大学高等数学下考试题库(附答案)(20200407204122).pdf

一.选择题（3 分10）1.点M1A.32.向量aA.ab2,3,1到点M22,7,4的距离M1M2B.4C.5D.6（）.i2 jk,b2iB.abj，则有（3）.D.a,bC.a,b43.函数122y2xy的定义域是（）22xy12y2y22A.x,y 1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y 1x2Dx,y 1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a b0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsin yz，则y1,4（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数1p收敛，则（）.n 1nA.p1B.p1C.p1D.p1n8.幂级数x的收敛域为（）.n 1nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1xn9.幂级数在收敛域内的和函数是（）.02n1221A.B.C.D.1x2x1x2x10.微分方程xyA.xyln y0的通解为（x）.yceB.yeC.yxcxeD.yecx二.填空题（4 分5）1.一平面过点2.函数zA 0,0,3且垂直于直线AB，其中点B 2,1,1，则此平面方程为 _.sin xy的全微分是_.3y23xy3xyz1，则x y_.23.设zx1的麦克劳林级数是_.4.2x5.微分方程y4y4y0的通解为 _.三.计算题（5 分6）zzusin，而uvxy,vxy，求,.1.设zexyz2z,.y2z2x4z242.2.已知隐函数zz x,y由方程x22250确定，求xy3.计算Dsinxy d，其中222D:xy4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.5.求微分方程y3ye在y解.x02x0条件下的特四.应用题（10 分2）11.要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？312.曲线yf x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2 倍，且曲线过点11,，3求此曲线方程试卷 1 1 参考答案一.选择题CBCAD二.填空题4.2xy2z65.cos xy6.6xACCBD0.ydxxdy.91.2yy 27.n 01n.xn 122 xn8.yC1C x e.2三.计算题z6.xyzcos xy，xyeysin xyxexsin xyycos xy.7.zx22xz,z1y2y2.z18.0dsind26.1639.R.310.y3x.e2xe四.应用题6.长、宽、高均为m32时，用料最省.17.y2x.高数试卷2（下）一.选择题（3 分10）13.点M1A.4,3,1，M27,1,2的距离M1M2B.（）.1213C.14D.15y50，则两平面的夹角为（）.14.设两平面方程分别为x2y2z10和xA.B.C.D.615.函z数42232）.arcsin x2y的定义域为（y22y2A.x,y 0 x1B.x,y 0 x1C.2y22x,y 0 xy2x,y 0 x216.点PA.317.函数A.018.设D.21,2,1到平面x2y2z50的距离为（B.42）.C.5D.622z2xy3xB.1y的极大值为（C.1）.1D.2（.）z23xyy 2，则1,2zxA.619.若几何级数n 0 xB.7nC.8D.9ar是收敛的，则（）.A.r1B.r1C.r1D.r120.幂级数nnn 01x的收敛域为（）.A.1,1B.1,1C.1,1D.1,1sin是（21.级数na4n1）.nB.绝对收敛C.发散D.不能确定A.条件收敛二.填空题（4 分5）x3t22.直线l过点A 2,2,1且与直线yt平行，则直线l的方程为 _.z12t23.函xy数ze的全微分为 _.24.曲24面2z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_.1的麦克劳林级数是_.12x三.计算题（5 分6）9.设ai2jk,b2j3k，求ab.10.设zzzu，而uxcos y,vxsin y，求,.2vuv2xyzz3xyz11.已知隐函数zz x,y由x32确定，求,.xy12.如图，求球面2y2z24a222（a0）所围的几何体的体积x与圆柱面xy2ax四.应用题（10 分2）11.试用二重积分计算由yx,y2 x和x4所围图形的面积.试卷 2 2 参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题8.x2y2z1112.xy9.eydxxdy.10.8x8yz4.25.1nx.2nn 026.3yx.三.计算题13.8i3j2k.z z2z z314.3x x sin ycossin ycos y cosyy cosysin ysin y,2x x sin ycossin ycos y y sin y sin ycoscosy yx xy y15.zyzzxzxxy2,zyxy2.z16.32323a23.四.应用题12.163.