(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案.pdf
(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案计算（三计算（三)等差数列求和等差数列求和知识精讲知识精讲一、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。二、表达方式：常用Sn来表示.三：求和公式：和（首项末项）项数2,sn(a1 an)n 2。对于这个公式的得到可以从两个方面入手:（思路 1)1 239899100（5051）101505050（1100）（299）（398）共50个101（思路 2)这道题目，还可以这样理解：和=1 2 3 4+和100 99 98 97 2倍和101101101101 98 99 100 3 2 1101101101即，和 (1001)1002 10150 5050.四、中项定理:对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.譬如：48123236（436）92 209 1800,题中的等差数列有 9 项，中间一项即第 5 项的值是 20，而和恰等于209；656361531（165）332 33331089，题中的等差数列有 33 项，中间一项即第 17 项的值是 33,而和恰等于3333。例题精讲：例题精讲：例例 1:1:求和:（1)1+2+3+4+5+6=（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+1385=分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如（3）式项数=（851）3+1=29(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案和=(1+85）292=1247答案：（1）21（2）36（3）1247例例 2 2：求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+4+199（2）2+4+6+78(3）3+7+11+15+207分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和.例如（1）式=（1+199）1992=19900答案：(1）19900（2）1160（3)5355例例 3 3：一个等差数列 2，4，6，8，10,12,14,这个数列的和是多少?分析：根据中项定理,这个数列一共有 7 项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：87 56答案:56例例 4 4：求 1+5+9+13+17+401 该数列的和是多少.分析：这个数列的首项是 1，末项是 401,项数是（401-1）4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）1012=20301答案：20301例例 5 5：有一串自然数 2、5、8、11、，问这一串自然数中前 61 个数的和是多少？分析:即求首项是 2,公差是 3，项数是 61 的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）3=182根据求和公式：和=(2+182)612=5612(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案答案：5612例例 6 6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排 1 个数；第二排 3 个数；第三排 5 个数；求：(1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？(2）207 排在第几排第几个数？（3）第 13 排各数的和是多少?分析：整体看就是自然数列,每排的个数的规律是 1，3，5，7。即为奇数数列若排数为 n（n2de 自然数），则这排之前的数共有（n1）（n-1）个。（1）第十二排共有 23 个数。前面共有（1+21）112=121 个数,所以第十二排的第一个数为 122，最后一个数为 122+（231)1=144（2）前十四排共有196 个数,前十五排共有 225 个数,所以 207 在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以 207 是第(207197=10）个数 (3）前十二排共有 144 个数,所以第十三排的第一个数是 145，而第十三排共有 25 个数，所以最后一个数是 145+（251）1=169，所以和=(145+169）252=3925答案：(1）122;144（2)第十五排第 10 个数 (3)3925例例 7 7：15 个连续奇数的和是 1995，其中最大的奇数是多少?分析：由中项定理，中间的数即第 8 个数为：199515133，所以这个数列最大的奇数即第 15 个数是：1332（158）147。答案：147.例例 8 8：把 210 拆成 7 个自然数的和,使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是 5，那么，第 1个数与第 6 个数分别是多少？分析：由题可知：由 210 拆成的 7 个数必构成等差数列，则中间一个数为 2107=30，所以，这 7 个数分别(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案是 15、20、25、30、35、40、45。即第 1 个数是 15，第 6 个数是 40.答案：第 1 个数：15；第 6 个数：40。例例 9 9：已知等差数列 15，19,23,443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少?分析：公差=19-15=4项数=（44315)4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15,23，31439，公差为 8，和为（15+439）542=12258偶数项组成的数列为:19，27，35443，公差为 8，和为（19+443）542=12474差为 12474-12258=216答案：216例例 1010：在1100这一百个自然数中，所有能被 9 整除的数的和是多少？分析：每 9 个连续数中必有一个数是 9 的倍数,在1100中,我们很容易知道能被 9 整除的最小的数是9 91，最大的数是99 911，这些数构成公差为9 的等差数列，这个数列一共有：111111项，所以，所求数的和是：9182799（999）112 594也可以从找规律角度分析答案：594例例 11:11:一串数按下面的规律排列:1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果 3 个一组，会发现这样一个数列:6，9，12，15.。.。.即求首项是 6，公差是 3，项数是 1053=35 的和末项=6+3（35-1）=108和=（6+108)352=1995答案：1995(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案例例 1212：在下面12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为。1610分析:由题意知：这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知:公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(4 26)122 180。答案：180。本讲小结本讲小结:1。一个数列的前n项的和为这个数列的和,我们称为。2.求和公式：和（首项末项)项数2,sn(a1 an)n 2。3。对于任意一个奇数项的等差数列,各项和等于中间项乘以项数。练习：练习：1。求和：（1）1+3+5+7+9=(2）1+2+3+421=（3）1+3+5+7+939=分析:弄清楚一个数列的首项，末项和公差,从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案:(1）25（2）231 (3）4002.求下列各等差数列的和。（1)1+2+3+100（2）3+6+9+39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050（2)2733.一个等差数列 4，8，12,16，20,24,28，32,36 这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有 9 项，各项的和等于中间项乘以项数,(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案即为：209=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是 11，末项是 99 的奇数数列的和为多少。和=（11+99）452=2475答案：24755。数列 1、5、9、13、，这串数列中，前 91 个数和是多少？分析：首项是 1，公差是 4,项数是 91,根据重要公式，可得:末项=1+（911）4=361和=（1+361）912=16471答案：164716。如图，把边长为 1 的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有 15 个正方形,问：“金字塔中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列,其中a11，d 2，an15，所以n （151）218,所以,白色方格数是:1 23黑色方格数是:1 23答案：28（2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011）2008。7。8 （18）82 367 （17）72 28。分析：根据中项定理知：2005 2006 20072008200920102011 20087，所以原式 200872008 7.答案:7。8。把 248 分成 8 个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少?分析:公差为 2 的递增等差数列。平均数:2488=31,第 4 个数：311=30；首项:30-6=24；末项：24+(81）2=38.(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案即:最大的数为 38。答案：389。求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.分析：解法 1：可以看出，2，4，6，2000 是一个公差为 2 的等差数列，1，3,5，1999 也是一个公差为 2 的等差数列，且项数均为 1000，所以：原式=（2+2000)10002（1+1999）10002=1000解法 2:注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等，且对应项差 1，所以 1000 项就差了 1000 个 1，即原式=10001=1000答案:100010。在1100这一百个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？分析：先计算1100的自然数和，再减去能被9 整除的自然数和,就是所有不能被9 整除的自然数和了1 2100（1100）1002 5050，918 2799 （999）112 594,所有不能被 9 整除的自然数和：5050594 4456如果直接计算不能被 9 整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1100的自然数和,再排除掉能被 9 整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了。答案：59411.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？分析:观察发现,这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是 3，公差是 1，末项是 10,项数是 8根据求和公式，和=(3+10）82=52（根）所以这堆钢管共有 52 根.答案：52 根。12。求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案解析:100 以内除以 3 余 2 的数为 2、5、8、11、98 公差为 3 的等差数列，首先求出一共有多少项,(982)31 33,再利用公式求和(2 98)332 1650.答案：1650。
