数学公式大全.pdf
知识储备基本知识基本知识一、乘法公式与二项式定理（1）(ab)a 2abb;(ab)a 2abb（2）(ab)a 3a b3ab b;(a b)a 3a b3ab bn0n1n12n22（3）(a b)Cna CnabCnab knkkn1nnCnab Cnabn1Cnb2222223322333223（4）abc(a b c abacbc)a b c 3abc；222333（5）abc a b c 2ab2ac2bc2222经典习题：1.二、因式分解（1）a b (a b)(a b)（2）a3b3aba2abb2;a3b3aba2abb2；（3）anbnn122abaan2b.bn1三、分式裂项（1）四、指数运算（1 1）an1111111()（2）x(x1)xx1(xa)(xb)ba xaxb1n(a 0)（2 2）a01(a 1)（3 3）annam(a 0)anmnm（4 4）a a am（5 5）a a amnmn（6 6）(a)amnmnbnbnnnn2（7 7）()n(a 0)（8 8）(ab)a b（9 9）a aaa五、对数运算logbb（1 1）aa N（2 2）loga nloga（3 3）logaNnnb1logbanMN logaloga（4 4）loga1（5 5）loga 0（6 6）loga（7）logMNaM logaloga（8）logaNba1MN1aa（9）lga log10,ln a logealogb六、函数六、函数1、若集合 A 中有 n(n N)个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2，所有非空真子集的个数是2 2。二次函数y ax bx c的图象的对称轴方程是x 2nnb，顶点坐标是2ab4ac b2解析式的设法有三种形2a，4a。用待定系数法求二次函数的解析式时，)式，即f(x)ax bx c（一般式），f(x)a(x x1)(x x2（零点式）和f(x)a(x m)2 n（顶点式）。2、幂函数y x，当 n 为正奇数，m 为正偶数，mn 时，其大致图象是mn23、函数y x25x 6的大致图象是2.5和3，)，单调递)，单调递增区间是2，由图象知，函数的值域是0，2和2.5，3。减区间是(，七、七、不等式不等式1、若 n 为正奇数，由a b可推出a b吗（能）若 n 为正偶数呢（仅当a、b均为非负数时才能）2、同向不等式能相减，相除吗（不能）能相加吗（能）能相乘吗（能，但有条件）nna bab2a b c3abc三个正数的均值不等式是：33、两个正数的均值不等式是：n 个正数的均值不等式是：a1 a2 anna1a2ann4、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是a bab 112ab4、双向不等式是：a b a b a b2a2b22左边在ab 0(0)时取得等号，右边在ab 0(0)时取得等号。八、八、数列数列1、等差数列的通项公式是an a1(n 1)d，前 n 项和公式是：Sn=na1n(a1 an)21n(n 1)d。2n12、等比数列的通项公式是an a1q，na1(q 1)n前 n 项和公式是：Sna1(1 q)(q 1)1qlimSn=S=3、当等比数列an的公比 q 满足q0，=0，0）；扇形面积公式：S 12l r；圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：rl2；圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：R rl2。经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l，轴截面顶角是）：1l2sin(0 S 2)122l2(2)十一、比例的几个性质十一、比例的几个性质1、比例基本性质：abcd ad bc2、反比定理：acbdbdac3、更比定理：acabbdcd5、合比定理；aca bc dbdbd6、分比定理：aca bc dbdbd7、合分比定理：aca bc dbda bc d8、分合比定理：aca bbdc da bc d9、等 比 定 理：若a1ba2a3an，b1b2 b3bn 0，1b2b3bna1 a2 a3 anabb1。1b23bnb1十二、复合二次根式的化简十二、复合二次根式的化简AB AA2 BAA2 B22则当A 0，B 0，A B是一个完全平方数时，对形如式化简比较方便。