高等数学试卷3 3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题3 分，共 30 分）1、二阶行列式2-3的值为（）45A、10B、20C、24D、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a a 与 b b 的向量积为（）A、i-j+2ki-j+2kB、8i-j+2k8i-j+2kC、8i-3j+2k8i-3j+2kD、8i-3i+k8i-3i+k3、点 P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A、2B、3C、4D、54、函数 z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（）4A22、2,22B、22,2C、2222D、2233x xsinsiny ycoscos22,3y y.zz5、设 x2+y2+z2=2Rx，则,分别为（）x2+y2+z2=2Rx，则yxRyxRyxRyA、B、C、,z,z,zzzzxRy,D、zzR）26、设圆心在原点，半径为R，面密度为2y2x1A、R2A的薄板的质量为（）（面积 A=B、2R2AnC、3R2AD、R2A2(1)7、级数nn 1A、21B、xn的收敛半径为（）2C、1D、3）8、cosx 的麦克劳林级数为（A、n 0 xB、(1)(2n)!45n2nn 1x(1)(2n)!n2nC、n(1)x2nD、nx(1)2n 1n 0(2n)!n 0(2n1)!9、微分方程(y)+(y)+y+2=0 的阶数是（A、一阶B、二阶C、三阶D、四阶）10、微分方程y+3y+2y=0 的特征根为（A、-2，-1B、2，1C、-2，1）D、1，-2二、填空题（本题共5 小题，每题4 分，共 20 分）x11、直线 L1：x=y=z 与直线 L2：y31_。z的夹角为2x1直线 L3：y21223、二重积分D_。z与平面 3260 之间的夹角为xyz22d,D:x为y1 的值_。4、幂级数x的收敛半径为_。的收敛半径为nn!x_，0n!nn 0n三、计算题（本题共6 小题，每小题5 分，共 30 分）1、用行列式解方程组-3x+2y-8z=172x-5y+3z=3x+7y-5z=22、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.3、计算xyd，其中 D 由直线 y1,x2 及 yx 围成.D4、问级数(1)n？，n 11sin收敛吗若收敛则是条件收敛还是绝对n5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数？收敛6、用特征根法求y+3y+2y=0 的一般解四、应用题（本题共2 小题，每题10 分，共 20 分）2而体积最大的长方体体积。1、求表面积为a2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比，（已知比例系数为已知 t=0 时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空题k）1、2ar cos188,arcsin212、0.96，0.173653、5、y4、0，+2x21ce,cx1y三、计算题1、解：-3 2-8=2-5 3=17-5（-3）-5 3-27-5 2 3+（-8）2-5=-1381-517 2-8x=3-5 3=1727-5同理：-317-8y=23 3=276,12-5z=414-5 3-27-5 3 3+2-5（-8）3-5=-13827x所以，方程组的解为y1,y2,zz3x2,z=t3,2、解：因为x=t,y=t所以 xt=1,yt=2t,zt=3t，2所以 xt|t=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3故切线方程为：x1y121z13法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为D 由直线 y=1,x=2,y=x围成，所以D：y1 y 2 x 2故：Dxyd212yxydxdy1y28(2y)dy11234、解：这是交错级数，因为11型级数，故收敛Vnsin0，所以，Vn1 Vn,且 lim sin0，nn所以该级数为莱布尼兹1又sin1sin当 趋于 0时，x x，limnn 1nxsin所以n1n所以，原级数条件收敛。w1131、解：因为e1x2!x23!xn!xnx(,)用 2x 代 x，得：2 xe1(2x)1(2x)2112!3!(2x)3n!(2x)n2312x2223n2xn2!x3!xn!x(,)6、解：特征方程为r2+4r+4=0所以，（r+2）2=0-2x,y2=xe-2x得重根 r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x所以，方程的一般解为y=(c1+c2x)e四、应用题1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z2则 2（xy+yz+zx）=a构造辅助函数2F（x,y,z）=xyz+(2xy2yz2zxa)求其对 x,y,z 的偏导，并使之为0，得：yz+2(y+z)=0 xz+2(x+z)=0 xy+2(x+y)=011，又级数n发散，n 1sin1发散。n 1n5从而与 2(xy+yz+zx)-a2=0 联立，由于x,y,z 均不等于零可得 x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a2=0 得 x=y=z=6a62所以，表面积为a而体积最大的长方体的体积为Vxyz36a362、解：据题意dMdtM其中0为常数初始条件 MMt00对于dMdtM式dMMdt两端积分得 ln Mtln Ct所以，Mce又因为 MMt00所以，MC0所以，MM et0由此可知，铀的衰变规律为：铀的含量随时间的增加 而按指数规律衰减高数试卷4（下）一选择题：31030下列平面中过点（,1）的平面是（）（）（）（）在空间直角坐标系中，方程x2y22表示。