2021高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用热点跟踪训练.pdf
.热点跟踪训练热点跟踪训练 1 11已知函数fme x.若m1,求曲线yf在0,f处的切线方程；若关于x的不等式fx在0,上恒成立,求实数m的取值范围解：当m1 时,fe x,则fe 2x.所以f1,且斜率kf1.故所求切线方程为y1x,即xy10.由me xx得me x4x.故问题转化为当x0 时,m错误错误!错误错误!.令g错误错误!,x0,则g错误错误!.由g0 及x0,得x错误错误!1.当x时,g0,g单调递增；当x时,g0,g单调递减1错误错误!所以当x错误错误!1 时,gmaxg2e.1错误错误!1错误错误!所以m2e.即实数m的取值范围为2e,2已知函数fe ax.若a1,证明：当x0 时,f1；若f在只有一个零点,求a.证明：当a1 时,f1 等价于e 10.设函数ge 1,则ge e.当x1 时,g0,所以g在上单调递减而g0,故当x0 时,g0,即f1.解：设函数h1axe.2x2x2x2x2xx2xx2xx2xx2x2f在只有一个零点等价于h在只有一个零点当a0 时,h0,h没有零点；当a0 时,haxe.当x时,h0；当x时,h0.所以h在上单调递减,在上单调递增故h1错误错误!是h在的最小值若h0,即a错误错误!,h在上没有零点若h0,即a错误错误!,h在上只有一个零点若h错误错误!,.x.因为h1,所以h在有一个零点；由知,当x0 时,e x,所以h1错误错误!1错误错误!1错误错误!1错误错误!0,故x2h在有一个零点因此h在上有两个零点综上,当f在上只有一个零点时,a错误错误!.3已知函数fe 求函数f的单调区间；若函数fe 1 恒成立,求实数a的取值范围解：函数f的定义域为 R,且fe,当a0 时,fe,当x1 时,f0,当x1 时,f0,所以函数f的单调增区间为,单调减区间为当a0 时,fa错误错误!e,则方程f0 有两根1,错误错误!,且1错误错误!.所以函数f的单调增区间为错误错误!和,单调减区间为错误错误!.综上可知,当a0 时,函数f的单调增区间为 错误错误!和,单调减区间为错误错误!；当a0 时,函数f的单调增区间为,单调减区间为函数fe 1 恒成立转化为ax错误错误!在 R 上恒成立令hx错误错误!,则h错误错误!,易知h在上为增函数,在上为减函数所以hminh1,则a1.又依题设知a0,故实数a的取值范围为0,14已知函数flnx,gxm若fg恒成立,求实数m的取值范围；已知x1,x2是函数Ffg的两个零点,且x1x2,求证：x1x21.解：令Ffglnxxm0,则F错误错误!1错误错误!0,当x1 时,F0,当 0 x1 时,F0,所以F在上单调递减,在上单调递增x2x2x2xxxF在x1 处取得最大值1m,若fg恒成立,则1m0,即m1.证明：由可知,若函数Ffg有两个零点,则m1,0 x11x2,要证x1x21,只需证x2错误错误!,.由于F在上单调递减,从而只需证FF错误错误!,由FF0,mlnx1x1,即证 ln错误错误!错误错误!mln错误错误!错误错误!x1lnx10,令h错误错误!x2lnx0 x,则h错误错误!1错误错误!错误错误!0,故h在上单调递增,所以hh0,所以x1x21 得证5设函数flnx错误错误!讨论函数f的单调性；不等式f1 在x0,1上恒成立,求实数a的取值范围解：定义域为,f错误错误!错误错误!错误错误!,当a0 时,因为x0,所以xa0,所以f0,所以f在定义域上单调递增；当a0 时,因为xa时,f0,所以f单调递增；当 0 xa时,f0,所以f单调递减综上可知：当a0 时,f在上是增函数；当a0 时,f在区间上是减函数,在区间上是增函数f1错误错误!lnx1错误错误!lnx1axlnxx对任意x0,1恒成立等价于axlnxxmax,x0,1,令gxlnxx,x0,1,glnxx错误错误!1lnx0,x0,1,所以g在0,1上单调递增,所以gmaxg1,所以a1,故a的取值范围为1,6已知函数flnxax1讨论函数f的单调性；若函数f的图象与x轴相切,求证：对于任意互不相等的正实数x1,x2,都有错误错误!错误错误!错误错误!.解：函数f的定义域为,f错误错误!a错误错误!.当a0 时,f0,f在上单调递增；当a0 时,令f0,得x错误错误!.若x错误错误!,f0,f单调递增；.若x错误错误!,f0,f单调递减综上：当a0 时,f在上单调递增；当a0 时,f在错误错误!上单调递增,在错误错误!上单调递减证明：由知,当a0 时,f在上单调递增,不满足条件当a0 时,f的极大值为f错误错误!ln,由已知得ln0,故a1,此时flnxx1.不妨设 0 x1x2,则错误错误!错误错误!错误错误!等价于 ln错误错误!错误错误!错误错误!x2x1,即证：ln错误错误!错误错误!错误错误!x2x1.令glnxx错误错误!1,故g在上单调递减,所以gg0 x2x1.所以对于任意互不相等的正实数x1,x2,都有错误错误!错误错误!错误错误!成立.
