自动控制原理课后答案(第五版).pdf

第第 一一 章章1-1 图 12 是液位自动控制系统原理示意图。在任意情况下，希望液面高度 c 维持不变，试说明系统工作原理并画出系统方块图。图 12液位自动控制系统解：被控对象:水箱；被控量:水箱的实际水位;给定量电位器设定水位希望值ur（表征液位的cr）;比较元件:电位器；执行元件：电动机；控制任务：保持水箱液位高度不变.ur）时，电动机静止不动，控制阀门有一定的cr，一旦流入水量或流出水量发工作原理：当电位电刷位于中点（对应开度，流入水量与流出水量相等,从而使液面保持给定高度生变化时，液面高度就会偏离给定高度r。当液面升高时，浮子也相应升高，通过杠杆作用，使电位器电刷由中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压,驱动电动机,通过减速器带动进水阀门向减小开度的方向转动，从而减少流入的水量，使液面逐渐降低,浮子位置也相应下降，直到电位器电刷回到中点位置，电动机的控制电压为零,系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度r。反之，若液面降低，则通过自动控制作用，增大进水阀门开度，加大流入水量，使液面升高到给定高度r.系统方块图如图所示：ccc1-10下列各式是描述系统的微分方程,其中 c(t）为输出量,r（t）为输入量，试判断哪些是线性定常或时变系统，哪些是非线性系统?d2r(t)c(t)5 r(t)tdt2；（）2d3c(t)d2c(t)dc(t)3 68c(t)r(t)32dtdtdt（）；dc(t)dr(t)t c(t)r(t)3dtdt；（）（）c(t)r(t)cost 5；tdr(t)c(t)3r(t)65r()ddt（）；2（）c(t)r(t);0,t 6c(t)r(t),t 6.（）2r解：(1）因为 c（t)的表达式中包含变量的二次项(t)，所以该系统为非线性系统。（2）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，且各项系数均为常数，所以该系统为线性定常系统。(3）该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，所以该系统为线性系统，但第一项dc(t)dt的系数为 t，是随时间变化的变量，因此该系统为线性时变系统。（4)因为 c(t)的表达式中 r（t）的系数为非线性函数cost，所以该系统为非线性系统.t（5）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，且各项系数均为常数，所以该系统为线性定常系统。2r（6）因为 c（t)的表达式中包含变量的二次项(t),表示二次曲线关系，所以该系统为非线性系统。0(t 6)a 1(t 6)，所以该系统可看作是（7）因为 c(t)的表达式可写为c(t)ar(t)，其中线性时变系统.第第 二二 章章23试证明图 2-5(）的电网络与(b）的机械系统有相同的数学模型。分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系.对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示,然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统,关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。证明:（a)根据复阻抗概念可得：uouiR21C2sR1C1s1R2C2sR 11C1sR1R2C1C2s2(R1C1 R2C2 R1C2)s1R1R2C1C2s2(R1C1 R2C2 R1C2)1即d2u0du0d2uiduR1R2C1C22(R1C1 R2C2 R1C2)uo R1R2C1C22(R1C1 R2C2)iuidtdtdtdt取 A、B 两点进行受力分析，可得:dxidxodxdx)K1(xi xo)f2(o)dtdtdtdtdxdxf2(o)K2xdtdtf1(整理可得:d2xodxod2xidxf1f22(f1K1 f1K2 f2K1)K1K2xo f1f22(f1K2 f2K1)i K1K2xidtdtdtdt经比较可以看出，电网络（a）和机械系统（b）两者参数的相似关系为K12-5设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式,并概略绘制 x（t)曲线，指出各方程式的模态。1,f1C1R1,K21,f2C2R2（1）2x(t)x(t)t;（)x(t)2x(t)x(t)(t）。27 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图 2-6 所示，试求闭环传递函数 U（)()。