2021_2022学年高中数学第3章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题(不作要求)3..pdf

.3.4.23.4.2根本不等式的应用根本不等式的应用学 习 目 标1.熟练掌握利用根本不等式求函数的最值问题(重点)2.会用根本不等式求解实际应用题(难点)核 心 素 养1.通过根本不等式求最值，提升数学运算素养.2.借助根本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.根本不等式与最值a0，b0，在运用根本不等式时，要注意：(1)和ab一定时，积ab有最大值；(2)积ab一定时，和ab有最小值；(3)取等号的条件当且仅当ab时，abab.2141a0，b0，ab2，那么y 的最小值是()ab79A.B4C.D522C Cab2，ab21.1414ab abab252ab5 22b2a22ab9b2a22ab(当且仅当，即b2a时，等号成立)b2a149故y 的最小值为.ab222假设x0，那么x 的最小值是_x下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.22 2 2 2x 2xx 2 2，当且仅当x 2时，等号成立x23设x，yN N 满足xy20，那么xy的最大值为_100100 x，yN N，20 xy2xy，xy100.*利用根本不等式求最值51【例 1】(1)x，求y4x2的最大值；44x511(2)0 x，求yx(12x)的最大值22思路探究：(1)看到求y4x21的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y4x51x(12x)的最值，需要出现和为定值25解(1)x0，411y4x254x3231，54x4x51当且仅当 54x，即x1 时，上式等号成立，54x故当x1 时，ymax1.1(2)0 x0，2112x12x2111y 2x(12x)4416.244111当且仅当 2x12x0 x0，求函数y的最小值；x下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(2)0 x0)的最小值为 9.(2)法一：0 x0.yx(13x)133x(13x)133x13x22112.当且仅当 3x13x，即x16时，等号成立当x116时，函数取得最大值12.法二：0 x0.yx(13x)3x13x3x1x213212，当且仅当x13x，即x16时，等号成立当x116时，函数取得最大值12.利用根本不等式求条件最值【例 2】x0，y0，且满足81xyx2y的最小值解x0，y0，81xy1，x2y81xyx16y(x2y)10yx102x16yyx18，下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.81xy1，当且仅当x16yyx，即x12，y3，时，等号成立，故当x12，y3 时，(x2y)min18.8181假设把“1改为“x2y1，其他条件不变，求 的最小值xyxy解x，yR R，8181 (x2y)xyxy16yx16yx8 210 102 1618.xyxy16yx当且仅当 时取等号，xy21结合x2y1，得x，y，362181当x，y 时，取到最小值 18.36xy1此题给出的方法，用到了根本不等式，并且对式子进展了变形，配凑出满足根本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有f(x)ax型和f(x)ax(bax)型2假设正数x，y满足x6xy10，那么x2y的最小值是()A.2 2232 3B.C.D.333322bxA A因为正数x，y满足x6xy10，1x所以y.6x2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.x0，由y0，x0，即1x20，6x2解得 0 x1.1x2x1所以x2yx23x33x2x12 2，33x32x122当且仅当，即x，y时取等号33x2122 2故x2y的最小值为.3利用根本不等式解决实际问题【例 3】如图，动物园要围成一样面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，那么由条件知，4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为S，那么Sxy.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，27所以 2 6xy18，得xy，227即Smax，当且仅当 2x3y时，等号成立22x3y18，由2x3y，x4.5，解得y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大3法二：由 2x3y18，得x9y.233x0，0y6，Sxyy9yy(6y)2236yy2270y0.S2.22当且仅当 6yy，即y3 时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1在应用根本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案2对于函数yx(k0)，可以证明x(0，k及k，0)上均为减函数，在k，)及(，k上都是增函数求此函数的最值时，假设所给的范围含k，可用根本不等式，不包含k就用函数的单调性3某单位用 2 160 万元购得一块空地，方案在该地块上建造一栋至少10 层，每层 2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，那么每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：购地总费用平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)建筑总面积2 1601010 800解设将楼房建为x层，那么每平方米的平均购地费用为.2 000 xx每平方米的平均综合费用4kxy56048x10 80022556048x.xx225当x取最小值时，y有最小值x225x0，x2xx22530.x225当且仅当x，即x15 时，上式等号成立x当x15 时，y有最小值 2 000 元因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少1利用根本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等，三个条件缺一不可，解题时，有时为了到达使用根本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、别离常数等变形手段，创设一个适合应用根本不等式的情境2不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，根本不等式是经常使用的工具，但下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.假设对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，假设取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值1判断正误(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()(2)假设a0，b0 且ab4，那么ab4.()(3)当x1 时，函数f(x)x212x1xx1，所 以函数f(x)的最 小值 是xx1.()答案(1)(2)(3)提示(1)由abab可知正确(2)由ab(3)ab24 可知正确2不是常数，故错误xx12假设实数a，b满足ab2，那么ab的最大值为()A1B2 2C2D4A A由根本不等式得，abab21.22D.530 x1，那么x(33x)取最大值时x的值为()132A.B.C.243A A0 x0，那么x(33x)3x(1x)3x1x23，241当且仅当x1x，即x 时取等号24x0，求f(x)解f(x)2x的最大值x122x2.x11x2x1x0，x 2xx 2，x1下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.21f(x)1，当且仅当x，即x1 时等号成立2xf(x)的最大值为 1.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。