2AB的根式使用上述公考场提速增分策略一考场提速增分策略一考场必备的解题条件反射考场必备的解题条件反射目标目标 1 1解题解题条件条件反射反射目标目标 2 2解题解题条件条件反射反射目标目标 3 3解题解题条件条件反射反射目标目标 4 4解题解题条件条件反射反射目标目标 5 5解题解题条件条件反射反射目标目标 6 6解题解题条件条件反射反射目标目标 7 7解题解题条件条件反射反射代数式求值.反射一：公式法、恒等变形.反射二：竖式除法、因式定理、余式定理、带余除法恒等式、赋值法.反射三：整体处理法.离散型最值问题.反射一：正整数积一定求和的最大值或最小值，先分解质因数，考虑分散与集中.反射二：正整数和一定求积的最大值或最小值，先分解质因数，考虑分散与集中.反射三：数列最值问题先连续化，再考虑取最靠近的整数.或用定义法.连续性最值问题.反射一：均值不等式（包括柯西不等式）.反射二：配方法与一元二次函数顶点式.反射三：对勾函数与数形结合法.质数问题.反射一：质数表（100 以内）.反射二：试解法.应用题.反射一：框图法、示意图法.反射二：列方程、函数解题.比例问题.反射一：见比设k.反射二：同构即等.非负数之和等于零，求参数.反射一：非负零和，分别为零.反射二：常考非负数（式）有二次根式、绝对值、完全平方式.目标目标 8 8解题解题条件条件反射反射目标目标 9 9解题解题条件条件反射反射一元二次方程.反射一：韦达定理、判别式.反射二：根的分布就用“兄弟团结型”与“兄弟离间型”两个模型.反射三：两根代数式的恒等变形公式.不等式.反射一：不等式的性质、均值不等式.反射二：高次不等式先因式分解，再用穿线法.反射三：分式不等式先整式化，再用穿线法.反射四：根式不等式先有理化，平方时要分类讨论.目标目标 1010数列.反射一：数列的公式有求和公式、通项公式、递推公式.反射二：数列的性质有位项关系（等和或等积、定差或定比）、等距保性.反射三：最值套路（比较法与函数法）、方程思维.解题解题aA反射四：n2n1.条件条件bnB2n1反射反射an mSn m反射五：等差数列 amn 0.Smn m n.am nSm n反射六：技巧求和常裂项（三种裂项类型），有时也用放缩法.目标目标 1111恒成立问题.解题解题条件条件反射反射目标目标 1212平面几何、空间几何体问题.解题解题条件条件反射反射目标目标 1313解析几何问题.解题解题条件条件反射反射目标目标 1414数据描述问题.解题解题条件条件反射反射反射一：方差原始公式、方差简化公式、方差定性分析.反射二：直方图、数表、饼图的含义.反射一：中点公式、距离公式（三个）、弦长公式、斜率公式.反射二：最值常用数形结合法.反射三：点、线、圆之间的位置关系（距离公式是关键，对称的解决方案）.反射四：斜率与倾斜角之间的转化和对应关系.反射一：全等与相似（维度论）.反射二：整体处理法.反射三：转化法、割补法.反射一：变量分离法、最大最小法.反射二：一元二次函数判别式法（包括开口方向）.目标目标 1515排列组合概率问题.解题解题条件条件反射反射反射一：常考计数模型有打包寄送法、挡板法、捆绑法、插空法、染色分类法、数字问题（倍数、奇数、偶数等约束条件）、定位定序法.反射二：常考概率模型有古典概型、伯努利概型、投篮（抽检）问题、抓阄模型.反射三：集合与事件运算中的摩根定律、韦恩图.反射四：概率运算中的乘法公式、加法公式.考场提速增分策略二考场提速增分策略二考场必备的核心数学公式与结论考场必备的核心数学公式与结论表1 1恒等变形恒等变形裂项变形裂项变形11 1111 11，n(n k)knn kn(n k)knn ka2b2(a b)(a b)(a2b2)(x2 y2)(ax by)2(ay bx)2平方公式平方公式a b2211 a2 b2 2ab特别地，x x22 2xx22112a b a2b2 2ab特别地，x x 22xxa3b3(a b)(a2 ab b2)a3b3(a b)(a2 ab b2)立方公式立方公式a ba b3111 a b 3aba b特别地，x x333x xxx3333 a3a2b2 c2a2b2 c2配方变形配方变形a2b2 c22111 b 3aba b特别地，x x333x xxx1 ab bc ca(a b)2(b c)2(c a)221 ab bc ca(a b)2(b c)2(c a)22 2ab 2bc 2ca (a b c)233b 4ac b2ax bx c ax 2a4a分解因式分解因式表2 