3)2直线ykxb通过第一、三、四象限，那么有()Ak0，b0Ck0B直线经过一、三、四象限，如下图，那么由图知，k0，b0，b0Dk0，b0y34(x2)由直线的点斜式方程可得y34(x2)4直线l的倾斜角是直线yx1 的倾斜角的 2 倍，且过点P(3,3)，那么直线l的方程为_x3直线yx1 的斜率为 1，所以倾斜角为 45，又所求直线的倾斜角是直线倾斜角的 2 倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在又直线过点P(3,3)，所以直线l的方程为x3.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。