2021_2022学年高中数学第3章不等式3.4基本不等式学案新人教A版必修5.pdf

.a ab b3.43.4根本不等式：根本不等式：abab2 2学 习 目 标1 1.了解根本不等式的证明过程.2 2.能利用根本不等式证明简单的不等式及比拟代数式的大小(重点、难点).3 3.熟练掌握利用根本不等式求函数的最值问题(重点)核 心 素 养1 1.通过利用根本不等式比拟大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养.2 2.借助利用根本不等式求最值和根本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养.1 1重要不等式如果a，bR R，那么ab2ab(当且仅当ab时取“)思考：如果a0，b0，用a，b分别代替不等式ab2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示ab2ab.2 2根本不等式：ab2222ab2(1)根本不等式成立的条件：a，b均为正实数；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号思考：不等式ab2ab与ab2222ab2成立的条件一样吗？如果不同各是什么？提示不同，ab2ab成立的条件是a，bR R；ab正实数3 3算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，那么a，b的算术平均数为ab2成立的条件是a，b均为ab2，几何平均数为ab；(2)根本不等式可表达为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2思考：ab2ab与abab是等价的吗？2提示不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，bR R.4 4用根本不等式求最值的结论下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(1)设x，y为正实数，假设xys(和s为定值)，那么当xy 时，积xy有最大值2为 4(2)设x，y为正实数，假设xyp(积p为定值)，那么当xyp时，和xy有最小值为 2p5 5根本不等式求最值的条件(1)x，y必须是正数(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值(3)等号成立的条件是否满足思考：利用根本不等式求最值时应注意哪几个条件？假设求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？提示三个条件是：一正，二定，三相等求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值1 1不等式(x2y)Ax2yCx2y12 成立的前提条件为()x2yBx2yDx2yss2B B因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x2y0，即x2y，应选B.2 2设x，y满足xy40，且x，y都是正数，那么xy的最大值为_400400因为x，y都是正数，2且xy40，所以xyxy400，当且仅当xy20 时取等号223 3把总长为 16 m 的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大面积是_ m.1616设一边长为xm，那么另一边长可表示为(8x)m，那么面积Sx(8x)216，当且仅当x4 时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为 4 m 时面积取到最大值 16 m.4 4给出以下说法：假设x(0，)，那么sinx12；sinx2x8x2假设a，b(0，)，那么 lgalgb2 lgalgb；下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.4假设xR R 且x0，那么x4.x其中正确说法的序号是_因为x(0，)，所以 sinx(0，1，所以成立；只有在 lga0，lgb0，即a1，b1 时才成立；44x|x|2xx4|x|4 成立x 2利用根本不等式比拟大小2【例 1 1】0a1，0b0，b0，所以ab2ab，ab2ab，所以四个数中最大的数应为ab或ab.又因为 0a1，0b1，所以ab(ab)aabba(a1)b(b1)0，所以ab2)，n22b(b0)，那么m，n之间的大小关系是_a21ab(2)假设ab1，P lgalgb，Q(lgalgb)，Rlg，那么P，Q，R 的大22小关系是_(1)mn(2)PQ2，所以a20，又因为ma所以m2a2211(a2)2，a2a21224，由b0，得b0，a22所以 2b2，n22bn.(2)因为ab1，所以 lgalgb0，1所以Q(lgalgb)lgalgbP；21abQ(lgalgb)lgalgblgablgR.22所以PQabbcca.思路探究：构造根本不等式的条件运用根本不等式证明判断等号成立的条件得出结论解a0，b0，c0，ab2ab0，式bc2bc0，ca2ca0，2(abc)2(abbcca)，即abcabbcca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abcabbcca.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1 1 所证不等式一端出现“和式，而另一端出现“积式，这便是应用根本不等式的“题眼，可尝试用根本不等式证明2 2利用根本不等式证明不等式的注意点(1)屡次使用根本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用根本不等式的证明可重新组合，形成根本不等式模型，再使用1112 2a，b，c为正实数，且abc1，求证：1118.abc证明因为a，b，c为正实数，且abc1，11abc2bc所以 1.aaaa12ac12ab同理，1，1.bbcc上述三个不等式两边均为正，1112bc2ac2ab8，当且仅当abc1时，取等号相乘得111abc3abc根本不等式的实际应用【例 3 3】如图，动物园要围成一样面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为 24 m，那么每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)ab为定值，如何求ab的最大值？(2)ab为定值，如何求ab的最小值？解设每间虎笼长x m，宽y m，那么由条件知：4x6y36，即 2x3y18.2设每间虎笼面积为S，那么Sxy.