2均值不等式（正数范围内讨论）均值不等式（正数范围内讨论）二元形式二元形式三元形式三元形式提取公因式法、分组法、十字相乘法、双十字相乘法、因式定理、余式定理、拆项补项法.2a2b2 2ab，a b 2 ab，2(a2b2)(a b)2等号当且仅当a b时成立.a3b3 c3 3abc，a b c 33abc，3(a3b3c3)(abc)3等号当且仅当a b c时成立.a 对勾形式对勾形式k 2 k，等号当且仅当a k时成立.akka2 33（本质上是三元均值不等式）等号当且仅当a 32k时成立.a4a b c3abc mina,b,c3柯西形式柯西形式极端原理极端原理(a2 b2)(x2 y2)(ax by)2等号当且仅当ay bx时成立.maxa,b,c表3 3一元二次方程、不等式、函数一元二次方程、不等式、函数二次方程二次方程bx x 21a根的分布：两类母型.2判别式 b 4ac韦达定理x x c12ab24ac b2)一般式：y ax bx c顶点式：y a(x 2a4ab零点式：y a(x x1)(x x2)对称轴：x 2a4ac b24ac b2最值：（1）a 0 ymin（2）a 0 ymax4a4a2二次函数二次函数二次不等式二次不等式解集口诀：大于零，取两边；小于零，夹中间.恒成立口诀：开口判别式，两个都要看.表4 4指数与对数指数与对数指数幂的运算规则：a a a（1）指数幂乘法：mnmn指数运算指数运算ab aman；（3）指数幂幂：am amn；（4）指数幂分解：指数幂的等价转换：m aa a；（2）指数幂除法：mnmn；n（1）分数指数幂：a0mnnam；（2）负数指数幂：am1；am特别地，a 1.对数的运算规则：（1）对数加法：logaM logaN logaMN；（2）对数减法：logaM logaN loga对数运算对数运算（3）指数析出：logamx nM；Nnlogax；mlogcMlg M（4）换底公式：logAM；logcAlg A（5）对数恒等式：aa M；特别地，loga1 0，logaa 1.log M表5 5数据描述数据描述x1 x2 xn趋势性描述趋势性描述n性质：E(aX b)aE(X)b均值：x 1(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2n122222简化计算：S(x1 x2 xn)nxn波动性描述波动性描述1(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2标准差：S n2性质：D(aX b)a D(X)方差：S2图形表示法图形表示法直方图、数表、饼图表6 6平面几何与空间几何体平面几何与空间几何体勾股定理的完整内容勾股定理的完整内容是：直角三角形（最大边为c）a b c（1）勾股定理：直角三角形（最大边为c）a b c（2）勾股定理逆定理：a b c 直角三角形（最大边为c）12k,13k；常考勾股数常考勾股数：（1）3k,4k,5k；（2）5k,勾股定理与均值不等式的结合考试角度结合考试角度：（1）简单角度：2 a b222222222勾股定理勾股定理22a b22 c a b22（等腰直角三角形时取等号）（2）复杂角度：x y222a b2xa yb c xa ybx y22（1）AC AD AB；射影定理射影定理（2）BC BD AB；（3）CD ADDB；22中位线定理中位线定理三角形中位线平行且等于底边的一半。梯形的中位线：MN 1(a b)2S三角形面积公式面积公式S长方形111ah，S梯形a bh，S菱形mn22212 ab，S圆 r2，S扇形rlr2360体积公式体积公式长长方方体体内内接接于球于球维度论维度论V长方体 abc，V圆柱体 r2h，V球体43R32R a2b2c2考点考点维度维度比例比例角度角度零维长度长度一维面积面积二维体积体积三维k0k1k2k3表7 7数列数列（1）等差数列判断基本方法一（定义法）基本方法一（定义法）：an an1定值等差数列等差数列判断基本方法二（中项法）基本方法二（中项法）：2an an1 an1等差数列等差数列快速判断策略一（项和法）快速判断策略一（项和法）（等价形式）：表现形式一：an An B 等差数列表现形式二：S An Bn 等差数列等差数列快速判断策略二（衍生法）快速判断策略二（衍生法）（充分形式）：表现形式一：an是等差数列kan p是等差数列等等差差数数列列与与等等比比数数列列的的判断判断2,bn都是等差数列kan