图 26控制系统模拟电路解：由图可得R1UUC1sU1(io)1RoRoR1C1sUoR2U2R0U21U1R0C2s联立上式消去中间变量 U1 和 U2,可得：Uo(s)R1R2 33Ui(s)RoR1C1C2s2 RoC2s R1R2o28 某位置随动系统原理方块图如图 27 所示。已知电位器最大工作角度max 330，功率放大级放大系数为 K3,要求：(1)分别求出电位器传递系数 K0、第一级和第二级放大器的比例系数 K1和 K2；(2)画出系统结构图;(3)简化结构图，求系统传递函数0(s)/i(s)。图 2-7位置随动系统原理图分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。K0解：（1）Em3033001800180V/rad1130103K1 31010332010K2 210103(2）假设电动机时间常数为 Tm，忽略电枢电感的影响,可得直流电动机的传递函数为Km(s)Ua(s)Tm11(rad s)/V。式中 Km 为电动机的传递系数,单位为1K(V/rad s)，则其传递函数为t又设测速发电机的斜率为Ut(s)Kt(s)由此可画出系统的结构图如下：i(s)-KoK1U1-Ut(s)K2U2K3(s)1sTms 1KtUaKm（3)简化后可得系统的传递函数为o(s)i(s)1Tm1 K2K3KmKts2s1K0K1K2K3KmK0K1K2K3Km2ttc(t)1e e29 若某系统在阶跃输入 r（t)=1（t)时，零初始条件下的输出 响应,试求系统的传递函数和脉冲响应.分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数.R(s)解：（1）1s，则系统的传递函数111s24s2C(s)ss2s1s(s1)(s2)C(s)s24s2G(s)R(s)(s1)(s2)（2）系统的脉冲响应s24s212L G(s)L L11(t)et2e2tk(t)(s1)(s2)s1s211210 试简化图 2-9 中的系统结构图，并求传递函数 C（s)/R（s)和 C（s）/N（s）.图 2-9题 210 系统结构图分析：分别假定R（s）=0 和 N(s）=0，画出各自的结构图,然后对系统结构图进行等效变换，将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数.解：（a）令 N（s）0,简化结构图如图所示：G1G2C(s)可求出：R(s)1(1 H1)G1G2令 R（s)0，简化结构图如图所示：N(s)G3G2C(s)G1H1G1N(s)G3G21G1G2H1C(s)G1N(s)G3G21G1G2H1C(s)G1N(s)G21G1G2H1G3C(s)G21G1G2H1G1C(s)G3G2(1G1G2H1)N(s)1G1G2G1G2H1所以：（b）令 N（s）0,简化结构图如下图所示：G1RG2G2G4CG3G1G2RG2G3G4CG1G2R CG4C(s)(1 G1)G2G4G3G4R(s)1G2G4G3G4所以:令 R(s）0，简化结构图如下图所示:CG4NG2G3G2G3G2G3G4C(s)N(s)1G2G4G3G42-12 试用梅逊增益公式求图 2-8 中各系统信号流图的传递函 数 C（s)/R(s）。图 2-11题 2-12 系统信号流图解:（a）存在三个回路：存在两条前向通路：1G3H1G2G3H2G3G4H3P1G1G2G3G4G5,11P2G6,2G1G2G3G4G5C(s)G61G3H1G3G4H3G2G3H2所以:R(s)（b）9 个单独回路：L1 G2H1,L2 G4H2,L3 G6H3,L4 G3G4G5H4,L5 G1G2G3G4G5G6H5L6 G7G3G4G5G6H5,L7 G1G8G6H5,L8G7H1G8G6H5,L9G8H4H16 对两两互不接触回路：三个互不接触回路 1 组：L1L2L34 条前向通路及其余子式：L1L2 L1L3 L2L3 L7L2 L8L2 L9L2P1=G1G2G3G4G5G6,1=1;P2=G7G3G4G5G6,2=1;P3=-G7H1G8G6,3=1+G4H2;P4=G1G8G6,4=1+G4H2C(s)R(s)所以，Pk9k161a14k1LaLbLcL1L2L3第第 三三 章章3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为：1.2t0h(t)1012.5esin(1.6t 53.1)试求系统的超调量、峰值时间p 和调节时间s.