中考数学专题复习练习三等角型相似三角形题型压轴题完整版.pdf

中中考考数数学学专专题题复复习习练练习习三三等等角角型型相相似似三三角角形形题题型型压压轴轴题题【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】HEN system office room三等角型相似三角形三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。典型例题典型例题【例【例 1 1】如图，等边ABC中，边长为 6，D是BC上动点，EDF=60A（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3 时，求BE【思路分析】【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得B=C=EDF=60再用外角可证BED=CDF，可证BDE与CFD相似排出相似比便可E求得线段 BE 的长度解：解：（1）ABC是等边三角形，EDF=60B=C=EDF=60EDC=EDF+FDC=B+BEDBDBED=FDCBDECFD（2）BDECFDFCCDBDBEBD=1，FC=3，CD=55BE=3A点评：点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。【例【例 2 2】如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，EDF=B，求证：BDEDFEFCFE【思路分析】【思路分析】比较例 1 来说区别仅是点D成为了BC的中点，所以BDE与CFD相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD=CD的条件可证得BDE和DFE相似B解：解：AB=AC，EDF=BB=C=EDFEDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDCBDECFDBEDE又BD=CDCDDFBEDEBEBD即BDDFDEDFEDF=BDCBDEDFE点评：点评：三等角型相似中若点D是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，BDDE若点D是底边中点则有三对相似三角形，BDE与CFD相似后若得加上CFDFBD=CD可证得CFD与DFE相似【例【例 3 3】如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；A（2）设BP=x，CM=y求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM为等腰三角形时，求PB的长【思路分析】【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对BAPMP进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与ABPPCM相关的结论解：解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC=APM+MPC=B+BAPABAP=MPCABPPCM（2）BP=x，CM=y，CP=8-xBPABBPPCMC5x8 xyMCMCAMP128By x x(0 x 8)55（3）当AP=PM时PMPCPC=AB=5PAABBP=3当AP=AM时APM=B=CPAM=BAC即点P与点B重合P不与点B、C重合舍去当MP=AM时MAP=MPAMAPABCMPAB5APBC8PMPC58 x5即PAAB85839BP=8点评：点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至ABP和PCM中简化运算。C【例【例 4 4】（1）在ABC中，AB AC 5，BC 8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ ABC.若点P在线段CB上（如图 10），且BP 6，求线段CQ的长；若BP x，CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如图 12），点P、Q分别在直线AQBAB备用图PCCCB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ 90.当CQ 1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写AD出结果）.【思路分析】【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角B的顶点不仅在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题图 12是上海中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。解：解：（1）APQ CPQ B BAP，APQ ABC，BAP CQP.又AB AC，B C.QCPABP.CCQCP.BPABAB AC 5，BC 8，BP 6，CP 86 2，CQ212，CQ.655CQCP（2）若点P在线段CB上，由（1）知.BPABBP x，BC 8，CP BC BP 8 x，y8 x18又CQ y，AB 5，即y x2x.x55518故所求的函数关系式为y x2x，(0 x 8).55若点P在线段CB的延长线上，如图 11.APQ APB CPQ，APB备用图CQABC APBPAB，APQ ABC，CPQ PAB.又ABP 180ABC，PCQ 180ACB，ABC ACB，ABP PCQ.QCPPBA.BPAB.CQPCBP x，CP BC BP 8 x，AB 5，CQ y，x518，即y x2x(x 0).y8 x555555，或BP.2253 5.253 5.2（2）当点P在线段BC上，BP 当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP 当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，BP 点评：点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。强化训练：强化训练：1.如图，在ABC中，AB AC 8，BC 10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且ADE C(1)求证：ABDDCE；A(2)如果BD x，AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；ECB(3)当点D是BC的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由2.已知：如图，在ABC中，AB AC 5，BC 6，点D在边DAFAB上，DE AB，点E在边BC上又点F在边AC上，且DEF B(1)求证：FCEEBD；(2)当点D在线段AB上运动时，是否有可能使SFCE 4SEBD如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由DBEC3.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。4.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与AEDBPCAEBFB、C 不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=y1，PF=y2（1）分别求y1、y2关于 x 的函数关系式（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。5.