pbn是等差数列表现形式二：an（2）等比数列判断基本方法一（定义法）基本方法一（定义法）：an定值等比数列an12等比数列判断基本方法二（中项法）基本方法二（中项法）：an an1an1等比数列等比数列快速判断策略一（项和法）快速判断策略一（项和法）（等价形式）：n表现形式：Sn Aq A 等比数列等比数列快速判断策略二（衍生法）快速判断策略二（衍生法）（充分形式）：表现形式一：an是等比数列kan是等比数列,bn都是等比数列kanbn是等比数列表现形式二：an（1）等差数列的三个公式：公式一：通项公式：公式一：通项公式：an a1(n 1)d基本公式基本公式(a1 an)nn(n 1)与S na1d22a anm公式三：中项公式：公式三：中项公式：annm2n1（2）等比数列的三个公式：公式一：通项公式：公式一：通项公式：an a1q公式二：求和公式：公式二：求和公式：S a1(1qn)公式二：求和公式：公式二：求和公式：若q 1，则S；1q若q 1，则S na1；a anm公式三：公式三：中项公式：中项公式：annm2基本性质基本性质（1）等差数列的四个性质：性质一：位项等和：性质一：位项等和：若m n p q，则am an ap aq性质二：位项定差：性质二：位项定差：d amanmn性质三：等距保性：性质三：等距保性：（）（）等距项还是等差数列：amk,an2k,an3k,（）（）等距和还是等差数列：Sn,S2nSn,S3nS2n,性质四：项和等比：性质四：项和等比：anA2n1bnB2n1（2）等比数列的三个性质：性质一：位项等积：性质一：位项等积：若m n p q，则aman apaq性质二：位项定比：性质二：位项定比：lgq lgamlganmn性质三：等距保性：性质三：等距保性：（）（）等距项还是等比数列：amk,an2k,an3k,（）（）等距和还是等比数列：Sn,S2nSn,S3nS2n,（1）等差数列的常用常考结论常用常考结论：结论一：奇偶项之和的比：结论一：奇偶项之和的比：（）（）若项数n 2k时，则常考结论常考结论S偶ak1S偶 S奇 kak ak1S偶 kak1S奇akS偶 S奇 kdS奇 kak（）（）若项数n 2k 1时，则S偶k 1S偶 S奇2k 1akS偶k 1akS S aS kaSkkk奇奇偶奇结论二：轮换对称求项和：结论二：轮换对称求项和：（）（）若am n,an m，则amn 0；（）（）若Sm n,Sn m，则Smn m n；（2）等比数列的常用常考结论常用常考结论：结论一：等比数列中的项、公比都不能是零。结论一：等比数列中的项、公比都不能是零。a11 qna S 1（n越大越接近）结论二：结论二：若q 1，则S 1 q1 q求求和和公公式式与与通通项项公公式式的的转化转化递递推推公公式式与与通通项项公公式式的的转化转化绝绝对对数数列列求求和和差差比比数数列列求求和和数列最值数列最值S(n 1)an1Sn Sn1(n 2)累加法、累乘法、换元法、循环法、倒数法整体处理错位相减法比较法表8 8解析几何解析几何中点公式中点公式x1 x2 x3x1 x2x x 32拓展：重心公式y y y23y 1y y1 y232k2k1y2 y1tan k 拓展一：到角公式，其中0,180)1 k1k2x2 x1斜率公式斜率公式拓展二：k1k2垂直；k1 k2平行；k1 k2相交b1 b2点到点的距离公式：点到点的距离公式：已知两点坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，那么d P1P2(x2 x1)2(y2 y1)2点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：已知点的坐标P(x0,y0)和直线l:Ax By C 0，距离公式距离公式那么点到直线的距离d Ax0 By0CA B22平行直线间的距离公式：平行直线间的距离公式：已知直线l1:Ax By C1 0，l2:Ax By C2 0A B求点A(x0,y0)关于直线l:y kx b对称的点P(x1,y1)的坐标的方法：点线对称点线对称那么点到直线的距离d C2C122y1 y0PA l k 1x1 x0PA的中点M(x1 x0,y1 y0)在直线l上 y1 y0 k x1 x0b2222点与圆的位置关系的判断：先用点点距离公式求圆心到点的距离d，在比较d与半径r的大小.线与圆的位置关系的判断：先用点线距离公式求圆心到直线的距离d，在比较d与半径r的大小.