线面角的求法总结.pdf
-线面角的三种求法线面角的三种求法1 1直接法直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例例 1 1 如图 1 四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45,SBC=60,M 为AB 的中点，求1BC 与平面 SAB 所成的角。2SC 与平面 ABC 所成的角。解:1 SCSB,SCSA,C CH HS SMMA AB B图 1SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影，SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60。2 连结 SM,CM，则 SMAB,又SCAB,AB平面 SCM,面 ABC面 SCM过 S 作 SHCM 于 H,则 SH平面 ABCCH 即为 SC 在面 ABC 的射影。SCH 为SC与平面ABC所成的角。sinSCH=SHSCSC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77 7“垂线是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。2.2.利用公式利用公式sinsin=h=h 其中是斜线与平面所成的角，h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长即斜线上的点到面的距离 既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例例 2 2 如图 2长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=3,BC=2,A1A=4，求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h,VBAB1C1=VABB1C113SAB1C1h=13SBB1C1AB，易得 h=125设AB 与 面 AB1C1D 所成的角为,则sin=hAB=45.z.-D DA A3 32 2B BC C4 4D D1 1A A1 1H HC C1 1B B1 1图2AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin 453.3.利用公式利用公式 coscos=cos=cos 1 1coscos2 2如图3 假设 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面的射影，OC为面的A AO OB BC C一条直线，其中为OA与OC所成的角，图31为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，则 cos=cos1cos2同学们可自己证明，它提醒了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面的直线所成的一切角中最小的角常称为最小角定理例例 3 3如图 4 直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60,，求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。解：AOB=AOCOA 在面 OBC 的射影在BOC 的平分线 OD 上，则AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角，可知DOC=30,cosAOC=cosAODcosDOCcos60=cosAODcos30 cosAOD=33 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为33。A AB BO OC CD D 图 4一复习：1直线和平面的位置关系；平行、相交和直线在平面2 思考：当直线a与平面的关系是a A时，如何反映直线与平面的相对位置关系呢.可以用实物来演示，显然不能用直线和平面的距离来衡量二新课讲解：.z.-1平面的斜线和平面所成的角：，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面，B为垂足，则直线AB是斜线在平面的射影。设AC是平面的任意一条直线，且BC AC，垂足为C，又设AO与AB所成角为1，AB与AC所成角为2，AO与AC所成角为，则易知：|AB|AO|cos1，|AC|AB|cos2|AO|cos1cos2又|AC|AO|cos，可以得到：cos cos1cos2，注意：2(0,O2)假设22，则由三垂线定理可知，A12CBOA AC，即相符。2；与“AC是平面的任意一条直线，且BC AC，垂足为C不易得：cos cos1又,1(0,2)即可得：1则可以得到：1平面的斜线和它在平面的射影所成角，是这条斜线和这个平面的任一条直线所成角中最小的角；2斜线和平面所成角：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角或叫斜线和平面的夹角。说明：1假设a，则规定a与所成的角是直角；2假设a/或a，则规定a与所成的角为0；3直线和平面所成角的围为：0 90；4 直 线 和 平 面 所 成 角 是 直 斜 线 与 该 平 面 直 线 所 成 角 的 最 小 值cos cos1cos2。2例题分析：例 1如图，AB是平面的一条斜线，B为斜足，AO,O为垂足，BC为的一条直线，ABC 60,OBC 45，求斜线AB和平面所成角。解：AO，由斜线和平面所成角的定义可知，ABO为AB和所成角，又cos cos1cos2，AcosABCcos60122B，cosCBOcos45222BAO 45，即斜线AB和平面所成角为45例 2如图，在正方体AC1中，求面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角。解 法一连结AC11与B1D1交于O，连结OB，平面BB1D1D，DD1 AC11，B1D1 AC11，AO1D1OA1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角，A11A1B，A1BO 30在RtA1BO中，AO12法二由法一得A1BO是A1B与对角面BB1D1D所成的角，D2B1B6又cosA1BB1 cos45，cosB1BO，2BO3AcosABO OCC1B1CB.z.-2cosA1BB132cosA1BO，A1BO 30cosB1BO263说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下，用公式cos cos1cos2求线面角显得更加方便。例 3空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求AC与平面BCD所成角的余弦值。解：过A作AO 平面BCD于点O，连接CO,BO,DO，AAB AC AD，O是正三角形BCD的外心，3a，3AOC 90，ACO即为AC与平面BCD所成角，设四面体的边长为a，则CO cosACO 33，所以，AC与平面BCD所成角的余弦值为33CODB五课堂练习：课本第 45 页练习第 1，2，3 题；第 47 页习题 9.7 的第 1 题。六小结：1线面角的概念；2cos cos1cos2及应用步骤：,1,2在图形中所表示的角。七作业：课本第 45 页练习第 4 题、第 47 页习题 9.7 的第 2 题。补充：1 如图，PA是平面的斜线，BAC在平面，且满足BAC 90，又PAB PAC 60，求PA和平面所成的角。2如图，PA正方形ABCD所在平面，且PC 24,PB PD 6 10，求PC和平面PABCD所成的角。PBACABCD.z.