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C 不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，PEF的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）若PEF为等腰三角形，求PC的长。6.已知在等腰三角形ABC中，AB BC 4,AC 6，D是AC的PCAFEBPC中点，E是BC上的动点（不与B、C重合），连结DE，过点D作射线DF，H使EDF A，射线DF交射线EB于点F，交射线AB于点H.（1）求证：CEDADH；（2）设EC x,BF y.用含x的代数式表示BH；求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域.CEDABF7.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长APDBC（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长（不必写出解题过程）8.已知：如图，直角梯形ABCD中，ADBC，B 90，AB 8，AD 12，tanC 4，3AMDC，E、F分别是线段AD、AM上的动点（点E与A、D不重合）且FEM AMB，设DE x，MF y.AFBED（1）求证：AM DM；（2）求y与x的函数关系式并写出定义域；MC（3）若点E在边AD上移动时，EFM为等腰三角形，求x的值；9.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当SDMF9SBEP时，求BP的长4ADADE=2点M为边10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=BC=4，EADBC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连结EFBCB（1）指出图中所有与PBEM相似的三角形，并加以证明；（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义（备用图）（第 2525 题图）AECBMDF域；C答案：答案：1.1.解：（1）AB=ACB=CADC=ADE+CDE=B+BADBAD=CDEABDDCECECD（2）ABDDCEBDABBD x，AE y，DC 10 xy 8x10 x8 y125x x 8(0 x 10)84（3）AB AC，D是BC的中点ADBCDAE+ADE=90AE DEADE是直角三角形2.解：（1）AB=ACB=CBED+DEF=C+EFC=90又DEF BBED=EFCFCEEBD55（2）BD=x，BE=x，EC 6x33FCEEBDSFECEC2()若SFCESBEDBD56x3)2 4x 18 4SEBD(11x5366x 3BD不存在3113.解：（1）AB=ACB=CDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC=BDPABDDCE（2）DPE=B90若PDE=90，在 RtABH和 RtPDE中BHPD3PDBD3cosABH=cosDPE=ABPE5PEPC5AEDPC=4 BD 125BPHADC若PED=90在 RtABH和 RtPDE中cosABH=cosPED=BHPE3PDBD5ABPD5PEPC320PC=4 BD 5（舍去）3EBPHAFC综上所述，BD 的长为4.解：（1）y112544244、y2x(6 x)x 5553（2）FPE=B90E若PFE=90，在 RtABH和 RtPFE中y3BHPF32y15ABPE5cosABH=cosFPE=4x3BH327x 517PC424x 55A若PEF=90，在 RtABH和 RtPFE中cosABH=cosFPE=BHPF3ABPE5FEBH PCy25y134x3424x 555x 335.解：（1）PEBEPC44416（2）PC=xPF x，PE(6 x)，EH EP(6 x)35525A11 41632y PF EH x(6 x)x(6 x)F22 325753264E即y x2x(0 x 3)H7525Mx39（3）当PE=PF时，EPCPEB，PC=BE=x，x BCGP6 x542x312108x 当PE=EF时，PH PF x，cosEPH=cosB，3452343(6 x)52(6 x)3125x 2当FE=PF时，PM EP(6 x)，cosFPM=cosB，4525x39108综上所述，PC的长分别为x、24436.解：（1）AB BC,A CCDEEDF AH又EDF A,CDE H CEDADHCECD（2）CEDADH，ADAHD是AC的中点，AC 6，AD CD 3，又 CE x,AB 4x39，BH 434 BHxx39当H点在线段AB上时，BH 434 BHx过点D作DGAB,交BC于点GDGCGCD1，DG 2,BG 2ABBCAC2当H点在线段AB的延长线上时，94yBHBF当H点在线段AB的延长线上时，x22 yGDGFy 188x 9 0 x 92x4当H点在线段AB上时，8x18 9 x 492x4BHBF，GDGF429xyy2y 7.解：（1）证明：ABP180AAPB，DPC180BPCAPB，BPCA，ABPDPC 在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，AD ABPDPC解：设APx，则DP5x，由ABPDPC，得解得x11，x24，则AP的长为 1 或 4ABAP（2）解：类似（1），易得ABPDPQ，PDDQ2x15即，得y x2x2，1x45 x2 y22ABPD25 x，即x2APDCAPDBECQAP2 或AP358.证明：（1）过点M作MG AD交AD于 GAM/DCAMB CB 90,AB 8tanAMB tanC AB48BM 6BM3BMAD/BC，AB/MGAG=BM=6AD=12AG=GDAGMDGMAM=DM(2)FEM AMBAMB AFEAEM EFM2222AMEMEMFM82(x 6)2AM 6 810EM 8(x-6)22y8 (x 6)10y 126x x 10定义域为：0 x 12105(3)EFM MAE AEF FEMEMFM若EFM为等腰三角形，则EF=EM或EF=FM 当EF=EM时,12-x=10 x=2当EF=FM时FME FEM MAEAE=EM12-x 82(x-6)2x 9.证明：（1）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=C113BE=2,BP=2,CP=4,CD=4，EBBP，BEPCPDCPCD(2)EPF B BEP EPF FPC又EPF=C=B，BEP FPCBEPCPF，2xEBBP6 xy 4CPCF1y x23x 4（2 x 4）2当点F在线段CD的延长线上时FDM=C=B，BEP FPC FMD，BEPDMFSDMF9DF3ySBEP，4BP2x1又y x23x 4，x23x 8 0，0，此方程无实数根，29故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点 P 使SDMFSBEP4当点F在线段CD上时，同理BEPDMFSDMF9DF3yEBBP，SBEP，又BEPCPF4BP2xCPCF2x6 x4 yy 12x 3x 4，x29x 8 0，解得x11，x2 82由于x2 8不合题意舍去，x 1，即BP=19SBEP时，BP的长为 1410.解：（1）CMFBEM，MEFBEM证明如下：在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，B=C又EMF+FMC=B+BEM，EMF=B，FMC=BEM所以当SDMFEMBEFMCMEMBE又CM=BM，EMF=B，MEFBEMFMBMBECM（2）CMFBEM，BMCFCMFBEM BM=CM=2，x224所求函数的解析式为y，（1 x 4）yx