解：依题意t tp时h(tp)0，并且tp是使h(tp)第一次为零的时刻(tp 0）h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t 53.10)1012.5e1.2t(cos53.10sin1.6t sin53.10cos1.6t)可见，当h(t)15e1.2tsin(1.6t 53.10)20e1.2tcos(1.6t 53.10)25e1.2tsin1.6t1.6tp tp1.96h(t)第一次为 0 时，1.21.96，所以h(tp)1012.5esin(1.61.96180053.10)10.9510.9510100%9.5%h()10t0.95h()h(ts)1.05h()，即根据调节时间s的定义：%h(tp)h()100%9.5 1012.5e1.2t 0.5，得ln0.043.212ts 2.681.21.2ps所以：35 设图 33 是简化的飞行控制系统结构图,试选择参数 K和 Kt，使系统、。%9.5%t 1.96st 2.68s图 33飞行控制系统分析:求出系统传递函数,如果可化为典型二阶环节形式，则可与标准二阶环节相对照，从25K1s(s0.8)Kts 1而确定相应参数。解 对结构图进行化简如图所示.25K125K1s(s0.8)(s)225K1(Kts1)s(0.825K1Kt)s25K11s(s0.8)故系统的传递函数为和标准二阶系统对照后可以求出：K12n251.44,65Kt42n0.8 0.3125K13237 已知系统特征方程如下，试求系统在s 右半平面的根数及虚根值。s 4s 4s 4s-7s-8s 10 0分析 系统在右半平面的根数即为劳思表第一列符号改变的次数，虚根值可通过构造辅助函数求得。解 由系统特征方程，列劳思表如下：s6s5s4s314504450781010（出现了全零行，要构造辅助方程）42由全零行的上一行构造辅助方程5s 5s 10 0，对其求导，得故原全零行替代为20s310s 0s3s2s1s0202.590101010表中第一列元素变号两次,故右半 s 平面有两个闭环极点，系统不稳定。42对辅助方程5s 5s 10 0化简得(s21)(s22)0由D(s)/辅助方程，得余因式为(s-1)(s+5)=0求解、,得系统的根为s1,2 j 2s3,4 1s51s6 5所以，系统有一对纯虚根。39 已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)(1）（）100(0.1s 1)(s 5)50s(0.1s 1)(s 5)G(s)G(s)(）10(2s 1)s2(s2 6s 100)2r(t)2 2t tr(t)2t试求输入分别为和时，系统的稳态误差。分析：用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。对复杂的输入表达式,可分解为典型输入函数的线性组合,再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差，最后叠加起来即为总的误差。解（1）判别系统的稳定性D(s)(0.1s 1)(s 5)100 010D(s)(s10)(s5)1000 s215s1050 0s2s11151050可见,劳思表中首列系数全部大于零,该系统稳定.求稳态误差K100/5=20,系统的型别0，当r1(t)2时，s01050ess122 0.0951 Kp12022 Kv0当r2(t)2t时，2ess222t2e r3(t)t 2ss3Ka02时，当所以，essr 2 2t t2ess，r2t(2)判断稳定性212D(s)s(s 10)(s 5)500 s315s250s 500s4s3s2s1s01696.75622910100201010劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。求稳态误差K10/100=0.1，系统的型别 2，当r1(t)2时，ess122 01 Kp1220Kv当r2(t)2t时，2ess222t2e20r3(t)t 2ss3K0.12时，a当0ess2 202t t00r20essr 2t23-11 设随动系统的微分方程为d2c(t)dc(t)T1 K2u(t)2dtdtu(t)K1r(t)b(t)db(t)T2b(t)c(t)dt其中,T、和 K为正常数。若要求 r（t)=1+t 时，c（t）对 r（t）的稳态误差不大于正常数，试问 K应满足什么条件?分析：先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式,根据题目要求确定参数.解:对方程组进行拉普拉斯变换,可得(T1s2 s)C(s)K2U(s)U(s)K1R(s)B(s)按照上面三个公式画出系统的结构图如下：(T2s1)B(s)C(s)Rk1Buk2s(T1s1)C1T2s 1定义误差函数E(s)R(s)C(s)K1K2s(T1s1)E(s)R(s)C(s)C(s)e(s)11(s)1K1K2R(s)R(s)R(s)1s(T1s1)(T2s1)所以K1K2T2s K1K2132TT1 2s(T1T2)s s K1K2K1K2T2s K1K211ess limsE(s)limse(s)R(s)lims1(2)32s0s0s0TT s(T T)s s K Kss1 212121 K1K2T2K1K21 K1K2T211ess0k1k1K1K2k2(oT2),因此，当k2(oT2)时，满足条件。