圆与圆的位置关系的判断：先用点点距离公式求圆心距d，在比较d与两圆半径和差的大小.弦长公式：l 2 r2d2（d为圆心到割线的距离）.切线长公式：l d2r2（d为圆心到圆外那点的距离）.光线反射：转化为点线对称问题求解.考场应用考场应用表9 9排列组合排列组合打包把打包把N个不同的物体分成n个组（这n个组是不计顺序的）例如，把 6 个班级分成 3 个组，每个组至少得到1 个班级，有多少种不同的分组方法的求法：第一层次：因每组中元素的个数产生的差异，分成三大类：6 11 46 1 23（打包计数先分解）6 2 2 2第二层次：在每一大类中，因元素的质地产生的差异：114C6C5C46 11 4 15（有两个 1，就要除以A22）2A21236 1 2 3 C6C5C3 60（有 1 个 1，就要除以A11）打包寄送法打包寄送法222C6C4C23A（有三个 2，就要除以）6 2 2 2 1533A3根据加法原理：不同的打包方法为156015 90.打包口诀：打包口诀：“打包计数先分解，对照分解写组合；组合相乘作分子，同数全排作分母.”寄送把寄送把N个不同的物体寄送到N个不同的地方，每个地方恰好 1 个，请问：共有多少种不同的方法答案：AN打包寄送公式：打包寄送公式：将打包方案数乘以寄送方案数，就得到总的方案数.把把N个相同的物体一字排开，共有N 1个间隔，只需要从这N 1个间隔中选出n1个并插进n1个挡板，把N个相同的物体分割成为n段，第几段的物体就分给第几个受体，这正好完成了任务.有多少种不同的插入挡板的方法就是所求的结果.图形示范如下：挡板法挡板法挡板公式：挡板公式：最终方案总数等于插挡板的方法数：CN1.把把N个编好号的物体（编号分别是1,2,3,N）分给n个编好号的受体（编号分别是1,2,3,N），每个受体恰好得到一个物体，但是要求在分配时物体的编号与受体的编号不同.请问：共有多少种不同的分法错排法错排法n111111错排公式：错排公式：Dn n！，2！3！4！5！6！n！n！进一步地，可以简化如下：Dn 0.5（其中e 2.71828）en1N捆绑法捆绑法插空法插空法分叉树法分叉树法相邻问题用捆绑法.第一步：将要相邻的元素捆在一起，捆绑体内部进行排序.第二步，将捆绑体和剩下的元素排序；最后，根据乘法原理求总方案数.不相邻问题用插空法.第一步：将要无要求的元素排序.第二步，将不相邻的元素插进上述元素之间及两端的空位.最后，根据乘法原理求总方案数.对染色问题、数字问题等可以先画分叉树，再综合用乘法原理、加法原理.表1010概率概率（1）交换律加法交换律：A B B A，乘法交换律：AB BA；（2）结合律加法结合律：A BC AB C，集集合合与与事事件件的运算规则的运算规则乘法结合律：ABC ABC；（3）分配律简单分配律：BAC AB BC，复杂分配律：A BAC A BC；（4）摩根律加法求否律：A B AB，乘法求否律：AB A B；（1 1）韦恩图）韦恩图集集合合与与事事件件的的韦韦恩恩图图与与容斥原理容斥原理（2 2）容斥原理）容斥原理表现形式一（集合元素个数的视角）表现形式一（集合元素个数的视角）：二元容斥：二元容斥：A B A B AB三元容斥：三元容斥：A BC A B C AB AC BC ABC表现形式二（事件概率公式的视角）表现形式二（事件概率公式的视角）：二元容斥：二元容斥：PA B PA PB PAB（1 1）概率的加法公式：）概率的加法公式：PA B PA PB PAB（2 2）概率的减法公式：）概率的减法公式：PA B PA PAB概率的加法、概率的加法、（3 3）概率的乘法公式：）概率的乘法公式：PAB PBP AB减法、减法、乘法公乘法公特别地，当A与B独立时，PAB PAPB。式式当n个事件A1,A2,An相互独立时，P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)独立性判断独立性判断对立性判断对立性判断古典概型古典概型PAB PAPBA与B独立PAB 0AB A与B对立A B PA PB1mPAnnkkkn次独立重复试验恰好发生k次的概率Pnk Cnp1 p应用伯努利概型的步骤步骤：伯努利概型两个要点（1）在 1 次试验中某事件发生的概率是p；（2）n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次；伯努利概型伯努利概型n次独立重复试验至少发生k次的概率 Pnk Pnk 1 Pnn；n次独立重复试验至多发生k次的概率 Pn1 Pn2 Pnk；