（）圆（）圆域（）球面（）圆柱面二元函数z(1x)2(1y)2的驻点是（）（,）（）（,）（）（,）（）（,）二重积分的积分区域是1x2y24，则dxdyD（）（）410（）3x010（）15f(x,y)dyfdy0(x,y)dx1交换积分次序后110dy10y（）(,)xf x y ddx（）（）dy0f(x,y)dxx01（）dy0f(x,y)dxy阶行列式中所有元素都是，其值是（）（）（）！（）n下列级数收敛的是（）(1)n1n3n12（）(n 11)n（）n11nn 1（）n1正项级数u和nn1nn 1v满足关系式unnvnn 1unn 1nvn，则vnn 1n 1收敛，则un1（）若u收敛，则nn 1收敛（）若收敛（）若v发散，则nn 1发散（）若unn 1收敛，则vnn 1发散1已知：1x（）1x2x4二填空题：4数 z1xx21，则的幂级数展开式为21x（）1x2x4（）1x2x4（）1x2x4520 x2y21ln(2x2y2)的定义域为y若f(x,y)xy，则 f(,1)xa则已知(x0,y0)是f(x,y)的驻点，若fxx(x0,y0)3,fyy(x0,y0)12,fxy(x0,y0)当n1时，(x0,y0)一定是极小点级数u收敛的必要条件是n三计算题(一)：6530zz已知：zxy，求：，yx计算二重积分D4x d，其中 D(x,y)|0y24x2,0 x2nx求幂级数(1)n 1的收敛区间nn 1求f(x)ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）四计算题(二)：10220求平面和的交线的标准方程参考答案一；二(x,y)|1x2zy22zyxy 1xyx ln yyyx6a6 lim unn0四1解：2解：D24dx2dx004 x2222x3201634x dy3解：B1(4x)dx04x31271AB10200102,21415.(11)n解：R1,当|x|1 时，级数收敛，当x=1 时，得n 1n收敛，当 x1时，得n 1(1)2n 11nn 1发散，所以收敛区间为(1,1.n解：.因为exnnnxx(0n!(x),),所以ex0(1)nx(,).xn!nn0nnijk四 1解：.求直线的方向向量:si122111jk35,求点:令 z=0,得 y=0,x=2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程为:.x2yz13511111111112解：A11111101100211111101110(1)当2 时,r(A)2,(A)3,无解;(2)当1,2时,r(A)(A)3,有唯一解:xyz12;x1cc12(3)当1 时,r(A)(A)1,有无穷多组解:yc1(c1,c2为任意常数zc2高数试卷5（下）一、选择题（3 分/题）1、已知aij，bk，则ab（）A0BijCijDij2y22、空间直角坐标系中x1表示（）A圆B圆面C圆柱面D球面3、二元函数sin xyz在（0，0）点处的极限是（）xA1B0CD不存在11=（）4、交换积分次序后dxf(x,y)dyx01111Adyf(x,y)dxBdyf(x,y)dx000 x111yCdyf(x,y)dxDdyf(x,y)dxy0005、二重积分的积分区域D 是xy1，则dxdy（）DA2B1C0D46、n 阶行列式中所有元素都是1，其值为（）A0B1CnDn!111100(1)(2)1)7、若有矩阵AA3 2，B2 3，C3 3，下列可运算的式子是（BCBC）B必不等于零）DACABCABAC9、在一秩为r 的矩阵中，任r 阶子式（A必等于零C可以等于零，也可以不等于零10、正项级数u和nn 1n 1D不会都不等于零v满足关系式unnvn，则（）A若u收敛，则nn 1v收敛nB若n 1v收敛，则nn 1u收敛nn 1C若n 1v发散，则nn 1u发散nD若u收敛，则nn 1v发散nn 1二、填空题（4 分/题）1、空间点 p（-1，2，-3）到xoy平面的距离为22、函数f(x,y)xy2xy4682在点处取得极小值，极小值为3、A为三阶方阵，A3，则Ax0zyz=004、三阶行列式xy5、级数u收敛的必要条件是nn 1三、计算题（6 分/题）1、已知二元函数zy2x，求偏导数zz，xy2、求两平面：x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。2x3、计算二重积分，其中D由直线xdxdy域。2，yx和双曲线xy1所围成的区2yD4、求幂级数n(x)1的收敛半径和收敛区间。nn15四、应用题（10 分/题）1、判断级数n1n 11(1)p的收敛性，如果收敛，请指出绝对收敛还是条件收敛。n2、试根据的取值，讨论方程组x1x2x311是否有解，指出解的情况。1x1x2x3x1x2x3参考答案一、选择题（3 分/题）DCBDAACBCB二、填空题（4 分/题）1、32、（3，-1）-113、-34、05、lim unn0三、计算题（6 分/题）1、z2、xx21z2yln y，y2x2 x 12xyy03z0593、44、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）四、应用题（10 分/题）1、当p0时，发散；0p1时条件收敛；p1时绝对收敛1且2、当当2时，r(A)r(A)3，A0，方程组有唯一解；2时，r(A)1时，r(A)3r(A)2，方程组无解；当r(A)13，方程组有无穷多组解。