令，可得第第 四四 章章4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标 d)：KK(s 1)G(s)s(0.2s 1)(0.5s 1)(2）s(2s 1)(1)KK*G(s)s(0.2s 1)(0.5s 1)s(s 2)(s 5)，K*10K解：(1)G(s)n3,根轨迹有 3 条分支；起点：p10，p2-2，p3-5；没有零点，终点:3 条根轨迹趋向于无穷远处。实轴上的根轨迹：2,0,（,5;0 257(2K 1)a,33，33；渐进线：111 0 分离点:dd 2d 5求解得：d1 3.79（舍去）,d2 0.88；a作出根轨迹如图所示：G(s)（2)n2,根轨迹有 2 条分支；K(s1)K(s1)s(2s1)s(s0.5)，K*0.5Kz1 1，nm 1条根轨迹趋向于无穷远处。*起点:p10，p2-0。5，；终点：实轴上的根轨迹：-0.5，0,（,1;111 分离点：dd 0.5d 1d 0.29，d2 1.707；求解得：1作出根轨迹如图所示：4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下,要求：K(s z)G(s)2s(s 10)(s 20)产生纯虚根为1 的值和K值。确定2*432*D(s)s(s 10)(s 20)K(s z)s 30s 200s K s K z 0解:令s j代入D(s)0,并令其实部、虚部分别为零,即：ReD(j1)1 200 K*z 0，ImD(j1)30 K*0*K 30,z 6.63解得:画出根轨迹如图所示：4-10设单位反馈控制系统的开环传递函数G(s)要求：(1）画出准确根轨迹（至少校验三点)；（2）确定系统的临界稳定开环增益K；(3)确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K。Ks(0.01s 1)(0.02s 1)分析：利用解析法，采用逐个描点的方法画出系统闭环根轨迹。然后将s j代入特征方程中，求解纯虚根的开环增益,或是利用劳斯判据求解临界稳定的开环增益。对于临界阻尼比相应的开环增益即为实轴上的分离点对应的开环增益。G(s)解:（1)n3，根轨迹有 3 条分支,且均趋于无穷远处；实轴上的根轨迹：50，0，(,100；5000Ks(s50)(s100)50100(2k 1),50a33；3 渐进线：，111 分离点：dd 50d 100d 21.3,d2 78.8（舍去)；求解得:1a作出根轨迹如图所示:(2)临界开环增益Kc为根轨迹与虚轴交点对应的开环增益。D(s)s3150s25000s5000K令s j，代入D(s)0,并令其实部、虚部分别为零，即ReD(j)15025000K 0，ImD(j)35000 0解得：1,2 5000 70.71,3 0（舍去）Kc150（3）系统处于临界阻尼比1，相应闭环根位于分离点处,即要求分离点 d 对应的 K 值。将 sd-21.3 代入幅值条件：K s 0.01s1 0.02s1 9.622G(s)4-14 设系统开环传递函数如下，试画出b 从零变到无穷时的根轨迹图.20(s 4)(s b)(1)30(s b)G(s)s(s 10)（）22D(s)s 4sbs 4b20 s 4s 20b(s 4)0解：（1）做等效开环传递函数G*(s)n=2,有 2 条根轨迹分支,n-m=1 条趋于无穷远处；实轴上的根轨迹：(,4；b(s4)b(s4)s24s20(s24 j)(s24 j)111 分离点d 24 jd 24 jd 4d28d 4 0d1 8.47整理得d2 0.47(舍去)000180 arctan290 135出射角：p1根轨迹如图所示：（2）D(s)s(s10)30(sb)s 40s30b 0做等效开环传递函数2G*(s)n=2，有 2 条根轨迹分支,且均趋于无穷远处；实轴上的根轨迹：40,0；30b30bs240ss(s40)11 0dd 40 分离点整理得d 20根轨迹如图所示:第第 五五 章章52 若系统单位阶跃响应为试确定系统的频率特性。h(t)11.8e4t0.8e9t分析 先求出系统传递函数，用j替换 s 即可得到频率特性。解:从h(t)中可求得：h(0)0,h(0)0在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换H(s)与系统输出的拉普拉斯变换R(s)之间的关系为H(s)(s)R(s)H(s)(s)R(s)即其中(s)为系统的传递函数，又11.80.836H(s)Lh(t)ss4s9s(s4)(s9)1R(s)Lr(t)sH(s)36(s)R(s)(s4)(s9)则令s j，则系统的频率特性为(j)H(j)36R(j)(j4)(j9)5-7 已知系统开环传递函数为G(s)K(T2s 1)s(T1s 1);（、1、2）o当取时，G(j)180,|(）.。