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，272 6xy18，得xy，227即S，当且仅当 2x3y时，等号成立22x3y18，x，由解得2x3y，y3.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大3法二：由 2x3y18，得x9y.23x0，9y0，0y6，2Sxy9yy(6y)y.0y0，236yy27S.222当且仅当 6yy，即y3 时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽3 m 时，可使面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，那么l4x6y.法一：2x3y2 2x3y2 6xy24，l4x6y2(2x3y)48.当且仅当 2x3y时，等号成立2x3yx6，由，解得xy24y4.3232故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小24法二：由xy24，得x.y9616l4x6y6y6y6216yyyy48.16当且仅当y，即y4 时，等号成立，此时x6.y故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400 平方米的三级污水处理池，平面图如下图 池下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.外圈建造单价为每米 200 元，中间两条隔墙建造单价为每米 250 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价400400解设污水池的长为x米，那么宽为米，总造价y(2x2)200 xx400900225080400400 x32 0004002xxx900 x32 00056 000(元)，当900且仅当x，即x30 时取等号x40故污水池的长为 30 米、宽为米时，最低造价为 56 000 元3探究问题1 1 由xy2xy知xy2222利用根本不等式求最值x2y22，当且仅当xy时“成立，能说xy的最大值是x2y22吗？能说xy的最小值为 2xy吗？提示最值是一个定值(常数)，而xy或 2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误要利用根本不等式方可使用2 2小明同学初学利用根本不等式求最值时，是这样进展的：1“因为yx 222ab2ab(a，bR R)求最值，必须保证一端是定值，xx 2，当且仅当x，即x21 时“号成立，所以yxxx111x的最小值为 2.你认为他的求解正确吗？为什么？1提示不正确因为利用根本不等式求最值，必须满足x与 都是正数，而此题x可能x为正，也可能为负所以不能盲目“套用根本不等式求解正确解法应为：当x0 时，yx 2x1x 2，当且仅当x，即x1 时取“，yx 的最小值是 2；当x0 时，xxx111x2，当且仅当x，即x1 时，取“，yx111yx2xx下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.1x 的最大值是2.xx243 3x3，求y的最小值，以下求解可以吗？为什么？xx244“解：yx 2xxx 4，x4x24当x3 时，y的最小值为 4.x提示不可以，因为在利用根本不等求解最值时，虽然将所求代数式进展变形，使其符合根本不等式的构造特征，但是必须符合“正、“定、“等的条件，缺一不可本4解法忽略了等号成立的条件，即“号不成立本问题可采用yx 的单调性求解x51【例 4 4】(1)x，求y4x2的最大值；44x511(2)0 x0，求f(x)2x的最大值；x2119(4)x0，y0，且 1，求xy的最小值xy思路探究：变形所求代数式的构造形式，使用符合根本不等式的构造特征(1)4x2114x53.4x54x511(2)x(12x)2x(12x)24(3)2x2.x11x2x19(4)xy(xy)1(xy).xy5解(1)x0，411y4x254x3231，54x4x51当且仅当 54x，即x1 时，上式等号成立，54x故当x1 时，ymax1.1(2)0 x0，2下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.2112x12x111y 2x(12x)，2444416111当且仅当 2x12x0 x0，x 2xx 2，x121f(x)1，当且仅当x，即x1 时等号成立2x19(4)x0，y0，1，xyy9x19xy(xy)1061016，xyxyy9x19当且仅当，又 1，xyxy即x4，y12 时，上式取等号故当x4，y12 时，(xy)min16.511 1(变条件)在例题(1)中条件改为x，求函数f(x)4x2的值域44x55解x，4x50，4113f(x)4x5x5.即x 时，等号成立f(x)的值域为5，)4x54x52512 2(变条件)在例题(1)中去掉条件x 时，4x5041f(x)4x532354x51当且仅当 4x5时等号成立4x53即x 时f(x)min5.2114x534x54x5下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.5当x 时，4x50)的单调性求得函数的最值.px1 1判断正误(1)对任意a，bR R，ab2ab，ab2ab均成立()(2)对任意的a，bR R，假设a与b的和为定值，那么ab有最大值()(3)假设xy4，那么xy的最小值为 4.(4)函数f(x)x2222()2的最小值为 2 21.()x1答案(1)(2)(3)(4)2 2假设 0 x1，那么x32x的取值范围是_ 3 3 2 2 0 0，由 0 x0，4 4 故x32x112x32x3 2 2x32x，24223当且仅当x 时，上式等号成立4所以 00)223xx4因为x 2xx 4，x44当且仅当x 即x2 时取等号，x所以ymin48032041 760(元)4 4f(x)2x.x62(1)假设f(x)k的解集为x|x3 或x2，求k的值；下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。.(2)假设对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围解(1)f(x)kkx2x6k0，由，其解集为x|x3 或x2，得x13，x22 是方程kx2x6k0 的两根，22所以23，即k.k5(2)x0，f(x)2x26.x666x222x由f(x)t对任意x0 恒成立，故实数t的取值范围是6，.6下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。