当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为 0.1，试写出系统开环频率特性表达式G()。分析：根据系统幅频和相频特性的表达式,代入已知条件，即可确定相应参数。解：由题意知：1(T1)2G(j)900arctanT2arctanT1因为该系统为型系统，且输入为单位速度信号时,系统的稳态误差为 0.1,即G(j)K 1(T2)2ess()limE(s)s0所以：K 101 0.1KG(j1)当1时，K 1T221T21 0.5G(j1)900arctanT2arctanT1 1800由上两式可求得T1 20,T2 0.05，因此G(j)514已知下列系统开环传递函数（参数K、T、T10(j0.051)j(20 j1),，2，)G(s)(1）K(T1s 1)(T2s 1)(T3s 1)G(s)(2)Ks(T1s 1)(T2s 1)G(s)(3)Ks2(Ts 1)G(s)（4）K(T1s1)s2(T2s1)G(s)（5)G(s)(6）Ks3K(T1s 1)(T2s 1)s3G(s)(7)K(T5s1)(T6s1)s(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)KTs 1（8）KG(s)Ts 1（9)KG(s)s(Ts 1)(10）G(s)其系统开环幅相曲线分别如图5-6(1）（10）所示，试根据奈氏判据判定各系统的闭环稳定性,若系统闭环不稳定，确定其s 右半平面的闭环极点数.图 5-6 题 58 系统开环幅相曲线分析:由开环传递函数可知系统在右半平面开环极点个数 P,由幅相曲线图可知包围点（1,j0）的圈数.解：（1)P 0,N 1所以系统在虚轴右边有 2 个根,系统不稳定.(2）P 0,N 0Z P 2N 02(1)2Z P2N 0200所以系统在虚轴右边有 0 个根，系统不稳定.(3）P 0,N 1Z P 2N 02(1)2所以系统在虚轴右边有 2 个根,系统不稳定。（4)P 0,N 0Z P2N 0200所以系统在虚轴右边有 0 个根，系统稳定。(5）P 0,N 1Z P 2N 02(1)2所以系统在虚轴右边有 2 个根,系统不稳定。（6)P 0,N 0Z P2N 0200所以系统在虚轴右边有 0 个根,系统稳定。（7）P 0,N 0Z P2N 0200所以系统在虚轴右边有 0 个根，系统稳定。（8）P 1,N 12Z P2N 12（9)P 1,N 0所以系统在虚轴右边有 0 个根，系统稳定。1 02Z P2N 1201所以系统在虚轴右边有 1 个根，系统不稳定。（10）P 1,N 121Z P2N 12()22所以系统在虚轴右边有 2 个根，系统不稳定。5-21 设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)试确定相角裕度为 45时参数的值。分析：根据相角裕度的定义计算相应的参数值。as1s2解：开环幅相曲线如图所示以原点为圆心做单位圆，开环幅相曲线与单位圆交于A 点，在 A 点有A()1(ac)2G(j)1(a)22ej(arctana1800)c21422即c ac100180()45c要求相角裕度,即(c)arctan ac1800 4501800 1350ac1联立、两式可求解得c1.19,a 0.84第第 六六 章章G(s)6-2 设单位反馈系统的开环传递函数Ks(s3)(s9)(1）如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量%20%，试确定 K 值；（2）根据所求得的 K 值,求出系统在单位阶跃输入作用下的调节时间，以及静态速度误差系数Kv；1K 20sv（3）设计一串联校正装置，使系统的,%15%,ts减小两倍以上。分析 设计校正装置时，只要满足性能指标要求即可，所以确定K 值时，通常选择满足条件的最小 K 值.解（1)由高阶系统频域指标和与时域指标的关系式有：0.160.4(Mr1)0.160.20.16Mr111.10.40.41Mrsinr arcsin1 65.40Mr又因为因此1800G(jc)1800900arctanc3arctanc9arctanc3arctanc9180090065.40 24.60912ctan24.6 3c227c21272整理得:c 26.21c27 0解得:c11,c2 2.27（舍去）ccKc1 K 27开环增益为：39221.5(M 1)2.5(M 1)rrts 6.83s（2）cK127KKv 20 K 54027(3)取K 540Kv